К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Зная Р„, р„ч и Е„можно определить энергию Е„на фронте волны. Для того чтобы проинтегрировать уравнения дз де ди дв — = ю дз дзо ' дзо дз Р Ро р (77.27) где р, — начальное давление среды (до прохождения ударной волны), Ра — давление на фРонте УдаРной волны.
Ниже мы увидим, что скорость фронта ударной волны разрежения определяется как скорость распространения обычных малых (линейных) воамущений: 656 неУстАновизшнеся Движения В плотных сРеДАх (гл. х1 примем за независимые переменные и и е, а хо и ( будем считать искомыми функциями. Для этой цели, как обычно, представим уравнения (77.3О) в виде якобианов д(и, хо) о д(1, е) д(1, и) д(е, хо) д(1, хо) д(1, хо) ' д(1, хо) д(1, хо) и разделим эти уравнения почленно на д (и, е)/д (1, х,), считая, что д(и,е) +О д(1, хо) Случай, когда д (и, е)/д (1, хо) = О, мы рассмотрим ниже, отдельно.
При этом уравнения примут вид д(и, хо) о д(1, е) д(1, и) д(е, х) д(и, е) д(и, е) ' д(и, е) д(и, е) или дхо о дл до дхо де ди ' де ди Пусть ( = доР1ди, хо = —, где оР= оР (и, е), тогда второе соотношед~д ние (77.31) удовлетворяется тождественно, а первое уравнение (77.31) примет вид (77.3$) дР, до) — = И де' ди' (77.32) Поскольку л11 = 1(о'роде, то возможно, определенным образом аппроксимируя зависимость о = о (е), решить уравнение (77.32); так как и~о = ор (е), получим уравнение вида д Р()д (77.33) (77. 34) о = оо+ а (е — ео)" где о„е„а и и — константы; тогда Ф аа (е — ео)' 1 Ро (77.35) для определенных частных видов ор (е) это уравнение имеет аналитическое решение.
Заметим, что поскольку исходные уравнения, описывающие распространение сильных волн в твердых телах, аналогичны уравнениям газовой динамики, то и решения этих уравнений при соответствующей аналитической аппроксимации закона о = о (е) должны быть такими же по форме, как и хорошо известные решения уравнений газовой динамики. Пусть 1 771 РАспРОстРАнение сильных Волн В тВВРдых тинАх 657 Возьмем в качестве новой независимой переменной переменную: (77.38) где 6 и р — константы; тогда др д — ''дд деф 3* '='г дьр д — 1 дф1 — = — зз —; — = — гр~~г — + де Ь де ' дее Ье ~ дее + д де) При этом уравнение (77.32) примет вид д"-Р д — 1 дт аа Ьи+1 — дьр дее 3 да ро де дие ' пусть () = а + 1 и 6"ы = ре(а + 1)'/аа; тогда дар а дф д"ф де» + а + 1 де дие ' (77.37) Продифференцируем по з уравнения (77.37); получим д'4» / а Ь дт1 де'те дт г — +~ — +1) — = —, где ф, = —.
дее ~а+1,~ де дие ' де Дифференцируя (77.37) я раз по з и обозначая д'ф/дз» = ф„, получим (7 7.38) Интегрируя (77.37) /е раз по х и обозначая операцию (е-го интегри- рования как ф», получим (77.39) Вводя вместо г новую переменную О = 2 )/з, придем к уравнению а — 1 дЧ~+» а+1 — ~Ч~~к деф+» +2» д (77.40 дде + д дд дие ) где при индексе )е устанавливается соответствие уравнению (77.38), а при индексе — ?е — уравнению (77.39). Пусть .+ ?е = (а — 1)/2 (а + 1) или а = (1 +. 2/е)/(1 +- 2я), где верхний знак соответствует операции интегрирования, а нижний — операции дифференцирования; тогда уравнение (77.40) принимает вид ~1'~в деф~» (?7.41) дде ди' 658 нкрстановившикся двнжкния в плотных средах [гл,хе откуда Отсюда од~о = Р, (8 + и) + г"о (8 — и).
(77.42) д од = — — (Р,(2 уз+ и)+ Го(2 ф з — и)], (77 43) где знак плюс соответствует операции дифференцирования, а знак минус — операции интегрирования. Поскольку аа (е — ео) "+ (77.44) ро(а+1) то при — 3 ()о = 1) имеем (е — ео)о ' о ро (е — ео)о При этом ао = — а, причем а (О, ро 1, Фо(2 ар~о+и)+Фо[2ра — и) 12ао (е — ео)о у ° Заменив гна е, получим о)>=(е — ео)(Ф, (), — ' +и) +Фо (~/ 2"" — и)~, (77.48) при атом др 1 = д — †(е — е,) [Ф, — Фо); ди т/ Ро дод о Зао ко= — =Ф,+Ф,— '(Ф,+ Ф,); де е — ео (77.49) (77.45) мы получим решение уравнений в виде (77.43), причем теперь всюду верхние и нижние знаки в выражениях (77.43) и (77.45) согласованы.
При )е = О, 1, 2, 3,..., о мы будем иметь а = 1, — 3, — 5/3, — 7/5... и в (77.43) должны применить операцию дифференцирования; при )о = — 1, — 2, — 3, ..., — о мы будем иметь а = — 1/3, — 3/5, — 5/7,..., — 1 и в (77.43) должны применять операцию интегрирования. При а = 1 ()о = О) мы имеем обычный закон Гука (по=аео). Наибольший интерес представляет случай )о = 1, и = — 3; этот случай достаточно близко отвечает реальной зависимости ос и (е) для большинства металлов и ряда твердых тел. При а = с то) геспгостганвник сильных волн в тввгдых типах 659 здесь черта над знаком функции обозначает операцию дифференцирования по аргументу.
Мы нашли общие решения основной системы уравнений. Будем искать теперь особые решения этой системы. Как известно, в случае особых решений д(и е) 0 д(с,хо) (77.50) Раскрывая якобиан (77.50), найдем, что ди ди де дхо дс дс де дхо (77.51) Подставляя (77.51) в (77.30), найдем ди соо с' де)о де дхо де (,дхо) дс дс отсюда де де — =+ш— дс — дхо ' (77.52) где ш = ш (е); решение (77.52) очевидно: (77.53) е — ео — — с (хо -)-шс), где 7' — произвольная функция.
Далее, мы имеем ди де ди де — = +ш — ' — = -(-ш —. дхо дхо ' дс — дс ' Отсюда следует, что с)и = +шссе и В случае а = 1 ш = ш, = сопз(, в случае о = — 3 ,/ За. (е — ео)' Р. (е — е )' (77.56) / Зао и = )- с/ — + сопзФ. — Ро е — ео / За Ро и = + ~ ш с(е + сопз(. (77.54) Легко убедиться в том, что особое решение определено вдоль характеристик уравнений (77.30) при переменном ш. Удобно для дальнейших преобразований уравнение (77.53) писать в виде хо = ~шС+ г" (е).
(77.55) 660 нвгстхновившнвся движвпия в плотных сгвдах ~гл. х1 Волны, описываемые особыми решениями, являются простыми (римановскими). Существует два семейства характеристик, вдоль некоторых распространяются простые волны. Простые волны называют также бегущими, поскольку они могут распространяться только в одном направлении (справа налево или слева направо) по еще невозмущенной среде (или среде, движущейся стационарно). При отражении простых волн от открытого конца стержня, от свободной поверхности, стенок и взаимодействии их друг с другом в случае простых волн разных направлений образуются сложные (отраженные) волны, которые описываются общими решениями основных уравнений. Аппроксимация а=о,— а(е — ез) ' (77.57) / 1 вс '~/ Е (77.58) достаточно удовлетворительно описывает зависимость а — о (е) для большинства металлов и твердых тел в области нелинейных и пластических деформаций. В самом деле, при достижении так называемого предела упругости, когда перестает быть справедливым закон Гука, величина производной й~/ое в некотором диапазоне давлений уменьшается, /1 лс т.
е. уменьшается скорость и = ь — — . Из уравнения з, гз' (77.57) мы имеем ш'= й~/р,де = Заа/р,(е — е,)"; при увеличении 1з ~, полагая, что з, ( О при е О и е ) О при з ( О, мы действительно придем к результату, что с увеличением ~ з ~ уменьшается скорость. В дальнейшем вместо е — з, всюду будем писать е + е„полагая, что зз <" О при з ) О и зз) О при е( О. При больших давлениях скорость ш возрастает с давлением (см.
рис. 93). Рассмотрим такую задачу. Пусть на одном из концов, например левом, какого-либо прямолинейного стержня мгновенно приложено большое давление (площадь стержня будем считать равной единице и пренебрегать поверхностными аффектами, что равносильно неограниченной среде) и пусть зто давление меняется каким-либо образом со временем. Требуется определить движение среды в стержне.
Пусть на некотором интервале времени О ( ~ ~ г давление возрастает, не переходя предела зоны в (рис. 93). Тогда, поскольку более сильные деформации распространяются с меньшей скоростью, чем более слабые, будет иметь место следующая картина движения. В головной части волны деформации будет разрыв, распространяющийся с максимально возможной скоростью 5 77! РАСПРОСТРАНЕНИЕ СИЛЬНЫХ ВОЛН В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ 661 Максимальная деформация на разрыв, очевидно, равна предельной, при которой еще соблюдается закон Вука; левее разрыва будет область нестационарной волны сжатия, уравнение которой можно определить из решения х = йо + г'(й); и + 1// †' — + сопзС.
(77.59) 1 Ро а+ ее Произвольная функция г" (и) определяется из таких условий: на фронте разрыва О=С, Е=Е, где 3, е — предельные значения и и е. Для них имеет место соотношение й = — й,е, (77.60) при этом / Зао 1 — / Зао Г 7 сопзС = и — 1/ — ' =; и = и + 7/ Ро е+ео Ро ~ е+ео е+ео ! Слева нам дано с = О (7) (при х, = О); начало отсчета координаты хе будем вести от левого конца стержня. Зная о = и (е), мы определим е = е (7) и й = й (Г), и обратно С = 7 (й), поэтому г' (й) = = и 7 (й); таким образом, х,= й (г — 7 (й)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
