К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 98
Текст из файла (страница 98)
будет иметь место акустическая формула. Совершенно аналогичные выводы можно сделать и для цилиндрического взрыва. Более сложной является задача о расширении в жидкости продуктов реальной детонации. Однако, так же как и в случае их распространения в воздухе, уже на малых расстояниях от места взрыва поле взрыва приближается к полю в случае мгновенной детонации; поэтому мы этот случай рассматривать не будем. Рассмотрим теперь задачу о расширении сферы продуктов детонации, считая, что процесс расширения, начиная с некоторого расстояния г = 2га, будет эквивалентен процессу расширения идеального газа в несжимаемой среде, поэтому будет иметь место следующее соотношение: (75.19) где (о = 7(5 р» = ри(го(г»)о, а ри = роЮ(8. Поскольку для несжимаемой среды основные уравнения гидродн- намики в сферических координатах имеют вид — + и — + — — = О; — + — = О (75.20) ди ди 1 др ди 2и дз дг р дг ' дг и допускают следующее общее решение.
р — е(О ( (' игз = ((1); (75.21) р г Зга ' а где для данного случая «Р (() = р„то закон движения границы раздела можно написать в виде р»~ г ) ра+ра~ г Ого' (75.22) причем на границе раздела ( = — г + 2и'г = — — г + 2и г; Еи, з 1 диз дз 2 дг поэтому уравнение (75.22) принимает внд з» диз ио 2р1 д 2р (75.23) Р „з»ы а Ра Его решение при условии, что и = и, при г = г, имеет вид (75.24) Предельное расстояние которого достигают продукты детонации, определяется из этого соотношения, если положить в нем и = О: 1) ( †) + ра = ~ — раи» + „ ~'~ + р,1( †"' ) .
(75.25) 642 неустАИОВившиеся дВижения В плотных средАх 1гл. х» (,/'- — .— г~ / (й — 1) р 8(й — 1) р ( г1/ 8(й — 1)р 16,132 ' Для типичных конденсированных взрывчатых веществ будем иметь, полагая р = $,6, Ю = 7000 м/сее, й = 1,4, (г/г )з = 500 или (г/г,)' = 500 8 = 4000, что дает г/г = 46. Таким образом, мы видим, что предельное расстояние мало отличается от расстояния, достижимого продуктами детонации в воадухе. С увеличением глубины, на которой может происходить взрыв в воде, внешнее противодавление возрастает, и поэтому предельный и максимальный объемы продуктов детонации уменьшаются в отношении (р,/р„)1(й, где р„— противодавление на глубине Ь. Следует указать, что пользоваться решениями (75.21) для ударной волны, распространяющейся даже в очень мало сжимаемой среде, не имеет физического смысла, поскольку скорость распространения звука в такой среде всегда конечна, а не бесконечно велика, как зто следует формально из решений.
Кроме того, из решений (75.21) следует, что скорость в ударной волне (в волне сжатия) падает от границы раздела к фронту волны; при учете сжимаемости картина должна быть обратная. Поэтому для описания акустической стадии распространения волны следует пользоваться уравнениями акустики с учетом нелинейных членов, т. е. полагать, что в бегущей волне выполняется соотношение и = — ~")/ — ЫРИР = ~с — ', Р а (75.27) которое для малых давлений принимает вед и =с — = =(с — с„), йр 2 (75.28) р а — 1 причем и 1/г. Количество движения, которое имеет вода за фронтом ударной волны, может быть определено соотношениями, аналогичными тем, которыми мы пользовались в 8 72; ' = ~„„з 2/(ХеЕо 1+ при г(45г;, (75.29) (75.30) при г ~ $5гю причем, как показывают эксперименты, Х = 10г,.
Длина ударной волны в воде будет несколько меньше, чем в воадухе, При отражении ударней волны от какой-нибудь преграды 1 76) РАспростРАнение сФеРическОЙ УдАРКОЙ ВОлны 643 Пренебрегая малыми величинами, окончательно придем к выра- жению 644 Р = А (Я) (Рп — Ри), (75.31) причем показатель степени п можно выбирать довольно произвольно, меняя соответствующим образом величину А, то, допуская приближенно, что Р =.4 (Ж Р", (75.32) легко найти решения для случая точечного взрыва.
Эти решения становятся особенно простыми при и = 7. В самом деле, используя основные уравнения для автомодельных движений 2 69 ()нв ,1 )н а (а~ — х) ~ .' — (и — 1) Лх [М (и — 1) + и+1) х — 2 (а~ — х)а — Л Г 2 (аа — 1) у~ + х (У+1)~ — х(1 — х) (аа — х) с()па+А)л(х — аг) + г))пг = О (У+ 1) х (75.33) и отыскивая решения в виде 2а~ 2и (и — 1) ат х=хн= —, у=ух= и+1 ' " (и+1)' мы сразу же придем к такому результату) и+1 $ ' и+1 г (75.34) при этом должны выполняться условия (Л'(и — 1)+ в+1) ха = 2; ун ~ + хн (Л + 1)) = хн (1 — хн) (а, — хн). / 2 (а~ — 1) Отсюда мы видим, что, поскольку аг = 2ЯХ + 3), ЗФ+ 1 У вЂ” 1 (75.35) при У = 2 мы получаем и = 7. При этом Р г = г(1. (75,36) количество движения будет в пределе для бесконечно протяженной преграды удваиваться. В заключение рассмотрим случай точечного взрыва в воде.
Поскольку уравнение состояния для воды можно писать в виде л 761 неустлновившиеся дВижения ВОды В НАИАЯАх 645 Закон движения фронта ударной волны выражается соотношением г 1 ))у = ал— 1 л э/ (75.37) Зависимость давления от расстояния выражается соотношением р — Ьа.
(75.38) Соответствующие константы могут быть определены из уравнения энергии. Зависимости и = и(г) и р=р(г) для заданного л даны на рис. 9л. На этом мы закончим краткое рассмотрение основных закономерностей наиболее важных неустановившихся движений в жидкостях. Отметим, что после прохожде- ~ г ния фронта ударной волны через свободную поверхность Ркс. 91. жидкости начнется навигация жидкости, приводящая к выбросу некоторого количества распыленной жидкости в атмосферу. 6 76. Неустановившиеся движения воды в каналах э) Исследования движений воды в каналах и реках и, в частности, неустановившихся движений представляют большой технический интерес.
Используя развитый аппарат газовой динамики, можно с большим успехом применить его к исследованию неустановившихся движений воды в призматических каналах, пренебрегая боковым растеканием воды и считая, что отсутствуют силы трения. При этом необходимо также допустить, что глубина воды не очень велика, а длина волны в среднем, напротив, значительна по сравнению с глубиной канала. Основные уравнения для рассматриваемого течения будут иметь вид — +и-~ — + — — = 0; 1 д д тдр дФ дэ р дэ (76 Я) э) Подробно этк вопросы были рассмотрены С.
А. Хрксткакоэвчэм (4). 1 7Б! негстАновившиеся ДВнжения ВОды В кАнАЛАх 64с Отсюда следует, что и = а( а Р); с = аа( —, г') (76.7) а ИР' а+1 (76.8) и система уравнений (76.3) может быть написана в виде — +и — + — =0; ~ дс дх ' дх дс + и д' + (й — 1) с —," = О, (76.9) где сс — 1= — ас или а= 2 —. (76.10) Для аначений й = ,2 а = , где г = О, 1, 2, ..., оо. 2.+З 2г+1 2 Общее решение атой системы, как известно [см. (15.33) и (15.34)), имеет вид д" с Р1 ! )г 2(2г+1) (+ и! +Ус [)г 2 (2г+1) С вЂ” и! сиг — с )г Сг причем — х=ис — —.
дф дф (76Л2) дс ' ди и = + )гг2 (2г + 1) С + сопз(, х = [ и + )с 2(2г+ 1) с ! С + г' (и) (76ЛЗ) или и =- .+ 2 [г' — с + сопя(, х = ) и+- 2 — с) С -(- Р (и). / а+1 а+1 (76Л4) Вводя 2 [г — ( = с, где с — скорость распространения воз/ а+1 мущения, напишем систему уравнений (76.9) в виде ди ди 2 (а+ 1) дг дс дх а дх (76.15) Особое решение атой системы для произвольного значения а (или г) (2 14) имеет вид 648 нвтстановившикся двнжвння в плотн~х сгвдлх игл. х1 отсюда следует такая форма записи уравнений: — (и+ с)+(и+-с) — (и+ с) = О.
(76.16) Анализируя эту систему, можно сделать вывод, что всякое движение воды в канале можно разложить на две волны; в одной волне заданные значения и + 2(и + $) с/а распространяются вправо со скоростью и + с, в другой волне заданные значения и — 2 (а + + $) с(а распространяются влево со скоростью и — с. При этом обе волны взаимодействуют друг с другом. При внезапном понижении дна или при разрушении какой-либо плотины, например в канале, образуется так называемая прерывная волна, являющаяся как бы аналогом ударной волны.
На фронте атой волны давления и скорости будут терпеть разрыв, поскольку площадь, занимаемая водой, также терпит разрыв. Выведем основные соотношения для прерывной волны, справедливые для описания состояния по обе стороны фронта, в случае параболических русел. Уравнение неразрывности в системе координат, в которой фронт разрывной волны покоится, будет иметь вид 2 — ° 2 1 1 й1Р1 = й2Р2 или й111 " = й212 (76Л7) Здесь индекс $ обоаначает состояние до фронта и индекс 2 — состояние после фронта волны, й — скорость в этой системе координат. Уравнение сохранения импульса дает соотношение 2 ЕЛ2 и Е,/2 2ря ~ ~ (Ь вЂ” у)дудх+ ри',Р1 = 2од~ ~ (Ь вЂ” у)оудх+ри272; о о о о (76 18) отсюда для параболического русла, поскольку 2 ЕЛ2 22 2+ 2~ ~ (Ь вЂ” у)дую = (2+1)(аз+1) (2~а) 2 2 1 будем иметь 1 1 1 1 2+ — 1+— 2+ — 1+— З .
а 2 2 й а а 2 2„ + т 11 + 11 и1 = Э„ ( т 12 + 12 и2 1 то! негстАновившиеся дВижениЯ ВОды В кАнАлАх 649 ИЛИ аЬ,'+ ЕА~,' = "~ д4+ К,ЬА. (76.19) Уравнения (76 18) и (76.19) дают соотношения между четырьмя параметрами о„й, 1, и й, два из которых должны быть заданы. В системе координат, связанной с неподвижным наблюдателем, выведенные уравнения будут иметь вид 1 1 1+— 1+— (Р— и1)1, = (Р— ио)1, 1 о+— о+— 1 а1 1+ — „ а1 а 1+— 2а 1 + 1 ( 1) 2 1 + (76.20) о!о е = 2 ~ ( —" + — ))рийР, о (76.21) то, производя интегрирование н исключая, например, и1 и и„ найдем выражение для величины потерянной энергии е, — е как функции Ь,и Ь,.
Однако эти вычисления довольно длинны и большого интереса не представляют. В частном случае, когда я -о оо, имеем русло с постоянной глубиной. При этом е, — ео = — (Ь, + Ьо) (Ь, — Ь,). ЮРа1Ь1 1 4А1ьо (76.23) При этом также формально будем иметь, что уравнения (71.1) переходят в уравнения газодинамики с уравнением иээнтропы р — р', где р=рЬ, Тогда Р= р ° Ю 2Р (76.24) Следует отметить, что устойчивые ударные волны разрежения при распространении воды в каналах невоаможны. Здесь Р— скорость фронта разрывной волны.
При переходе через фронт раарывной волны энергия жидкости необратимо уменьшается, часть энергии идет на повышение температуры жидкости. Поскольку плотность потока энергии равна 650 негстзновившнеся ДВпжения В плотных сРеДАх !Гл. Хг Выведенные нами соотношения позволягот решать самые разнообразные задачи, связанные с неустановившимнся движениями воды. При этом пригодны полученные нами ранее решения ряда аадач, описывающих неустановившиеся движения газа. Величина ( в формулах для движения газа обозначает теплосодержание, а в данном случае величина 1 = дй пропорциональна глубине жидкости.
Площадь сечения можно уподобить плотности газа (р); для параболических русел, как мы видели, существует, так сказать,изэнтропическая связь между глубиной и площадью. Соответствующим образом можно применить граничные и начальные условия задач газовой динамики к задачам движения воды в каналах. Следует только особо отметить некоторую разницу между распространением ударных волн в газах и разрывных волн в жидкостях. В первом случае уравнение изэнтропических движений уже неприменимо, во втором случае оно сохраняет силу. Это объясняется тем, что связь между давлением плн глубиной капала и площадью сечения (плотностью) сохраняется и в случае разрывных движений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
