К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Задачи распространения волн разрежения и, в особенности, ударных волн в плотных средах решаются несколько проще, чем для газа. При распространении ударных волн в плотных средах можно в большинстве случаев пренебрегать изменением энтропии и температуры среды и рассматривать ударную волну как бы в акустическом приближении. Основной целью, которую мы преследуем в этой главе, является установление основных зависимостей, связанных с распространением продуктов взрыва и возникающих при этом ударных волн в какой-либо плотной среде, например в воде.
Будем сначала изучать одномерные движения жидкости при взрыве. Особый интерес представляет изучение поведения жидкости у свободной поверхности. Прежде чем перейти к решению поставленной задачи, предварительно выясним основные параметры фронта ударной волны в жидкости. При этом установим критерий, позволяющий судить о возможности пренебрежения изменением энтропии. Для этой цели воспользуемся уравнениями энергии и состояния (28.4) Еу — Еа = 2 (уа уу)~ Р = Р(у, 3). (73.$) Написав уравнение состояния в виде (4.33) Р 4 (Е)(ра р") (73.2) где 8 — сопз1, А = сопз$, будем иметь а-1 „ и-1 Е, — У ~ У ' + — "~; Е,=О (73.3) р~ ~ п — 1 Ру у а 622 нетстАнОВиВшиеся ДВпжгния В плОтных сРВДАх 1гл, х1 и, пренебрегая значением р, в уравнении энергии, получим уравнение ударной адиабаты для сильной волны и+1 (ра-1 рп-1) — рп+1 / и+1 (73.4) и — 1 а ч ч а ь а Отсюда для сильной ударной волны придем к результату рч = р„ т.
е. к противоречию, поскольку при рч — ра вообще нет ударной волны. Отсюда следует, что при уравнении состояния (73.2) не может быть ударной волны конечной силы. В пределе для слабой ударной волны мы снова придем к реаультату рч = р„т. е. к тому, что бесконечно слабая акустическая волна может существовать (З 25) при уравнении состояния (73.2). При др/дЯ = О (или др/дТ = = О) конечная ударная волна, как мы убедились, невозможна. Поэтому воспользуемся более точным уравнением состояния для жидкости р = Ф (ч) + Т/ (ч).
(73.5) Тогда, как мы знаем Я 1), внутренняя энергия выразится так: Е = с,Т вЂ” ~ Ф (ч) йч. (73.6) Принимая для функции Ф (ч) выражение вида ф В (рп рп) (73.7) и полагая Т, = О, найдем, что (73.8) Отсюда уравнение энергии (ударной адиабаты) примет вид .1-и «(», — ч) = " си+ Вч ~ + ч,"~ — Вп ' . (73.9) и — 1 Определим теперь такое значение функции / (ч), чтобы уравнение состояния (73.5) приводило к уравнению состояния вида (73.2). Используя выражение (1.13) найдем сначала уравнение состояния в виде 1 и» р = Ф (ч) + Л'(Я) /и ч Š— Š— — с,Т вЂ” ~ Ф(»)1)ч = сев и — Ф а — ч / ч а и — 1 ч — ~ Ф(ч)М =- ча »1-и ча "7е» 1+ал'(Я) = А(Я); /е 1 " =аф, (73.10) где а = сопзг. Интегрируя последнее уравнение, найдем и» Ф (ч) /(ч) = А~ — ')Ф (»)17» где /ср — — сопз(.
Таким образом, уравнение состояния (73.5) мож. но написать в виде (73.11) р = Ф(ч) (73.12) а уравнение ударной адиабаты, используя (73.9),— в виде — (ча — ч) = ~йа+ Вч ( + ча )~ + а + Вч ~ + ч, ~„— ч', ". (73.13) Отсюда для сильной волны (р -э оо) мы имеем аа»1 и + И вЂ” ( + 1'»аи » а (73Л4) 2 »- и»-и а что определяет значения (ч,/ч)РР или (р/р,)„р. В случае /с = 0 приходим к уравнению р (ри ри) р ри + ри) и+1 / и — 1 (73Л5) Например, в случае и = 3 имеем (Р) — 2(Р) = — '+1, (73Л6) откуда ( Р ) = 2,3. Значению р/р, = 2,3, например для воды, соответствует давление порядка многих миллионов кг/см.'.
Для обычных давлений при взрывах р/р, = 1,5, при атом энтропию можно считать на фронте волны постоянной и ударную волну заменять волной сжатия. а 731 РАспРОстРАнение плоской УДАРной ВОлны В ВОЛГ 623 Сравнивая зто выражение с (73.2), будем иметь 624 нвустяновзтвкпзкся двпжгняя в плотных свкдах М= (р — р )(ч — ч) (73.17) что для сильной волны дает 2 ь (ь — 1). (73.18) 7 (при Й = — М, 5 Для волны получим = 1,9). проиавольной амплитуды, выражая ч через р, 2(р — р )' М= ьр(р(а 1)+р.(а+1) (73.19) При (73.20) 1 А(" — ') величина М =- 1.
При )г = 7!5 значение М = 1 достигается при р(р, = 3. Для детонационной волны М = 1/)г, т. е. число М всегда ( 1. Дальше мы воспользуемся уже известным полоясением, что при отражении детонациокной волны от твердой стенки энтропия *) 0 вырожденном газе сн. Л.
Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Статистическая физика. Изд. зНаука», 1967. Уках<ем, что при сверхбольших давлениях среда приобретает газовые свойства и энтропия резко повышается, однако при этом газ будет не идеальным, а вырождекнызз *). Установим критерий, какуго ударную волну можно считать сильной. В случае распространения волны в атмосфере в любой разреженной среде плотность на фронте волны приближается к своему предельному значению уже при отношении давления на фронте к начальному порядка 30 — 50.
В случае распространения в плотной среде при огромных давлениях, порядка 10' кг/сззз, ударная волна отождествляется с акустической. Очевидно, что величина давления на фронте волны сама по себе еще не дает возможности заключить, является волна сильной или нет. Таким критерием может быть число и(с = М, называемое числом Маха, где и — скорость потока на фронте ударной волны, с — местная скорость звука.
При М (1 волна может считаться слабой, при М ) 1 — сильной. Например, для ударной волны, распространяющейся в разреженной среде, из формулы (30.8) и формулы с = ~~Йр)г(р = )(крч получаем $7н РАспРОстРАнение плоскои УдАРнОЙ ВОлны В ВОде 625 р=4(р ра); (73.21) са=( — ~ =илри'= прч 7 ор 7 ч и ар В и и (73.22) Поэтому (73. 23) ( р — р )(» — ч) ч — ч прч -и откуда следует, что даже для волны, имеющей предельное значе- ние ч (73.16), на фронте имеет место неравенство (73.21) что при и = 3 дает М, С 1Е 3 = 0,52, т.
е. число М, всегда значительно меньше единицы и всегда ударная волна в подобной среде может быть рассмотрена в акустическом приближении. Рассмотрим строго одномерные движенияа). Пусть в сечении х = 0 в момент времени г = 0 начинается детонация линейного заряда ЬЬ, длина которого 1. Мы будем рассматривать три случая: а) случай, когда левый конец открыт и ничем не загружен (слева — пустота); б) случай, когда весь процесс симметрично идет направо и налево, что сводится к задаче детонации у стенки, и в) случай, когда слева (при х ( 0) — та же среда, что и справа, у конца заряда.
В начале решения первые два случая могут рассматриваться одновременно. Бегущая детонационная волна, характеризуемая законом иззнтропы (73.25) р — 4 ри в случае п = 3 будет описываться уравнениями х = (и+ с) 1; (и — с) = — —, В 2 (73.26) *) Этв задачи были рассмотревы автором, на фронте отраженной ударной волны возрастает весьма незначительно, а следовательно, эта задача рассматривается в акустическом приближении. Это вытекает также непосредственно из того обстоятельства, что число Маха для детонационной волны всегда<1.
Для плотной среды, где справедливо уравнение изэнтропы (73.2), 626 негстАновнвшиеся дВижения В плотных сгедАх игл. х~ В момент времени 8 = И) в сечениях х = ( детонацнонная волна доходит до границы раздела двух сред. При этом возникает следующая система волн. В продуктах детонации, как уже известно, в зависимости от граничных условий возникают две волны разрежения или волны сжатия и разрежения, отделенные слабыми разрывами: первая волна сопрягается с волной (73Л6) и описывается уравнениями х — 1 = и — с. В Х вЂ” =и+с; Ф (73.27) Правее расположена вторая волна: — = и+ с; х = (и — с) 1 + Рз(и — с), (73,28) которая справа отделена от среды сильным разрывом. Воспользовавшись для рассматриваемой среды уравнением изэнтропы (73.21), рассмотрим возникающую в этой среде бегущую волну. Эта волна, очевидно, может быть охарактеризована уравнениями и = (с — с,); х =-(и+ с)~+ 7,(и).
(73.29) Слева и справа от границы раздела (Ь р=р, ипп — „ (73.30) Для произвольной среды 2п зп р = Л (с"-' — с,п-'), (73.32) что следует ив (73.22). Отсюда на границе разлета 2п зп (т,с)п р1-1 с и-1 (73.33) где где р — давление в среде. Исходя из этих условий, определим закон движения границы разлета, а также вид функций Р, и Р,. Для продуктов детонации имеем р =.4 рз = А са. (73.3$) РАспРОстРАнгнне плоской УДАРнои Волны В ВОде 627 та) Поскольку х 22х х и+в с= — — — = — — 2, с=с + а 2 х то 2и 212 ( — — х) = (с, + х) — с," '. (73.34) Мы получили дифференциальное уравнение, определяющее закон движения границы раздела двух сред.
Начальными условиями являются по-прежнему: с = 1//), х = 1. Прн этом 2и 2)2(Р— и,„)' = (Си + . и„и) — С,"-', (73.35) что определяет начальное значение скорости границы раздела двух сред иги. Начальное значение давления определяем формулой РЛ = 2И2 (73.38) где р„= р .02/4, с„= 3/7/4 являются значениями р и с на фронте детонационной волны, рс — начальная плотность взрывчатого вещества. Решая уравнение (73.34), определим для границы раздела х = х (1), и = и (1). Отсюда можно написать для продуктов детонации: Х вЂ” Х2 = и — с. с — н (73,37) Для произвольной среды можно вычислить 1=1,(и), х= х,(и), где /2 и х, — функции величины и; эти функции определяют Г2 (и) в уравнении (73.29).
Для определения РА (и) приходим к уравнению ,' =и+с, (73.38) где 12 и х, — функции и и с. 1 = 22 (и — с), х = х, (и — с), где индекс 2 относится к волне с функцией Р, (и — с), Г н хз суть функции и — с; они определяют Р2 в уравнении (73.28). Для определения Р'2 (и — с) будем иметь 628 нкксткновившикся двпжкния в плотных сгкдкх 1гл. ха Остается определить закон движения фронта ударной волны, возникающей в произвольной среде (Р ). В рассматриваемом приближении где Х вЂ” координата фронта ударной волны. Из (73.38) имеем 2 х — ю и — 1 с .—.
— с, + а+1 ' а — и а+1 ' что определяет КХ . 1 Х вЂ” Х, + А 2 (73.40) 2 с — и решая это уравнение, находим закон движения фронта ударной волны Ф(Х,1) =О. (73.4а) (73.42) иж0, с=Р/2. Возникает новая, простая волна х — /=(и — с)(1 — — /; и+с= —, (73.43) Е .0 .о,/ ' которая догонит точку слабого разрыва между волнами (73.27) и (73.28), после чего вновь образованная волна, распространяясь в обе стороны, догонит границу раздела двух сред и изменит параметры ударной волны. Далее, при 1 = 3//Р произойдет отражение волны (73.43) от стенки, что приведет к образованию новых и новых волн при встречах различных точек слабых и сильных раарывов.
Начальные системы волн, соответствующие первому, второму и третьему случаям а, б и в, рассмотренным на стр. 625, покаааны на рис. 89, а, б и в соответственно. Будем теперь рассматривать конкретные случаи. Примем для произвольной среды п = 3, тогда основная формула (73.34) примет вид 1а — — х( = (с + х)а — са. а а' (73.44) В случае открытого левого конца (истечения продуктов детонации в пустоту или воздух) найденные решения будут иметь место при любых 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
