К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 101
Текст из файла (страница 101)
(77.61) Уравнения (77.60) и (77.61) полностью описывают простую волну сжатия. При очень больших давлениях скорость фронта ударной волны определится обычным акустическим приближением. Пусть теперь давление, приложенное к концу стержня, при 7 = Г, начинает падать. Слева направо по стержню пойдет волна разгрузки. Эта Волна обладает интересными свойствами. Из опыта известно, что всякая волна разгрузки и при начальном сжатии и при растяжении распространяется со скоростью й, = )/Е/р~.
В случае внезапного снятия нагрузки волна разгрузки будет распространяться как ударная волна, поскольку й, ) й. В случае постепенного снятия нагрузки волна разгруаки будет сначала непрерывной, но крутизна ее фронта начнет возрастать со временем (поскольку йо ) й) и при некотором законе уменьшение нагрузки сможет превратиться в ударную волну разгрузки. Ксли изменение давления происходит непрерывно, то простая волна (77.60)и (77.61) сохраняется; если изменение давления происходит скачком, то возникает новая волна в случае падения давления. Эта волна, как мы указали, будет устойчивой волной разрежения. В случае внезапного повышения давления взрыв будет 662 нкрстеновившився движения в плотных сркдлх (гл.
хг ас Зао Зао / а — ао~ з розе ро(е+ ео)' ро ~ ао / Поэтому ( е зо)~з отсюда з ф' Е аа ао м з з ,) =о — А са з — = — ~1 + )'/ 1+ 4 ( — Аи з ) 1 таким образом, уравнение (77.61) примет вид з то= ио(с — —,(1+ е 1+4( — Аи~')1(. При этом (77.63) (77.64) сглаживаться и пойдет новая непрерывная волна сжатия. В тех случаях, когда давление иаменяется непрерывно, но производная др/д~ терпит разрыв, пойдет также новая непрерывная волна (нагрузки или разгрузки). Во всех этих случаях (разрыва давления или его производной) возникнет новая волна, которая уже не будет простой и должна описываться общими решениями основных уравнений. Пусть б = б (~) задана в виде б= ба(1+ — — ( — ) ~, (77.62) ГДЕ ба ) б„р, б„р — ПРЕДЕЛЬНОЕ ДаВЛЕНИЕ, ПРИ КОТОРОМ ЗаКОН ГУКа перестает быть применимым, т — некоторая положительная константа.
При Г = О, б = б нагрузка приложена мгновенно, прис = т/2 нагрузка ~б~ достигает максимального значения, прн ~ '- т/2 она начинает уменьшаться, при 1 = т б = б„и пусть при этом значении ~ нагрузка мгновенно снимается. Рассмотрим до конца эту задачу (считая стержень достаточно длинным): 1 77) РАспРОстРАненпе сильных ВОлн В тВеРдых телАх 663 дх — = и = и (х„(). до (77.65) Интегрируя (77.65) при условии 1 = О, х = х„определим х= х(х„г) (77.66) и затем (77.67) и= и(х,г).
Выясним, может ли в волне разгрузки при законе (77.62) сформироваться разрыв. На разрыве ди/дх = или дх/ди = О; очевидно, при этом дхо/ди+ О, поскольку частицы, расположенные левее, вовсе не догоняют передних (с большей скоростью распространяются лишь состояния). Переход к координатам Эйлера от координат Лагранжа неудобен даже для простой волны; значительно целесообразнее определить соотношение для простой волны в форме Эйлера непосредственно из основных уравнений; как известно, особые решения в форме Эйлера имеют вид х= (и+с)1-)- г'(с); о(и = с — Р.
Р (77.68) Поскольку — =В+1, Р Зао о+ 1 Ро (о+ ао)' с = — ио Ро \ Р За, Ро (а+ оо) то, очевидно, связь между и и ио'остается такой же, как и в коорди- натах Лагранжа: 1 и = и + ~/ — ' ~ — ( 3Р" ) ио о ~ . Произвольная функция г" (с) определится из таких соображений: г" (с) = М вЂ” (и (с) + с) 7, где х = Х (с), 1) 7 (с), причем поскольку известно 1 = 7 (и), т. е. 1 = 8 (с), и на свободной поверхности стержня и = 17х/Ж, то х = $и(С)й = х(с). Таким образом, определяется Р (с). Следовательно, принципиально задача решена, Уравнения (77.63) и (77.64) полностью решают задачу, во всяком случае для интервала времени О " 1 ( т. Волну разгрузки исследуем отдельно.
Прежде всего перейдем от координат Лагранжа к координатам Эйлера. Поскольку и = дх/д(, то, исключая из (77.63) и (77.64) ио, найдем 664 нкгстАновившнкся движкния в плотных сгкдлх ~гл. хг Определяя, далее, дх/ди = (1 + дс/ди) 2 + (г)г/йс) (Ас(г)и) и приравнивая дх/ди = О, найдем 1 = 2(с), + Ыс мы, однако, не будем, поскольку получаются громоздкие соотно- шения. Достаточно выяснить возможность образования ударной волны разрежения при более простой для данной задачи аппрок- симации (77.69) где $ = совз1.
Здесь х определяет положение левого конца стерж- ня как функции времени, при этом скорость конца 2~8 и = — — —. х (77.70) В момент времени г = т/2 и = 0; при г = 0 стержень мгновенно нагружен и тут же начинается разгрузка. Из (77.70) имеем т'гй 2 = 2 (и) = — ( — — и1; 22(,т далее, очевидно, х=х(и)= 2 [ —" — иП1 — 2'(Х вЂ” и)1.
Связь между с и и дается соотношением .=~/ "~(. —.)К'2 + — '1= = ((1 — ее) ((и — и) ()/ — ' + — )1 — 1~ . Поскольку х = (и + с) (2 — 7) + х, с = А и" + Ази + Аз, 2 = А и + Ам момент времени образования ударной волны разрежения. При этом значение с нужно брать таким, чтобы 7 было минимальным. Подставляя 2 = 7 (с) в первое уравнение (77.68), найдем х = х(с)— координату образования ударной волны разрежения. Если 7 будет действительным, то ударная волна образуется, в противном случае ударной волны не будет. Доводить решение задачи до конца при аппроксимации $7И РАспРОстРАнение сильных Волн В тВеРДых телАх 665 ТΠ— *- = В,ио+ Вои+ Во — г(В,и+ В,) = О, где коэффициенты В, легко вычисляются; отсюда в1«'+ в и + во В,и+ Во Наименьшее значение 7 достигается при условии В1Вои + 2ВгВои + ВоВо — ВАВА — — О.
Е = Зд = ЕА — ОА/Ь' деформации. Скорость движения конца стержня ид определится соотношением сь си "о = = = — = л'о(ео зо). УРок Рамо (77.71) Состояние Оо = О будет распространяться в виде скачка (ударной волны разрежения) слева направо вдоль стержня.
Если стержень имеет конечную длину и правый его копен вначале упирается в стенку, то как только волна разгрузки дойдет до этой стенки, стержень отскочит от стенки со скоростью йо. Если же разгрузка начинается одновременно с обоих концов„ то при встрече волн разгрузки в середине стержня возникает новая волна, которая будет являться как бы отраженной волной разгрузки; поскольку правая и левая части стержня двигались в противоположных направлениях, то стержень будет растягиваться и в зависимости от начальных условий (величин начальной нагрузки) или просто растянется, или может разорваться. Отраженная волна разгрузки будет так же ударной волной, как и падающая; для нее справедливы следующие соотношения: Значение х = У легко определяется, поскольку х = юог.
Таким образом, при достаточно длинном стержне волна разгрузки станет ударной волной. Представляется необходимым исследовать влияние внезапного снятия нагрузки, когда сразу же образуется ударная волна разгрузки. Сначала рассмотрим такую задачу. Пусть стержень весь равномерно нагружен, т. е. везде о = о„= сопз1. При этом СА= = оо — ао/(ЕА + ео)', где ед — величина деформации при сжатии. Как только нагрузка будет снята, на конце а обращается в нуль; при этом е = ед — — з„— ад/Е, где зд — значение оста- точной 666 неУОТАновившиеся дВижениЯ В плотных сРедАх [гл. х! Е=2ез — ез С= — о, при и=О и = шз (зз+ з — 2еа) (77.72) и при любых з и и. Здесь величины з, с, й = О относятся к фронту отраженной волны.
Если величина напрязкения с превышает некоторое критическое значение (напряжение разрыва), то стержень разорвется. Подчеркнем, что в месте встречи двух волн из условий симметрии следует, что скорость течения материала тождественно равна нулю, и поэтому во всей области отраженной волны разрежения скорость течения также равна нулю слева и справа от плоскости симметрии. Поскольку разрыв может наступить раньше, чем фронты отраженной волны разрежения дойдут до концов стержня, а следовательно, некоторые части стержня при разрыве будут обладать еще достаточными скоростями, то эти части стержня разлетятся в противополоя<ных направлениях. Из выведенных соотношений видно, что разрыв стержня может наступить в тех случаях, когда начальная величина разгруаки превышает критическое напряжение, необходимое для разрыва.
Рассмотренные здесь задачи дают необходимый предварительный материал для изучения более сложных задач распространения сильных волн в твердых телах. Ниже мы рассмотрим эти задачи, сейчас же сделаем лишь вывод о том, что взаимодействия различных волн в металлах значительно более просты, чем в газах, поскольку течения в металлах, по сути говоря, изэнтропичны. Только в случае весьма больших давлений, порядка миллиона атмосфер, когда сжимаемость металлов становится значительной, необходимо учитывать изменения (возрастания) энтропии. Теория цилиндрических и сферических волн деформации (нагрузки и разгрузки) почти во всех деталях напоминает теорию цилиндрических и сферических волн в жидкостях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
