К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 104
Текст из файла (страница 104)
(78.53) Поскольку (78.54) ))уио = (, то скорость метаемого тела определится соотношением Рс (1 — а) (78.55) Значения р и г) определятся следующим образом. Полагая сначала и = и„найдем время, когда метаемое тело вылетит из трубы, (пр —— 2)(/ио, Далее из (21.30) найдем рпр, после чего из (73.52) найдем г) пр и определим из (78.54) более точное аначение 1с (1 — чп,) ио„р —— Если труба слева ограничена, импульс и скорость метаемого тела незначительно уменьшаются. $ 79.
Метание тел продуктами горения Е= т(~ или для идеального газа сн Ь ()с — 1) Рассмотрим теперь весьма важную задачу, имеющую непосредственно прикладной интерес для внутренней баллистики. Пусть в неограниченно протяженной в обе стороны трубе на расстоянии ! друг от друга находятся две массы, справа М„слева М„вне масс — пустота. Между массами мгновенно сгорает какая-либо горючая смесь массы т и калорийности ® таким образом, при горении выделяется энергия $99) МЕТАНИЕ ТЕЛ ПРОДУКТАМИ ГОРЕНИЯ и = х/2. При истечении газа в пустоту направо предельный закон распре- деления плотности описывается следующим выражением: т (2и)! ) / и ~911 Р= с, 299(и99 ~1 '((29+~)с„г) ~ (79.1) Очевидно, что при истечении газа налево в пустоту закон распределения плотности будет таким же, поскольку при замене х на — х выражение (79.1) не меняется.
В случае, когда гаэ истекает свободно (в пустоту) и налево и направо, найдем, что с 929сы (и99 ~ ((2и+т)сис) ~ (величина плотности в два раза меньше, чем при одностороннем истечении, поскольку интервал, где находится газ, в два раза больше). Напишем выражение (79.1) в виде (79.3) где ис = 2си/(/с — 1) = (2и + 1) си — предельная скорость разлета. Напишем уравнения газодинамики при р -с- О в виде — +и — +р- = О. др дР ди дс дс д ди ди — +и — =О; дс дс где с„— начальная скорость звука в мгновенно сгоревшем веществе. Необходимо найти движения газа и обоих тел. Эта задача является обобщением так называемой задачи Лагранжа, которую мы только что рассмотрели.
Однако здесь мы рассмотрим лишь предельное движение при с- со и выясним величины разлетающихся направо и налево масс газа, скорости обоих тел и одностороннее количество движения газа и метаемого тела (общее количество движения равно нулю, поскольку действующие силы являются внутренними).
Если, например, Мс — ~ со, то мы придем к предельному случаю классической задачи Лагранжа, если ЛХ9 = О, то налево газ будет свободно истекать, и мы придем к другому предельному случаю задачи Лагранжа (для так называемого идеализированного динамореактивного орудия или к задаче о фауст-патроне (см.
конец 1 78)). Характерной особенностью движения газа прн г -с- ао, когда р — ~ О, является инерциальность этого движения даже при наличии масс, метаемых газом. При этом, как мы знаем, 682 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ (ГЛ. Х!! При и = х/1 первое уравнение выполняется, как и следовало ох<и- дать, тождественно, а второе даст решение для р в виде (79.4) Таким образом, при инерциальном движении произвольные функции в решении для р зависят только от и и при постоянном и обратно пропорциональны (. При ! -2- оо естественно предположить, что в случае одного метаемого тела М1 при М, -~ со (79.5) где и, — предельная скорость разлета газа, равная предельной скорости движения метаемого тела массы М,.
В самом деле, масса газа в этом случае определится выражением и,! 1 (2з -(- П! г о о где з1 = х/и1!. Поскольку 1 22о (и92 (1 — г1)" 2111 = — ", — — ' (2о+ () о то т = т, что является контролем нашего предположения относительно аппроксимации плотности соотношением (79.4).
Естественно положить, что при М, 2- оо и Мо + 0 т (2и+()! ~1 ~ х )21о (причем мы берем значение и по абсолютной величине); о,! 1 т = ~ р 2(х = т .,„,,' ) (1 — го)"2Ь = т, о о где зо = — х/и21. Если обе массы конечны, то можно положить, что тл = ~ рдх = Ат [( — "') ')(1 — г,')2)г1+ о о 683 1 79! МЕТАНИЕ ТЕЛ ПРОДУКТАМИ ГОРЕНИЯ где А — константа, которую мы определим, исходя из баланса массы ,! 1 и, = ~ Рдх = Ат ~( — ') ')(1 — го)71го+ о о ,("')"""' "'((1 — ! ~)1.,1. Мы уже знаем, что ) (1 — г1)ийг1 = ~(1 — гоо)" о(го = 2ои(и!)5(2п+ 1)! = а, о о далее 1 ию/из и1/ио ~ (1 — г~гиг~ио)" г(г1 = и1)ио ~ (1 — гоо)" 71г1 = о о — и и 2(и — а)! 1 — — ) и1 2ои (Рлр ио ио (2п+1)! ~~ ((о — а)!)121(и «) ° а,. Аналогично находится выражение 1 ио7и1 ') (1 — г~оио/и1)" 71го = ао.
о Таким образом, получаем — %4 (( — ') .~- ( — ') — '=А('( — и') а, +( — '~ а~. (79.6) и1 17 М ио Е11 — — ' ' + — ~ ри ах. о Поскольку (т1 + то)/т = 1 = А((и17ио)~!и+1)(а -(- а,) +(ио(и )'( +'7(а -(-а1)), (79.7) то отсюда находим А. Аналогично вычисляются величины энергии масс, идущих направо и налево: 684 (гл. хп МЕТАНИЕ ТЕЛ РАЗОВЫМ ПОТОКОМ В результате вычислений будем иметь о =о»+„,".'.,»((" )"'"" «-( )"'"»(» — ."'(' — "~) «((«. М ио „о пы — " ((-")и'"" (-"~""""'("--''('-'-) 11 (79.8) Нам остается еще определить количества движения газа и метаемых тел: и,( »,( 1„= 1, = М,и, + ~ ри (ох = М,и, + ~ ри(ох.
Вычисления интегралов приводят к соотношениям иа 1 и+1 „О, »+1 1 Поскольку А зависит только от и, и и„то из уравнений (79.8) и (79.9) определим и„и„затем 1, = 11 и из уравнений (79.6) (п1 и ео, что полностью решает поставленную задачу. В предельных случаях будем иметь ( — 1)' / и, «1(»+1) а) прн Мо-» оо из= О; ао = О; а1= — ( — ') 2п+1 ( и1) (2П+ 1)( (' иО (Ии+П 21" (п()о (, и1 / ( 1У ! пото(.+П б)приМ вЂ” »оо;и=О а=О;а = — ( — ) 2» -(-1 (, и1) (2п + 1)! (' ио '(о(о+1) 21" (пОо (, ио / 1 в) ЕслнМ,=М„то и,=и,; а1 —— а,=а; А= — = (2п + 1)( 2ип+о) (п()о ' г) еслиМ,=О, то и,=и„еслиМ,=О, то и,=и„при этом значения а, и а, конечны. Величины А при этом легко определяются из уравнения (79.7). Вычисление масс, количеств движений и энергий в этих предельных случаях не представляет труда.
685 а тз! МЕТАНИЕ ТЕЛ ПРОДУКТАМИ ГОРЕНИЯ Рассмотрим подробнее ати случаи. Когда М, — ~ О, имеем 1 = М и, + ти (2л+1)! 21"+1 (л! ) (л -(- 1)! м1иа тиа 1 1 2 +2(гл+3)' Таким образом, гб (гл+ 3), /' 4А<Ь (2л + 3) М1 + т У 2АМ1+ т (й — 1) ' (2л + 1)!! .,/ гто (гл + 3) гаи+1 (л)) (л -(- 1) ! У (2л + 3) М1+ т (79.10) (79.11) Если М, ~) т, то и, = )/2К/т„т. е. Мы приходим к классическо- му выражению, которое часто используется во внутренней бал- листике. Если М, = О, то 40 г4), гс (79 12) и мы получаем предельное соотношение для истечения газа в пустоту.
Обычно в соотношениях внутренней баллистики полагают, что р = р (г) и не зависит от х, что соответствует в наших соотношениях значению й = 3! и = О, при этом соотношения (79.10) и (79.12) принимают вид и,а = у . Вычислим отношение -~ 6Е- ~' 3М,+т. иаа/и1 = / (М1/т) для /а = 5/4. Результат проиллюстрируем таб- лицей 0,5 0,25 0,05 0 0,1 (О,и "'а и1 0,86 о,т8 0,68 0,63 0,55 0,91 Р = Рл(~„+ !) Очевидно, что если М,/т ~ 1, то разница получаетсясущественной, и в пределе для относительно легких снарядов предельная скорость оказывается в полтора раза больше, чем это следует из отношений классической внутренней баллистики.
Если труба не бесконечна, но достаточно длинна (). ) (), то при вылете метаемого тела внутри тела остается давление: 1гл. хп метАние тел гАзовым потоком при этом оставшаяся энергия ы-г Е= Еы ~1 — ( р ) ~ = Е-~1 — („+-11) ~ =ЧЕы. Таким образом, в случае конечной трубы предельная скорость движения метаемого тела определится из соотношения 2ЧЕ„ и1 = а — 1 '+ 2й (79.13) М и -<- т,и,/2 = М,и, + т,и,/2 н энергии М,й2+т,и~/6+М,и/2+т,~/6 = тО =Е, причем 9 = се~/6, где с„— эффективная (средняя) скорость звука.
Решая совместно последние уравнения, получим < и ~(э 2т(т+2М )эВ Сы ( Л~ (тАм+ ЗМиВ) + Л~ [тЛ + ЗМ В) ьэ 1 +Мэ М1 где А,а — — т+ 2М.а; В = М,+ М,+ т. Определим теперь односторонний импульс: '=-'="(-'-'') =-"~ '% В частном случае, когда М, = О, Х1 = — уэ = — — '"' = — ' (т, + 2М,), 2 2 (в других формулах нужно соответственно брать не Е = Е, а ЧЕы). В случае М, = Мз следует воспользоваться только что выведенными соотношениями, уменьшив в них Е и т в два раза.
Случай, когда М, = О, более подробно нами был рассмотрен ранее (см. з 78). Рассмотрим в заключение наиболее простой случай разлета, когда можно положить, что и = О (/с = 3) или, что равносильно, соотношению р„= 1/1. При этом а = 1; аг = и,/и,; а = 1/и,; А = и'/(и + иы)з; р = т/(и, (- и,)1. Далее, поскольку и = а/2, имеем т,/т, = и,/и,. Напишем законы сохранения количества движения 687 ПОСТЕПЕННОЕ ВЫДЕЛЕ Н НЕ ЗНЕРГНИ поскольку в рассматриваемом случае т' л =2(М,„| и) , то 1,= — 1,= г' (и+ 4М1](т+ М1) вс, (т+ 2М1)л 4 (т+ М|) У(и+МО (и+ 4Мл) с„ При Мл — л.
0 1д — — ллс„/4, при М -л. оо 1 = тс„. Эти результаты очевидны, поскольку при отражении от абсолютно твердой стенки (Мл — л- со) импульс удваивается. Если М, = Мл = М, то тл = = т, = и/2; при этом ил = — — и, = со )/и/(т +ЗМ); 1л = = — 1л = сов(т + ЗМЯт/(т + 4М)/4. Если Мл — — О, то = с„/4; при М вЂ” л- со 1, = (л„/2) )/Мт/3 — л- оо, что вполне естественно, поскольку при М, = М, = М-л- ао давление на стенке будет действовать в течение неограниченного промежутка времени. 2 80. Задача Лагранжа при постепенном выделении энергии (80Л) и = (х + Х)~р (С), р = р ()). В самом деле, в случае мгновенного сгорания волна разрежения догоняла метаемое тело на расстоянии (начало координат выбрано по поверхности гела до начала двилления) что, например, при М/т" л и /с = 7/5 дает хл/л (35. Можно предполагать, что в рассматриваемом случае это расстояние будет того же порядка.
Несмотря на значительность расстояния хд, первая простая волна будет иметь сравнительно небольшие градиенты давления и скорости. В самом деле, при х = х, и,/с„= = 0,9, с,/с„= 0,82, р,/р„= л/4. В случае необходимости уточнения решения всегда можно положить, что в простой волне скорость и скорость звука распределяются линейно по координате, Решим задачу, аналогичную предыдущей, считая, что во всем объеме газа энергия выделяется не мгновенно, а потому и давление повышается не мгновенно. Допустим, что метаемое тело достаточно тяжело, т.
е. что отношение М/т ) л. В этом случае монлно пренебречь первой простой волной разрежения и считать, что довольно быстро устанавливается режим, когда внутри газа 688 (гл, хп МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ Напишем уравнение баланса энергии Е = ™ д1 + 36"-+ 2 д — — Е(1, х), (50.3) Рд (хи+1) тид М«ид здесь хд — координата тела, ид — скорость тела, и будем считать величину й равной й = (сд/с, — 1) (1/ц) + 1, как и в предыдущем параграфе. Поскольку МИи„/с(( = рп, то уравнение (80.3) примет вид Е(г,х) = й — 1 + 2 ( 33 +~Х) гд. (80А) Мхд(*д+ 0 1 / т Продифференцируем теперь это уравнение по времени: 1 дЕ хп(~и+0+ п д +/ т +1)„,, Мд«й — 1 ~ЗЕМ На границе метаемого тела это уравнение можно представить в виде (80.6) Считая функцию Е = Е(1, х) заданной, необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка (80.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
