К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 107
Текст из файла (страница 107)
97. шую скорость прежде, чем его догонит отраженная от дна канала ствола волна раэрежения, и поэтому учет воздействия первой волны раэрежения в атом случае совершенно необходим. Очень легкий снаряд успеет покинуть ствол, прежде чем его догонит отраженная волна (рис. 99). На основании решений уравнений газовой динамики и баллистического опыта известно, что после того, как первая отраженная от дна каморы волна разрежения дойдет до снаряда, установится так называемый тервходинамический режим расширения продуктов сгорания пороха, т.
е. можно будет считать, что средняя плотность гаэов в заснарядном пространстве будет падать обратно пропорционально объему этого пространства, а давление с плотностью будет свяэано Законом иээнтропы (адиабаты). х=-7 3 эы методы ГА30ВОЙ динАмики ВО ВнУтгеннеи БАллистике 701 Рис. 99 Этот термодинамический закон расширения пороховых газов и применяется обычно во внутренней баллистике.
Учет влияния волн (которые явно не учитываются) характеризуется несколькими коэффициентами, которые описывают неравномерность распределения давления по координате; при этом давление у дна каморы (канала ствола) принимается на 10 — 20% больше, чем у снаряда, в зависимости от его веса. Так же учитывается не- ОппОппппннпп нанна равномерностьраспределения .р Ф плотности; изменение скоро- аппптпн нанна и' ~~п >1 Ф~ сти допускается по линейно- 91 му закону в зависимости от .ю:-г т Ю а А а координаты (см. рис.
98). Рис. 98. Очевидно, что область применимости термодинамического закона расширения ограничена. Лишь для относительно тяжелых снарядов, когда в/д~<'1, т.е. когда в области действия первойволныраарежения снаряд не набирает сколько-нибудь значительной скорости, им можно пользоваться. При в/а) 1, когда в области действия первой волны разрежения снаряд проходит значительный путь и набирает аначительОпрпженнап панна = ную скорость, нужно учитывать эту волну, что невозможно сделать методаПрпстоя панна ми классической внутренней баллистики. а =-/ х=// т=.г л В ряде работ было показано, что при в/д ( 1 методы внутренней баллистики действуют достаточно хорошо, еслитолькодлина каморы не очень велика, в противном случае все же необходимо учитывать первую волну разрежения.
Но обычно при в/д(1 каморы не бывают слишком удлинены, так что методы внутренней баллистики практически всегда применимы для расчета движения тяжелых снарядов и вычисления давлений в канале относительно недлинного ствола. При м/д) 1 применение методов классической внутренней баллистики приведет к уже значительным ошибкам, избежать которые можно, лишь учитывая волновые процессы, происходящие при выстреле, т. е.
применяя методы газовой динамики неустановившихся движений. При постепенном горении пороха основная задача внутренней баллистики не имеет аналитического решения, если искать его в 702 МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ [гл. хп классическом смысле, т. е.
пытаться найти решение всех уравнений поставленной проблемы. Однако, так как некоторые уравнения не являются точными, поскольку они зависят от неточного в строгом аналитическом смысле (эмпирического) закона горения пороха, можно не удовлетворять неточному аналитическому выражению закона горения пороха, а попытаться найти решение основной задачи внутренней баллистики в аналитическом виде. Прежде всего необходимо вывести основные уравнения внутренней баллистики для цилиндрического ствола беэ учета потерь энергии в виде, удобном для решения. Такими уравнениями являются уравнения, написанные в форме Лагранжа.
Сначала выведем уравнение неразрывности. Считая, что скорость горения пороха кг является функцией от давления р: = т (Р) (82Л) придем к тому, что в среднем величина сгоревшей массы пороха для одного зерна гглг — — дззиг гм', (82.2) где г — средняя площадь поверхности порохового зерна, Р,— плотность пороха. При горении в постоянном объеме плотность пороховых газов при их образовании равна (82.3) Рог = глгю где и, — объем одного зерна.
Скорость горения пороха отсюда определится как величина, пропорциональная частной производной дрог!д~: дс (82.4) откуда (82.5) где функция гр (р) пропорциональна функции гр (р) в формуле (82.1): 1)г (р) гр (р). В более общем случае в выражении для гр (р) можно учесть и переменность площади г, тогда г(г (р) уже не будет просто пропорционально функции гс (р) = лг, ф = ~(г (р; г) или г(г = ф (а; ~), где а — координата Лагранжа. При горении в переменном объеме текущая плотность пороховых газов выразится так: (82,6) $821 метОДы ГА30ВОЙ ДинАмики ВО ВнУтРенней ВАллистике 703 Из (82.5) и (82.6) получим до (Рг да) г(Р)' (82.7) Считая, что несгоревший порох и пороховые гааы при сгорании в постоянном объеме перемешаны неравномерно, будем иметь д, (Роп) = — Ч~(р)1 д (82.8) дх д Рп — Роп (82.9) где рп — текущая массовая плотность пороха.
Из (82.8) и (82.9) получим д ( Р" до ) (82.10) Из (82.7) и (82ЛО) имеем — ' ~ (~+ ~) '* ~ = О, откуда (Рг + Р ) — = Ро(О) (82Л1) где р, — начальная плотность пороха, которая в общем случае зависит от кооРДинаты ЛагРанжа, в частном слУчае Ро = сопзс. Из этих уравнений следует, что (82.12) Рог + Роп = Ро.
Обозначим Рг + Рп =- Р, (82Л8) где Р— массовая плотность газо-пороховой смеси, и окончательно общее уравнение неразрывности напишем в классическом виде дх Р Р (82.14) Если несгоревший порох отстает от движения газа, то в пределе при неподвижном порохе Рп = Роп (82Л5) где р,п — начальная массовая плотность горящего пороха; если порох движется вместе с газом, то будем иметь 7О4 (гл.
хп МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ и мы придем к соотношению дО (Рп+Ро д ) =~ откуда дх Р +Р д =Ро (82Л 6) В общем случае, когда порох движется со скоростью иной, чем газ, будем иметь (Рп+Ро) д„= Ро~ (82Л 7) где дх дх* Рп да = Ро (82Л8) причем р, — эффективная плотность пороха, движущегося как бы со скоростью (82Л9) Введем фактор ( = ро/р„ где р, — эффектная плотность газо- пороховой смеси, имеющая скорость и. Очевидно, что Ро Ро Ео Ео + Эоо (82.2т) где * дх дхо (82.22) Таким образом, дхо Рох да д (ход) д (ад) д (ад) д (х,о) р дх оп да дх д (х*,а) д (ба) и* ~ (82 28) дх д (ба] д (ба) и Следовательно, о Ро Ро ) (82.24) дзоп+ гоп ао — зо (( — э а хп — текущая координата частицы пороха, движущегося ив положения а со скоростью (82.20) $ 221 методы ГАЭОВОЙ динАмики ВО ВнУтРенней БАллистике 765 Теперь перейдем к выводу уравнения движения.
Классический вид этого уравнения в форме Лагранжа, написанный только для газа, таков: (82.25) где ро — начальная плотность газа, а — координата Лагранжа, характеризующая начальное положение данной частицы газа. В случае газо-пороховой смеси, образующейся при горении пороха, уравнение (82.25) также будет иметь место, если частицы еще несгоревшего пороха движутся вместе с газом, обрааовавшимся при сгорании какой-то части пороха. Если же пороховые частицы отстают от газа, то в общем случае, когда частицы несгоревшего пороха движутся со скоростью их, отличной от и, уравнение надо написать в форме Эйлера в таком виде: дРаг ° дРоп / ди ди и — + и' — + р ~ — + и — 1 + до до ~до дх / / ди" , дио г др +рп( — +и' — ) + — =О.
до дх) дх (82.26) Напишем закон сохранения импульса — количества движения для двух близких сечений: Рг ПГГХ+ Р и ГГХ+ Р Г(2 = (Рг + Г/Рог)(К + "К)У. Х (а(х + а(а(х) + (р„+ г(ро )(ио + а(ио) Х ас (г(х + У'г(х) + (р + а/р) й = О. (82.27) Слева и справа написаны величины импульса и количества движения двух близких моментов времени, причем величины ОогЬ ЧЬ + г(г(х, поскольку изменения интервала для пороха и газа различны при их различных скоростях движения. Уравнение (82.27) легко привести к виду (82.26), учитывая, что и дх ди дг' дх дио да да дх ' дх ИО дх или в форме Лагранжа Поскольку дрог/д/ = — дро„/дг, то уравнение (82.26) можно написать в виде 706 [гл. хп МЕТАНИЕ ТЕЛ ГАЗОВЫМ ПОТОКОМ Если из = и, то, поскольку р, + р„=- р, будем иметь ди др р — + — =О, дС ди или на основании уравнения (82.11) придем к уравнению ди др (82.30) Если из = О, то придем к уравнению и д +Рг + д —— 0 дРог ди др или, поскольку р, ссх = рог оса, к уравнению Теперь нам остается написать уравнение энергии.
Из термодинамического тождества видно, что для каясдой частицы будет иметь место соотношение, при условии, что вся газо-пороховая смесь движется со скоростью см дЕ дО дч — р — ° дс дс дс (82.31) Здесь ч = 1/р — удельный объем; внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы пороховых газов: оч д Е„др,„ дч — — (РогТ) = — — р Ро дс Р, дс дс (82.33) Если теперь написать еще уравнение состояния Клапейрона для пороховых газов (82.34) ргт = гсТ или более общее уравнение состояния (82.35) р = р(р„т), (82.32) Ро Ро Здесь Т вЂ” текущая температура горения; (сг = с,Т, — калорийность пороха; Тг — температура горения. Но даже если несгоревший порох движется со скоростью из, то уравнение (82.31) сохраняет свой вид, если только пренебрегать тепловыми и прочими потерями. Учитывая (82.32), уравнение энергии можно написать в виде с зз1 мвтоды газовон динамики во внгтркннвн влллистикк 707 др +/ — ' — р,1 — +( — *) р+ =О, дх Рг— дргх„ — =Ф дс дх и =-— дс (82.37) Рг Здесь /с = 1+ — = — ".
ог ~г В предельных случаях для р = 1, когда порох движется вместе с газом, имеем ди др гСх ро — + — =О; и= —; дс да ' сСс ( Р о о ) д д/ Рог~ С д ( Р— (р ха)— Сг — 1 дС( ро ) Сс С дС =Š— „(Р...) — —,. =Е,ф — — „. (82.38) то мы придем к системе уравнений, описывающих процесс движе- ния газо-пороховой смеси. При условии, что известна скорость ио = ио (с; а) или по крайней мере постоянное отношение (з = ио/и, система уравнений будет замкнута.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
