К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 127
Текст из файла (страница 127)
мой в механике твердого тела. Отсюда, интегрируя в пределах изменения угла у от 0 до уе (по- лагая, что ~ре = уе,), найдем, что 1 вы В3РыВ БОльшОЙ энергии нА пОВеРхнОсти плАнеты 833 при этом (94.42) примет вид 1, = 0 1/2МЕ~, где ()— 2 У2 соз'ра Р'1 + сов~ро[1 + Р сезара) (94.45) (94.46) При аро = 0 имеем д =- 4 и Е,/Е, = О, при ара = 60' д — 0,95, Е„,/Е, = 1/4, Теперь определим проекцию количества движения 1, на ось в, перпендикулярную к поверхности планеты АА'. Очевидно аа 2лрьзЕ, ав/, = а, соя~рс[М = 1/а ' ' в[пар д~.
(94.47) 3 соз~р Отсюда 1 а: 2 тр/ 2 лр5рЕп [1 )/ сюь аро[: да )12 ~~1Ео а (94.48) где — 2 (1 — Р' соя оаа) ся 7а (94.49) Далее, заменяя Е, через Е, найдем, что 1, = 6Д~2МЕ где 2 2Р 2 соя ара (1+ У сезара) У 1+ сов~ра (94.50) (94.51) 1п, = [/2МЕао. (94.52) Теперь можно окончательно выразить 1п и 1,: 1п = 61по[ 1. = 1п [/сов ро = 0)/ 2МЕа, сов ро = 61па)/сезара. (94. 53) Однако для практических вычислений удобнее пользоваться соотношениями (94.42) и (94.48). Из этих соотношений, например, следует, что прн сро = 60 1 — З )/2МЕп пп З 1(2МЕ" 1п = 0,48)/2МЕ,; При ~ра = 0 имеем д, = 1, а при ср = 60' д, == 2/3.
Можно написать, что да = д [/совйю пРичем коэффициент ЯвлЯетсЯ меРой распределения скоростей под разными углами в зависимости от величины выбрасываемой массы, Ксли бы этого распределения не было (6 = 1), то 834 'удАР с БОльшими скОРОстями (ГЛ. ХЧ В общем виде, не предрешая закона распределения скоростей по массам, можно написать, что 1„= ~ а(~р)ЫМ(у), о (94.54) 1, = ~ соз~р.а(ор)АМ(<р), о (94.55) где а = а(М(~р)1 = а(~р) закон распределения скоростей по массам.
$95. Взрыв метеорита на поверхности планеты Выясним теперь, как определится максимальная глубина воронки — кратера, образующегося Йри ударе метеорита, о поверхность какой-либо среды. Очевидно, что эта глубина определяется глубиной проникания и радиусом испаренной массы среды. Надо еще учесть, что после прекращения процесса испарения на фронте затухающей ударной волны будет происходить просто размельчение среды, и часть этой размельченной ~ьо среды может быть выброшена наружу, л' что еще увеличит глубину воронки, однако для металлов эта дополнительная глубина будет меньше, чем глубиРио. 113. на испаренной зоны; для грунтов и скальных пород она будет больше. Таким образом, полная глубина воронки (рис.
413) ио — 'о+и 1 (95Л) где по формулам (93Л8), (94Л9) зГ Й= ( — '1и — „'1созг, й'=г„=ф' А 4 ', Ао)1. (95.2) Здесь А, — эмпирический коэффициент, а го — радиус зоны испарения — разрушения. Вставляя значение то из (93.24), получим з )оо = — 'созг1п — '+ У А, оМо ио ~ ЗорМоизо (95.3) о рз и о 8яр(2 (их из) ° (Здесь и дальше мы под величиной (~ = и(/2 = сз будем подра- ЗРЫВ МЕТЕОРИТА НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНЕТЫ 835 5 95! эумевать плотность энергии, необходимой для разрушения связей решетки или мелкого дробления породы.) Так как М, = И.з, то можно написать, что м, з б',зм, ро р рУ 4яб' (95,4) .,'~' зоям, ,' (95.5) где 91т = А,*+ л == А,'+ соз з у —, — я" 1и —.. 9/ й')бя 2, оо Чр "о и их Выбрасываемая из воронки (считается, что форма воронки конусообразная) масса среды определяется соотношением (93.2) и формулой (95.5) М = 3 Р)оосЮ"Ро = зд 98'Фо (95.6) Определим теперь нормальную проекцию импульса взрыва по формуле (94.48) 1, = дД/2МоЕоо (95.7) М = — с8 ~ро и выраелюо = 4Е Учитывая (95.6), равенства Ео — — ЧЕо, жая 65 по формуле (94.49), получим Ь вЂ” ~/и .99.Π— 9'- ь~, ро.о~ При ц, определяемом формулой (94.29): ц„= Адйо/49 ( 1, косинус угла ~р выразится на основании (94.26) так; соз~ро = — = ( — ) о г 'А 4! (95.9) Это наиболее реальный случай.
При 5)о и 1 по формуле (94.10) (95ЛО) где йо — коэффициент формы метеорита; для шара, например ао = 1, р — плотность 55етеорита, 1 — средний размер, з — пло- щадь миделева сечения. Теперь (95.3) удобно привести к виду 836 удАР с БОльшими скОРОстями [гл. Ху Оценим безразмерные величины Ао, Ч, ц, входящие в эти соотношения. Как мы указывали выше, величина т~ коэффициента полезного использования энергии меньше единицы т('/ = Ао'+ созг1/ —,1п —,, — 2и о / 26~~') ио ох т1рои„ и„.
при и, = их получим т) =А,. Если г =О, сх = 2, а =1, р = б, будем иметь ПУсть и, =- сои, = 20и,, т~=1, тогда т)Ш=1 + — =1,4 (Аз=1). Величина тУ1 = т),'(,*ох=1+ е-Ч' пРи и = еи,. Величина А зависит от свойств среды; для металлов она ближе к единице, чем в случае более податливых сред. Интервал изменения т) не очень значителен. Оценим теперь величину А. Поскольку ° т/о* А =- аА — — ' = — яра, Р /Рот 4 3 Ро то, имея экспериментальные данные для Х, легко вычислить и величину а(ро/р,)тд', где р, — конечное давление в среде, при котором заканчивается расширение продуктов взрыва.
В таблице 2 приведены значения р, Х, А и других величин для различных сред, причем принято ро = 1 вг/сгоо; Л = 1000; /си = = 7/5; р, = 1,6 г/слог. (Эти данные носят приблизительный характер). В колонках для Х и А первый столбец характеризует воронку выброса, второй — вону нелинейных деформаций; здесь а = тв%„= сопз$; А = (р/ро)а1(ро/р,)т/'; причем ттв — объем зоны разрушения, Ъ' ж 501/ — конечный объем продуктов взрыва ВВ (в воздухе Г ам 1000уо), а — коэффициент, определяющий зону нелинейных деформаций (см. 4 44). Скорость разлета взорванной среды определится соотношением (94.13) 1 О51 ВЗРЫВ МЕТЕОРИТА НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНЕТЫ 837 Таблица 2 з Р— см' Среда 10 100 Заменяя величины Ьо и Ез по формулам (95.5) и (93,23), придем к выражению ио —— = сов' гр — в ' .
(95.12) Призу =0 Масса, которая распространяется в области, ограниченной конусами с радиусами оснований Л + с(Л, гз, т. е. внутри соответствующего элементарного телесного угла, определится соотношением, вытекающим из формул (94.1) и (94.6): (М 2 йэ в)п Ф с)Ф ЧЧ аио в)п ср с)ср и 3 Р о согдар 4Д совою (95.14) Эта масса и будет иметь скорость ию определяемую из (95.12). Легко убедиться в том, что безразмерная величина з)о, определен- ная выше по формуле (94.29), может быть выражена с помощью формулы (95.5) Азаа АГ ) Зз)з)Еа ) Ь 4О 4О '5 4ирО / (95.15) Из последнего выражения видим, что при относительно небольших энергиях падения т) и угол раствора, образующийся при ударе и взрыве воронки, не зависит от силы тяжести о).
а) В работе Л. Б. Ливанова (Космичоснии исследования, 1965, вып. 4) пикавана сприводлиность вычнслонии воронки по нашему методу и носостоятольнссть крзгтнчоских вамочаний Бьорка ии этому йоводу (В)ог)с В. Ь., Авсг, Соибг, 1952, Ьоийои, р. Р). Песок Глина Гранит Алюминий Ж олово 2 —:3 3,5 2,6 8 50 10 10 5 10' 10' 7,10з 1 7.10з 2 ° 10з 16 104 80 104 4.10з 30 8 —:5 5 —:4 3 —:2 1,5 4 10' 0,64 0,4 0,05 0,033 1 6,4 З,З 0,8 5 10 ' 6,4 10 з 6 4,10з 6,4 6,25 0,8 удАР с БОльшими скОРОстями [ГЛ.
ХУ 1, = Ч ' )/2Ч ~1 — ( Ч ) (95.16) Минимальная скорость будет при совзЧ~з = Ч/А, тогда !-"Е ь'( 7% (95 17) Полная разлетающаяся масса /)г =- ЧЧ с )'(=/ — 1~. (95.18) При Ч„)~ 1 чи ~г2Ч 1 г (95.19) Минимальная скорость будет равна нулю при совз,р з Чвво 4Е (95.20) Полная разлетающаяся масса Сравним теперь проекцию на нормаль количества движения падающего тела гзг го = г"ггзиз сов г (95.22) и реактивную силу выброса 1, Чвгзиз(1 Г сов М,,/ 2Ч Чи,(1 — Угссвггг) 2Мгиз сов г ~' Д 2 сов г (95.23) П у 0= ивз/2, то окончательно ..г= Ч(1 — ~'сов~р~) и, /з з* сов г и* (95.24) Напротив, при большой начальной энергии падения предельный угол определяется ускорением силы тяжести на данной планете. При Ч (1 по формуле (95.8) будем иметь 839 1 ест пгилонтГпття теОРии соудАРения Так как в среднем )/т1 ° ц = 2, тре = 60', то при г = 0 Х /Хе 06 ис (95.25) Например, для каменного метеорита, ударяющего в алюминий со * скоростью ие = 40 км(сек (для алюминия ис = 2 км(сек), Х.
/ Хе. = 12. (95.26) При больших скоростях удара реактивный импульс всегда превышает количество движения падающего тела, и поэтому общее количество движения, приобретенное средой при ударе, практически не зависит от угла. Отсюда такнте очевидно, что взрывные кратеры должны быть круглыми, а ударные — не обязательно. $ 96. Приложения теории соударения Р 1 — есозб ' (96.1) где р = Ьс/а — фокальный параметр, е = 1Х1 — Ь'/ас — эксцентриситет, тт — полярный угол, г — радиус-вектор, а и Ь вЂ” соответственно большая и малая полуоси. В декартовых координатах уравнение (96.1) принимает вид (96.2) уе = р' + 2рех + х'(е' — 1).
Параметр р и зксцентриситет е находятся из начальных условий: в точке М (х„у,), когда г = Л, и и = и„скорость выброса ис ') Совместно с Бронмтеном В. А, Рассмотрим* ) интересную с астрофизической и космогонической точки зрения задачу о разлете частиц взорванной среды в пустоте. В самом общем виде необ- у ходимо рассмотреть классическую задачу небесной механики о движении материальной точки Ат под действием центральной силы тяготения (масса, которая выбрасывается при взрыве, неизмеримо меньше массы, подвергшейся воздействию удара). Случаи ударов двух соизме- Рис. 114. рнмых по размерам больших тел мы не будем рассматривать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
