К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 128
Текст из файла (страница 128)
Уравнение орбиты сначала напишем в полярных координатах (рис. 114) 840 [гл. ху УДАР С БОЛЬШИМИ СКОРО СТЯМИ и начальный угол наклона вектора скорости к плоскости горизон- та а, заданы. Поскольку на основании закона сохранения энер- гии ио = оеМ ( — — — ) (96.3) (М вЂ” масса тела, о — гравитационная постоянная), а М(1о= — „' ~ =18(90'+бо+ао) = ( (964) причем иа формулы (96.1) при г = Л„д = до имеем о э Ло — Р ело то отсюда находим, что (96.5) — = — соз' а,; е' = 1 — ' соз'ао + ' ' созе а,.
(96.6) л, = см ' = см (см) Так как ускорение на поверхности тела, принимающего удар, равно '=н' (96.7) о а круговая скорость см и =— е— Яо (96.8) то — =- ( — ) соя'ао. (96.9) Координаты точки М(х„уо) определяются соотношениями — е,.=е,у1 — ( ',. ~) . ~96.10) Координаты точки падения частиц обратно на поверхность тела, если 1 ) е >~ О, будут х= — х = , 'у= — Уо=- Во~ ( ея )' При е ~ 1 тело не упадет обратно на поверхность планеты. Написанные соотношения полностью решают поставленную выше задачу определения орбит вылетающего из воронки овзорванного» вещества. Если ио/и,<= 1, то можно пренебречь кривианой поверхности планеты и иаменением силы тяжести с расстоянием, В ятом слу- 841 о оо] пРилОжения теории ОоудАРения чае основные уравнения моя(но преобразовать к более простому виду, однако еще проще написать сразу уравнение траектории в декартовой системе координат.
Это уравнение определится из очевидных соотношений в 22 У = иогз1аао — 2, х = ио1 соз«о (96Л2) откуда у = х(па,— аво 2в созвав - о (96Л3) Падение происходит в точке и х = — 31п 2мо. о и (96Л4) Пе представляет труда в обоих случаях определить расстояние, на котором будет насыпано вещество, выброшенное из воронки, и высоту насыпания Н этого вещества на поверхности планеты, т. е.
определить профиль насыпного кралоера. Когда взрыв происходит у самой поверхности, можно считать, что в дМ = —,' созао(1ао. 2 (96.15) Тогда для второго случая, когда и,/и, ( 1, мы придем к соотношению и= (96Л6) 8лр/.о зш 2ао соз 2оо где Ьо = Ро/д — максимальная дальность выброса. Поскольку 2 з1п 2а, = ЫЕо = ), то соз 2ао = + )/ 1 — ) 2 и соз'ао = 1/2 (1 + -'- 2 ( — 2'), (92.12) Н ()Г,, ~ 1+У~ — 22 /о 8ир/,2/„~ 2 (в — 322) р о (96Л7) в —, „, ', (У'(-~У(2 )У( — У( — 2*) "р 'о (96Л8) При 0 (а, ( я/4 надо брать знак плюс, при я/4(ао (я/2— знак минус. Суммируя по обоим значениям Н, придем оконча- тельно к соотношению 842 [гл.
хч удАР с БОльшими скоРостями (96 19) где МОР— масса среды, выброшенной из точки 0 падения метеорита и падающей в точку Р, МР— масса, выброшенная при вторичном взрыве в точке Р, МР— масса, насыпающаяся в точке Р при вторичном взрыве в произвольной точке (/, р — плотность среды. Высоты насыпания обозначим соответственно йг, Нр, НР. в Для упрощения расчетов рассмотрим пока только первые два каскада явления. Для Нр имеем соотношение (96.17), которое о запишем в виде О МО»:с )/~ АОР Нр =- ЗЯРВо ~ОР 2 (~ ~'ог) (96.20) где Хор — — Вог/Во — координата точки Р относительно центра взрыва, Во — радиус основного вала (расстояние максимального выброса из точки падения метеорита, при изотропном распределении скоростей В = Во, как известно, при у = я/4), МО— масса среды, взорванной в точке О. Среднюю толщину слоя вещества, выбрасываемого из окрестности точки Р, мощно оценить Легко убедиться в том, что при А = 0 и Х = Х- 1 Н «- оо, при Х=09Н=Н иь Однако в реальном случае высота насыпания продуктов выброса, конечно, не будет при Л = 0 и Х =+ 1 стремиться к бесконечности.
Масса продуктов выброса в малой области около значений Х = 0 и Х = + 1 бесконечно мала и поэтому при Х = 0 и Х = =+ 1 вследствие сыпучести при наличии силы тяжести значение Н будет конечным. Таким образом функция Н(Х) может быть изображена кривой, имеющей три максимума: в центре и по краям (вал). При образовании кратера энергия выброшенных частиц может быть достаточной, чтобы возбудить в месте их падения процесс вторичного кратерообразования. Часть выброшенной при этом вторичной массы может привести при возвращении на поверхность последующий «взрыв» и т.
д. Ясно,что процесс такой своеобразной диффузии будеть сильно затухающим. Радвитие этих представлений было впервые проделано А. К. Мухамеджановым (57). Пользуясь условием сохранения массы, можно записать следующее выражение для высоты насыпания Нр в произвольной точке Р, определяющее рельеф кратера: 1 зв) ИРиложения теории соудАРения следующим образом: в вов(вар/вмР1 мбвшве з 1+)/1 — хор Здесь учитывается только нормальная к поверхности составляющая скорости. Для высоты слоя грунта, насылаемого в окрестности точки Р при вторичном выбросе из произвольной точки О, вполне аналогично равенству (96.20) можно записать а МО 1 ~- )/1 — ).ОР Нр = зярВО~~ ХОР 2 (1 — ф, ) (96.22) Прк центральном разлете из точки в!в<ро вввшве 2 2ео (96.23) где гв — скорость выброса из точки О.
Следовательно, вго вгов~в1в ФО 1 ~ У1 )ер 22лрввяд~в,) ОР 2 (1 )т)р) где $ом = ВО /Во — отношение РадиУса вала, обРазованного при вторичном раалете из точки ф к радиусу основного вала. ХОР = Вог/Лом и )воо = Вос/Во,в. Из уравнений динамики для частиц, разлетающихся нз точки О и точки ф следует, что ис Ор) (96.26) ,'(е) где ио и ио — начальные скорости разлета из точки 1/ и точки падения метеорита. Для упрощения расчета в (96.26) заменим пока и ио(р) и ио(~) через средние скорости разлета йе и йо. Очевидно, среднее значение скорости выброса основной массы из точки равно по= и (96.27) Мо Чтобы получить полную высоту слоя в точке Р за счет действия всех вторичных источяияов ф необходимо проинтегрировать (96.24) по углам выброса из точки О.
Выразим вначале Хор и ЛО через Хос и Ло (параметры точки О относительно центра кратера). Из теоремы косинусов имеем )вар= д = — ()воР+ "ос + 2соз(ВОР, Воз) вОР"ОО)Ь (96 26) Фв ~от гдаг с вольшими скогостями 1гя. Ху где масса Мо (масса, выброшенная из окрестности точки 0) соответствует наименьшей плотности энергии е„яри которой еще имеет место дробление среды. Плотность энергии падает с расстоянием от центра взрыва примерно по закону (г)з (96.28) где г и  — радиус метеорита и радиус зоны дробления среды, и — скорость удара.
При Л = Во е = ео, и из (96.27) и (96.28) имеем зео м зеое (96.29) Вполне аналогично для точки ~',1ири вторичном ударе имеем (96.3$) где распределение массы по углам выброса из точки О дается соотношением (96Л5), Мо — масса, выбрасываемая с единичной площадки из окрестности точки ф ~Мое изо (т) Мо = во зео (96.32) Здесь иоф) = йо з1пр согласно принятой схеме. С учетом (96.29), (96.30), (96.34) и (96.32) для $о имеем (96.33) — .з1а'е + 1 б Поскольку максимальная дальность выброса имеет место при угле ~р = и/4, из (96.33) непосредственно получаем для расстояния между первым и вторым валом следующую оценку: Лот — Лот у '( Зб +1) (96.34) (р, б — плотность среды и метеорита соответственно).
Следовательно, ио~ - 2ео+ ° (96.30) 3 «в! ИРиложения теОРии соудАРения 845 При рЯ = 1 (каменный метеорит) Но — — О,ЗЗХо, для железного метеорита рй = 3!8 и НΠ— 0,42НО Полагая р = б и на основании имеющихся снимков кольцевых лунных кратеров, по которым можно определить $О, нетрудно оценить характерные скорости и размеры метеоритов, ответственных аа образование того или иного кратера.
Вернемся теперь к соотношению (96.25). При $Π— — 0,3 —: 0,4 значение соз (Нр, НО) = 1. Тогда для расстояния точки Р падения среды, вторично взорванной в произвольной точке ф относительно центра симметрии получим ЛОР = 4 (Лоо+ЛОР), (96.35) От что существенно упрощает задачу. Соотношение (96.24) запишется теперь следующим образом: 1 «1~ ~ «(ЛОР ЛОО) 1зяР Лои(ЛОР Лоо) З ~1 — — (Л вЂ” Л р ~ чо При Лоо — — 1 (граннца первого вала) решение возможно лишь при условии 1 + $О > Лор )~ 1 и при Лор = 1 + $О«, Нр -«- — ~ со, что соответствует координате центра второго вала. При Лоо — — 0 решение существует только для значений 0 < Лор ( ЗО«„т.
е. внутри области максимальной дальности вторичного выброса. Наконец, случай Лор = ЛОО, когда Нор -«- оо, означает образование центрального «холма» в точке ~ при вторичном взрыве в атой точке. Принятое здесь обозначение Нр -»- со имеет, очевидно, лишь Р тот смысл, что оно соответствует образованию насыпи, высота которой в результате осыпания грунта будет иметь вполне конечное значение. Рассмотренная теориц многокаскадного разлета позволяет объяснить строение лунных кратеров с расщепленными валами и, что весьма существенно, строение кратерных полей. Основная предпосылка применения теории «тонкой> структуры кратеров к анализу кратерных полей состоит в том, что при разлете осколков, образующих вторичные кратеры, для координат последних должны иметь место те же соотношения, которые выполняются при континуальном разлете мелкораздробленного грунта.
Вторичный характер этих кратеров по отношению к кратеру Коперник установлен в результате тщательного анализа связи нх с лучевой системой последнего и не вызывает сомнений. Далее 846 1гл. хч УДАР С ВОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ это распределение представлено в согласии с этой гипотезой в виде (96.37) Таблица 3 Область 0,242 0,172 0,176 0,185 0,41 0,45 0,3 0,3 0,386 0,273 Коперник Море Нектара Море Облаков Каждое последующее значение $„вычислялось по координате предыдущего максимума кривой распределения плотности кратеров. Данные таблицы 3 показывают, что во всех трех случаях $, «- $„хотя последующие значенйя параметра $„и уменьшаются в согласии с теорией.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
