К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 72
Текст из файла (страница 72)
61. на детонации еще не дошла до частицы и частица еще находится в покое; координата ее равна начальной; при ~! = 9а/4И частица достигает предельного смещения х! = 9а!8, а скорость ее становится равной нулю. Прн этом частица некоторое время может находиться в покое, пока до нее не дойдет волна, определяемая новым решением. Картина дни>кения частиц при прохождении волны детонации изображена на рис. 61. В момент, когда волна детонации доходит до конца заряда, начинается разлет продуктов детонации.
Если длина правой части заряда есть !! и мы рассматриваем процессы, происходящие направо от детонатора, то разлет продуктов детонации, как мы помним, может быть описан следующими уравнениями: х — 1! и — с=Р х и+с= —; с откуда Применяя тот же метод, что и ранее при исследовании волны детонации, можем написать (55.22) 5 55! случАи дВижения В пРедстАВлкнии лАГРАнясА 457 Полагая х = гс, найдем !сх с/х ! ! хс — С! ~ — = г+ с — = — сз+Р сСС сСС 2 ~ АСС вЂ” 1!) или ~ь $ ( хс — с! 3 с! = — О Мы получили уравнение с разделяющимися переменными ссс с! ссс х — 2С 2с (ССс — С!) интегрируя его, найдем ъ !в г — Р= А ~сс откуда, возвращаясь к старым переменным, получим (55.23) ЗС! — 2х! о (55.24) Подставляя значения х„с, в уравнение (55.4), получим (55.25) откуда х=РС~4 — З~сс —, ',, ',' '„' ~.
(53.26) Перед корнем взят знак минус, так как всегда х (Рс. В последней формуле х есть координата частицы в любой момент интервала изменения времени, где действительно данное решение, а х! обозначает не координату частицы в начальный момент, а ее координату, определяемую из первого решения в момент сопряжения его с волной разрежения.
Константа может быть определена из следующих соображений. Как мы уже знаем, волна разрелсения, возникая в момент с = /с/Р в точке х = /с, движется в глубь заряда со скоростью — Р/2 и, таким образом, в некоторый момент времени с, она придет к частице с координатой х„ определяеьсой равенством 2(х, — с!) = — — (Рс! — /!) или х, = Зсс/2 — Рс,/2. Таким образом, в точку с координатой х! волна разрежения придет в момент 458 1гл. шп ПЛОСКИЕ ДЕТОНАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ Первое решение дает для момента сопряжения В точке сопряягения, как мы видели, х, и 1, связаны с соотношени- ем (55.25). Исключая из этих двух уравнений 1„найдем связь меж- ду координатой частицы в момент сопряжения хг и ее координатой в начальный момент а: х, = ' 2 ' ~3 т)I З/ 2 — 1~, (55.27) откуда з /', / х,= —,1,— —,', 1,== — Р.
2 Еа' а (55.28) Мы видим, например, что для частицы, для которой а = 1„имеем х, = 1„т. е. частица на конце заряда остается в покое до того момента, пока детонация не дойдет до конца заряда и не возникнет волна разрежения. Далее найдем, какая частица встретит волну, описываемую новым решением, в тот момент, когда она достигнет своего максимального смещения. Очевидно, что для такой частицы х = 9а/8, и поскольку х, и а всегда связаны соотношением (55.27), то из двух уравнений найдем два неизвестных х, и а. В самом деле, х, = 9а/8 = 31,/2 — ф2а, откуда а = — 21,/Зх = 31,/4; при этом 1, = 31,/2Р. Этот результат нами был получен ранее при решении уравнений Эйлера.
Таким образом, из решения (55.26), связывающего координату частицы х в данный момент с ее координатой в момент сопряжения, может быть получено соотношение, связывающее координату частицы в данный момент с ее координатой в начальный момент. Для этого в формулу (55.26) следует подставить выражение х, через а из (55.28). Тогда мы получим х = Рг~ 1 — —,, $/ —,'(1 — — )~ . (55.29) Для контроля полоягим а .=- 21,/3, 1 = 21д/2Р и тогда из (55.29) будем иметь х = 3/,/4, что подтверждает правильность полученного решения.
Таким образом, в момент времени 1, = 31,/2Р волна разрежения доходит до частицы с координатой х = 31,/4, которая в этот момент получила максимальное смещение, т. е. ее координата равна 9/8 первоначальной координаты. Все частицы, лежащие за ней, т. е. имеющие в момент 1 = 31г/2Р координаты ( 31,/4, очевидно, наводятся в покое, так как для них а < 21,/3. Момент времени, когда они достигают максимального смещения, равен т = 9а/4Р ( 31,/2Р, и, следовательно, онн уже достигли азы слУчАи дВижениЯ В пРедстАВлении лАРРАнжА 459 состояния покоя ранее момента времени /, = 3/ /2/). Поэтому, начиная с этого момента, волна разрежения встречает перед собой покоящуюся среду с постоянной плотностью. В этот момент возникает, как мы помним, новое, третье решение, которое является особым, так как параметры волны на фронте постоянны.
Очевидно, что второе решение справедливо для интервала времени с момента своего возникновения до бесконечности, т. е. при 1,/аВ ( г( сю. Следует, однако, помнить, что это решение захватывает лишь частицы, для которых начальная координата а ) 2/г/3 или координата в момент сопряжения х, ) 3(,/4.
Частицы же с координатой хг ( 3/,/4 или, что то же, с начальными координатами а ( 2/ /3 в момент времени /г = 3/,/2Ю находятся, как мы только что показали, в покое, и вторая волна до них не доходит. Эти частицы начнут снова двигаться, когда до них дойдет третья (особая — простая) волна. Волна эта, как известно, описывается уравнениями и — с = П (х — ),)/(П/ — 1,); и + с = П/2, откуда (55.30) Пользуясь тем язе методом, что и раньше, можно написать (55.31) Полагаем х — 1, = $, Ю вЂ” /, = т~. Тогда из (55.31) получим Далее, полагая З = ац, приходим к уравнению с разделяющимися переменными И.
1 Ич — — +г 2 интегрируя которое, найдем, что (2г — 1))/ц = сопз$. Возвраща- ясь к переменным х и г, получим ( .)у' и — 0 1~-г — —,~ у Ю вЂ” 1 = сопз1. /л — й г)у (55.32) Константа определяется из того условия, то простая волна, начинаясь при гд — — 3(,/2П в точке хг = 3( /4, идет в глубь заряда со скоростью — П/2.
Таким образом, в точку с координатой х, 460 ~гл. п~ы плоскив дктонационнык волны она придет в момент времени /„ определяемый равенством И/ З6З 2 (з '2 Р) з 4 (55.33) Поскольку для частиц в простой волне связь между х и / дается уравнением (55.32), то зто уравнение должно удовлетворяться, если мы в него подставим координату точки сопряжения хз и время Гм В результате получим сопл( = / ' — —,1 )/И, — /,. ~/л~ — й з ! (55.34) Из двух уравнений (55.33) и (55.34), исключая г„найдем выраже- ние для константы через хм Из соотношения 36 ахз ,и и (55. 35) видно, что чем больше координата частицы х„тем скорее до нее дойдет третья, простая волна.
Подставляя (55.35) в (55.34), найдем, что сопл( = ф'2(/, — х,) (.,' ' — ~ ) = — )/2((, — хз), и, следовательно, х — 6 1 .,/2(6 — х) /Л вЂ” 1, 2 г' /К вЂ” 6 откуда х =, — )/2((, — хз)(Р/ — /,). /л+ /~ 2 (55.36) Для контроля полонсим хз = 3(,/4, /, = 3(,/2Р и из (55.36) получим х = За/4, что подтверждает правильность решения. Для частиц, до которых доходит зта третья, простая волна, т. е. для которых а( 2/,/3, очевидно, имеем хз = 9а/8 и, таким образом, окончательно мыг придем к соотношению х =, ' — 1//2 ((, — — а) (Р/ — /,).
(55.37) Эта волна возникает в момент времени, определяемый из (55.37): /, = (3/г — 2х,)/Р = 3/,/Р— 9а/4Р, и решение, ее описывающее, действительно лишь для точек, для которых а ( 2(г/3. До сил пор мы рассматривали лишь движение продуктов детонации направо от детонатора. Слева от него наблюдается аналогичная картина и, в частности, направо пойдет также простая волна, которая должна будет встретиться с простой волной,иду- 462 плоскив дктонапионнык волны [гл. уп! Но нз (55.37) следует, что = — — ~Г2(И, — 1,)(1, — — ); подставив сюда значение („ получим связь между х, и а: (3с, + с,)з С, — зсз 2 (8сд — за) + 2 отсюда следует, что хз — ! сд+ ! ) 2хз+ 3! — ! 2хз+ Зсз — сд ?д — сзС 2хз + 2сз 3 ф/ сз .( сз — — ! сз з(сд й) х — сд — — (Рс — сд) 2 с,+с, д з 9дз ' з Сд сз 2 (Сд — сз) )с (Р—,) (Р— с,) и окончательно получаем 6 — Сз (55.42) Это решение справедливо в интервале скоростей и « О; при и »( < О справедливо аналогичное решение, в котором константа находится из условия сопряжения с третьим решением слева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
