К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 51
Текст из файла (страница 51)
42, в. Поскольку величины иы с„и„с являются заданными, то — == Р = сопз»; ~ Р,ди = Р (и» вЂ” и,). ах» й » 329 % 22) АКУСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН но для ударной волны справедливо уравнение энергии 2 2 иг — иг (2 — сг = — [(Р, — иг). — (Р— и,\') = +Р, (и, — и,), где Р— и, и Х) — иг — скорости потока среды до фронта волны и за йим. Поэтому — „, = ~ (и+ с)сги = Х)„(и, — иг) = — „,' и, и, следовательно, и1 (38.8) что и доказывает высказанное предположение. Перейдем теперь к описанию слабых волн в политропических газах.
Выпишем разложения, определяющие основные параметры движущегося газа. Для этой цели воспользуемся классическими уравнениями теории ударных волн (30.3) и (38.1) и, — и, = )I (р, — р,) (ч, — чг); р, — р, = р,(и, — и,) (Х)у — и,); р,ч, — ргю рг+ рг й — 1 2 = — (ч, — ч,), (38. 9) Отсюда при (и, — иг)/иг ( 1 имеем А — 1 сг — с, = — —, (иг — ит) +...; э й -)-1 иг + с, = и, + с, + —,(и, — иг) + .
(38Л0) Рг — Рг =Р.сг(и, — и,)+ 4 рг(и, — и,) + а+1 иг — иг й + 1 Ри, и, )г ч,— чг=ч, — — ч ( ) +. 4 "( сг )с+1 1 (/с+1)г (иг — иг)г Є— и, = ~( + с, + — (и, — иг)~~ + 4 ! ЗЭ сг 1 1 (иг+ сг — (иг+ сг)) иг + сг + — (иг + сг — (иг + сг)) ! +— Или иг+сг+иг+сг, 1 [иг+с — (иг+сг)) (38 4() ~г — иг —— Для удобства дальнейших исследований дадим также разложение величины Рт — и, по степеням и, — и,: 330 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРН Я УДАРНЫХ ВОЛН ~гл, чг Как мы показали выше, только первые два слагаемых, заключенных в скобки, тождественны с такими же слагаемыми для аналогичного разложения, которые имеют место для простой волны.
Однако мы вводим дополнительное третье слагаемое в разложение, поскольку при атом точность результата несколько улучшится. Приведем сравнительные данные, вычисленные для простой и ударной волн при давлении на их фронте (р, — рд)/рд = = 1,5 (дс = 7/5). Для ударной волны, вычисляя по точным формулам, имеем ид — ид — "= 0,15; сд = 0,71; сд й — 1 2 ' =0,01; сд сд — сд сд (38.12)  — ид = 1,51; сд вычисляя те яде величины по приближенным форму лам (38 10 и' (38.11), получим ' =0,70; сд — ' =0,14; (38.13) = 1,52. сд — сд Ь вЂ” 1 ид — ид — — — — — О, сд и с, Для простой волны вычисления по точным формулам дают — '*, "=0,14; (38.14) = 1,52.
' =0,70; сд сд — сд А — 1 ид — ид — 0 и сд сд Вычисления, проведенные для простой волны по формулам (38.10) и (38.11), совпадают с вычислениями (38.3), которые мы провели для ударной волны. Как видим, даже для ударных волн с относительной амплитудой порядка 1,5 получается хорошее совпадение параметров простой и ударной волн. Г Л'А В А У11 ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН $ 39.
Основные закономерности и уравнения теории волн детонации и дефлаграции р,и, = р,и,; р, + р,и', = р, + р,и';, из изз ~~+ — +О= ~,+ — '. (39.1) Индексы 1 и 2 соответствуют среде до и после зоны химической реакции, в которой выделяется количество тепла ч. Величина Д характеризует количество тепла, выделяемого единицей массы Детонационная волна представляет собой ударную волну, которая при своем распространении по взрывчатому веществу возбуждает в относительно узкой зоне за своим фронтом интенсивную химическую реакцию, за счет энергии которой поддерживается постоянство режима на фронте волны. Скорость распространения фронта подобной волны при заданных параметрах исходного вещества является, следовательно, постоянной величиной и носит название скорости детоиаиии.
Наряду с детонационными волнами мы исследуем в этой главе так называемые волны дефлаграции (горения). Теория детонации была развита в работах В. А. Михельсона, А. А. Гриба и Я. Б. Зельдовича и ряда других советских ученых. Будем считать, что при движении среды в некотором, не очень широком, слое выделяется или поглощается определенное количество энергии в виде тепла. Если толщина этой воны достаточно мала по сравнению с данной областью, в которой изучается движение среды, то всегда условно можно считать, что параметры, характеризующие давление и состояние среды внутри этой зоны, резко меняют свои значения. Для описания состояния среды после прохождения этой зоны, мы, как и прежде, воспольауемся основными уравнениями сохранения.
В системе координат, где какой-либо участок рассматриваемой зоны покоится, мы будем иметь 332 [гл. Чп ТЕОРИЯ ДЕТОНАЦИОННЫХ ВОЛН среды. При этом мы считаем, что фазовое состояние среды не меняется. Далее, мы выясним, что это допущение приемлемо для ряда конкретных случаев горения и детонации. Как мы видим, первые два уравнения (39.1) таковы же, что и для обычной ударной волны. Меняется лишь уравнение энергии, поскольку к потоку энергии, проходящему через зону реакции, прибавляется величина выделяемого в этой зоне тепла. Иэ первых двух уравнений (39.1) мы приходим к тем же уравнениям, что и в теории ударных волн: Третье уравнение (39.1) после преобразований, аналогичных тем, которые мы произвели в з 28, примет внд Ю,— Ег 4~= э (Ч1+Ч,) Е,— Е,— ~= —,(ч,— ч).
Р2+ Ю 3 или (39 3) Допустим, что величина ~) не зависит от параметров, характеризующих состояние среды, например от р„ч,. Такое допущение приемлемо для описания общих процессов, связанных со структурой фронта реакции (фронта волны). Тогда при дифференцировании уравнения энергии (39.3) мы имеем право, поскольку ~ = = — сопз1, положить д() = О. Таким образом, исследование уравнений (39.2) и (39.3) будет аналогично исследованию уравнений (28.1), (28.3), (28.4) в з 28; из (28.5) мы будем иметь, полагая снаЧаЛа ПОСТОЯННЫМИ ВЕЛИЧИНЫ Рг И Ч,; 1 г)Е, = —, (йрэ(ч, — чз) — (рэ + р1) Ы,,) = Т,г(8, — рэоч,.
(39.4) Отметим, что величины р„ч, не лежат на адиабате Гюгонио, по- Зная уравнение состояния, мы, исключая из (39.3) величину Е или 1, пРиДем к УРавнению, сваэываюЩемУ величины Рю чю с Р„ ч„Д. Это уравнение будет являться аналогом уравнения адиабаты Гюгонио. Исследуем основные свойства этой кривой, которую мы будем называть адиабатой Гюгонио для продуктов реакции.
На самой кривой величина ~ везде постоянна и, следовательно, эта кривая действительно будет адиабатой. Изучение проведем для среды, подчиняющейся условию ОснОВные ЗАкономегности и уРАВнения 333 г 391 скольку при», = »„рг = рд Ег+ Ег (при», = », Е, = Е, + Р). Отсюда имеем 2Тг — — (», — ге) ~ — = — (»г — »г) + (р, — р,).
(39.5) дрг 1 ддг дрг юг ~ д»г д»г В отличие от простой ударной адиабаты ударная адиабата для продуктов реакции, когда гг ) О, могкет иметь две точки, в которых г(Ег = — О. В этих точках, как это следует из (39.5), имеем дР '~ Рг — Рг д» /и»г — »г ' (39.6) Нааовем эти точки точками касания, а условие (39.6) — условием касания. Предположение о существовании двух точек касания вытекает из анализа уравнения ударной адиабаты (39.3), который мы сейчас проведегг.
Рассмотрим процесс горения при постоянном объеме (иногда этот процесс называют процессом детонации в постоянном объеме), тогда», = » и из уравнения (39.3) мы имеем Е, = Ег + ч или гг = гг + (р, — р,)» + гг; (39.7) отсюда следует, что рг = р, (») ) рг, поскольку с увеличением внутренней энергии в постоянном объеме должно увеличиваться и давление. Рассмотрим теперь процесс горения при постоянном давлении (этот процесс называют процессом дефлаграции при постоянном давлении).
Тогда р, = р, = р, и из (39.3) следует, что гг = гг + (~, Е, = Е, + р (», — » ) + ф. (39.8) Для реальных сред величина теплосодержания г должна возрастать при постоянном давлении с увеличением удельного объема. Поскольку при р, = рг гг ) гг, то», = », (р) ) ь . Из условии (39.7) и (39.8) следует, что ударная адиабата для продуктов реакции, если ее изображать в координатах р, », будет расположена так, что точка (р„»,) находится вне области, лежащей выше этой адиабаты, а следовательно, из точки (р„»,) можно провести две прямые, касающиеся этой адиабаты в двух точках, одна из которых лежит выше и левее точки (р„»,), а другая — ниже и правее ее. Можно показать, что других точек касания (для точки (р,, »,)! эта адиабата иметь не будет (рис.
43). Это положение равносильно тому, что из какой-либо точки, лежащей на самой адиабате, нельзя провести касательную к какой- либо другой точке адиабаты, в чем мы можем убедиться из следугоЩих сообРажении: пРи Рг -~ со имеем Рг)~0, пРи Р, — 0 имеем (гл. чы ткогия дктонационных войй Е, = О. Из равенства (39.3) заключаем, что при р, = 0 мы имеем 2 (ч,— ч,)=Ег+ (39.9) что определяет значение величины 2(н~+ $ ш (39.10) эта величина ограничена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
