К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Рассмотрим случай стационарного смешения. Пусть имеем два сосуда (рис. 38, а); через сечение ~л„р одного из них вытекает газ в атмосферу, тогда йл = — „~ ела~4 ( Рн) ) . 1 с'Рн'с» . — — т, = ~лрлил; Рнл Рлн т, = ест/ссс — секундный массовый расход; в случае критиче ВТЕКАНИЕ ГАЗА В ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ 3О1 ского истечения 2 )н<н-и . 1и1 = Х1Р1нРР1нс1и — ) н,/ 2 и1 — у, +~ с„,; (34 12) Х1 = т1и„ где р, — атмосферное давление, р„ и, — плотность и скорость истечениЯ газа, Х1 — плоЩаДь сечениЯ на выхоДе, Р,н, с,н — на- чальные параметры газа в сосуде. Аналогичные уравнения будем иметь для другого сосуда, из которого вытекает другой газ: и, = „1 сйн11 — ~ Рн ~ 1 т (Р'11, — — т, = )нрни,; Рнн 1,Рнн) в случае критического истечения а.11 т, = (,Рннснн'~ — )Мн О; и, = ~г с н' Х. = т и .
(34,13) (а+1, ' ~' а+1 ' 1= Если мы предварительно смешаем оба газа, то будем иметь Р1н 1+Рви 1 Р1нУ1+Рннин Рн= у ) у Рн= у +у где г"1 и у', — объемы сосудов. Далее скорость истечения будет и' = — сй ~1 — ~ ~' ) 1 1, т = Хри. В слУчае, когДа Хнр = Х1нр + 1 р и истечение ЯвлЯетсЯ кРитическим т=т,+т, 1 = ти (34 15) Количество движения, рассчитанное на единицу массы газа, прн этом, как правило, возрастает.
Это объясняется тем, что количество движения одного (смешанного) потока при постоянной полной энергии больше, чем сумма количества движения двух раздельных 302 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН Ггл. ч1 Рзс. 39 т=т,+тм гдет=гри, тг=~,рги„те=гзр,из; рД, + т,и + р.,1, + т,из = р1+ ти = т); -( — "+')+-( — "'+ ) = / и2 =тА, +тА, = т ~ — + ~) =те, (34.16) где ь, и ~„— параметры заторможенных потоков; напомним, что т = е(т!й = )ри — секундный массовый расход. При этом сле- дует учесть, что до смешения и в области смешения давления дол- жны быть одинаковы: р, = — р, =- р; поскольку а — 1 потоков для той ясе массы газа, поскольку в последнем случае различные массы газа имеют разные скорости, а максимум количества движения, как мы знаем, достигается лишь при условии, что весь газ имеет одну и ту же скорость.
Правда, в случае смешения вследствие возрастания энтропии кинетическая энергия газа при атмосферном давлении будет несколько меньше, чем для неперемешанных потоков, что может несущественно снизить количество движения по сравнению с потоком, энергия которого не уменьшается. Однако, как показывают расчеты, для наиболее типичных случаев смешения гааов первый фактор (ликвидация распределения масс по скоростям) превалирует над вторым фактором (потери свободной энергии), поэтому результирующее количество движения для смешанного потока несколько больше, чем для пвиееее и несмешанного.
Рассмотрим,'теперь слуиг чай смешения двух потоков, нме1ощих некоторые скорости движения в области смешения (рис. 39). Если при смешении давление повышается, то при дозвуковых скоростях вверх по течению газов пойдет волна сжатия; дойдя до резервуара, из которого вытекают газы, эта волна иаменит режим истечения; установившийся режим истечения можно рассчитать, исходя из трех законов сохранения: массы, количества движения и энергии: ВТЕКАНИЕ ГАЗА В ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ 3()3 1 34) (причем индекс 1 = 1, 2), то окончательно система уравнений примет вид 1 / Ури= Угргнс Ф) ~у~ 2 ~1 — ( Р ) "1+ й — г + УВРен ен ( р ) 11 й 1 ~1 ( ) (34.18) Р (У + Уе — У) + т и, + тни = Ури' = ти; н ' 2 ' 2 $ й — 1 т1сгн + тесен = тсн = Урисн = УзУир+ 2 Ури; ( =, йр й — 1 сн = — + — и ) ° 2 Из этой системы легко исключить плотность, и задача сведется к решению двух уравнений с двумя неиавестными.
Следует отметить, что для типичных случаев подобного смешения газов результиругощее количество движения смешанного потока, рассчитанного на единицу массы, больше суммы количества движения несмешанных потоков. Однако в случае стационарного и дозвукового перемешивания секундный расход может и уменьшиться, а поэтому секундное количество движения (тяга), как правило, уменьшается при тех же проходных сечениях. Рассмотрим случай смешения двух сверхзвуковых потоков. Секундный расход при смешении не меняется, а общее количество движения, как правило, возрастает.
Система уравнений (34.16) дает й — 1 — (+ и =уи; й 21 + и' = 2е, (34 19) отсюда 2й . 2(й — 1) и~ — — уи+ е= 0 й+1 й+1 или й . // й зн 2(й — 1) и= й 1у-+р' (й+1у) — 1 е, (34.20) после чего определяются все остальные параметры. Числовой расчет в каждой конкретной задаче не представляет ни малейших затруднений. Случая смешения газов интересны с точки зрения влияния на баланс количества движения двух противоположно действующих факторов — падения свободной энергии и ликвидации перераспределения масс газа по скоростям. 304 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН игл.
чо (34.21) М дп по ОМАМ где и — скорость истечения газов иэ ракеты (относительно нее), М вЂ” текущая масса ракеты, и — ее текущая скорость. Интегрирование (34.21) дает и = — ио1п —, (34.22) Мо ' где ̄— начальная масса ракеты. Скорость истечения ио зависит от калорийности применяемого топлива и относительного количества вводимых инертных примесей; по= ~~ 1+ — "*' Ео (34.23) где Ч' — количество тепла, выделяемого 1 г топлива, )Ао — масса сожженного топлива в момент г, )А; — инертная масса, выбро- шенная вместе с топливом в момент 1. Поскольку М„=М+(А, (34.24) где (о = )Ао + ры то, исходя из (34.23) и (34.24), соотношение (34.22) можно написать в виде $/2 (1 ~ Ъ) (34.25) Максимальн; я скорость ракеты будет при полном сгорании топлива — ~/2~ о1 (1~.~) (34.26) где М вЂ” конечная масса ракеты,')о — полная масса истекших газов, )Ао — полная масса топлива.
Очевидно, что при (о = 0 (Ро = О) и (А -~ со скоРость й = О, слеДовательно, скоРость имеет максимум прн определенном значении отношения О = фЯ. Одно из интересных применений теории установившихся движений и смешения газа относится к области реактивного движения, когда стационарный поток газа истекает через сопло ракеты. Здесь мы рассмотрим новую задачу из этой области, имеющую принципиальный интерес. Известная формула Циолковского, основанная на законе сохранения импульса и определяющая текущую скорость ракеты при стационарном истечении из нее газов, имеет вид ВТЕКАНИЕ ГАЗА В ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ 305 % 3«3 Напишем (34.26) в виде и =1/ 2~Ф 1// — '1п (1+ ~ ) . (34.27) Дифференцируя й по 6, получим — =1 ~ 2»)= — — 1п(1+ О)~; (34.28) йн .Г в«Г йе Р' И ~ Уй(1+В) 2 УЗ приравнивая производную нулю, найдем, что 1п(1+6) =,~~в, (34.29) Отсюда находим, что при 1+~ =5 М (34.30) скорость имеет максимум (34.31) й = 1,6и».
Известно, что при скорости около 11 — 12 км/сев ракета навсегда покинет Землю; учтя потери скорости на сопротивление атмосферы, следует несколько увеличить эту предельную скорость. Таким образом, если и имеет это значение, то полная масса ракеты после набора скорости должна быть в пять раз меньше, чем начальная. Обычные топлива дают скорость и»; — 2 км/сев, где и«» = у'2ф При этом к продуктам сгорания топлива не надо давать инертных примесей. Для более мощных топлив, если и«» ) 15 кз«/сек, следует давать инертные присадки для увеличения коэффициента полезного действия ракеты. Для будущего атомного двигателя, когда, например, может быть им — 2000 кз«/сев, отношение )А;/)»« = 5 10«, при этом АГы 4Мн О ЗМы н ' ы 5 (34.32) При таких данных 1 кг «атомного топлива» может выбросить в межпланетное пространство ракету весом около 60 т.
Если требуется ббльшая начальная скорость, чем 15 кз«/с«к, то можно давать меньший секундный расход инертных примесей, при этом коэффициент полезного действия ракеты несколько уменьшится, а количество атомного топлива, потребного для выброса ракеты в пространство, несколько увеличится. 306 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ РДАРНЫХ ВОЛН [гл. тч й 35. О нестационарном отражении газового потока от стенки о) Здесь мы рассмотрим важну1о в фиаическом отношении задачу, показывающую на интересные особенности перераспределения энергии при неустановившихся движениях среды. Пусть слева на абсолютно твердую стенку набегает со скоростью и, одномерный поток и газа. Начало координат помеао стим в точке пересечения стен- Р,п ки с осью х (рис.
40). а Ро Раа Такой поток газа молоет быть получен при разлете про- Л дуктов детонации или при истечении газа из сосуда, когда иа ранее газ покоился, причем в х За — 1 первом случае ио =, 1 Р, :;0 где Й вЂ” скорость детонации; во с« 2 втором случае ио = 1 со„, где йрони отраженной волны с — скорость звука в невозоо мущенном газе, заполняоощем Рис.
40. сосуд. Удар газа о стенку произойдет при го = а/и„ где а — расстояние между сосудом и стенкой. Для простой падающей волны имеем х = (и — с) 1+ г'(и); так как при 1 = — 0 х = — а, то г' (и) = — а, откуда и — с = (х+ а)/к Полагая и = ио = = ио — (2со/(/с — 1)), а с = с„получим х+а х+а со= = ио о а (35Л) где 2 ив= ио а — 1 со (35.2) отсюда (35.3) о) Эта оодачв была' решена Я. Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
