К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 49
Текст из файла (страница 49)
При (др/дТ) > О плотность на фронте ударной волны остается конечной при р — ~ ао; (др/дТ), ( О плотность при р-э со также неограниченно возрастает. При (др/дТ), = О, поскольку (др/дд), = О, давление является функцией только от плотности, откуда р= р (р), Е = Е (д). Так как согласно (25.4) изменение внутренней энергии при переходе череа фронт волны зависит только от плотности, то энтропия среды при переходе через фронт ударной волны не изменяется, т. е. ссЯ = О, но, как мы показали выше, отсюда следует, что и, = сс = из = сз, т.
е. ударная волна вырождается в обычную волну слсатия. Заметим, однако, что при значительном возрастании давления и температуры свойства среды могут резко наменяться по сравнению со свойствами при обычных небольших давлениях, и поэтому наши утверждения о роли некоторых термодинамическнх производных в природе ударных волн относительны. Для одной н той ясе среды при изменении условий знаки указанных производных могут меняться (например, для воды при низких температурах и высоких давлениях), поэтому следует, говоря о роли знака этих производных, относить их к данным местным давлениям уже за фронтом волны. Выясним сначала причины роста энтропии в ударной волне при чисто адиабатическом процессе движения среды. В тех случаях, когда состояние среды при адиабатических процессах изменяется достаточно медленно, адиабатическое движение становится иаэнтропическим, поскольку, как мы сейчас покажем, при медленных адиабатических процессах энтропия среды не изменяется.
С термодинамической точки зрения прн атом существенно, чтобы изменение внешних воздействий происходило таким обрааом, чтобы термодинамическое равновесие среды устанавливалось гораадо быстрее, чем изменяются эти внепшие условия. Другими АнАлиз ОснОВных сВОЙстВ удАРных ВОлн 315 $ зб3 ИЯ Ю ~ ~й ~б — =об+об — +аз~ — ) +.. й й ~й/ (36Л) Поскольку при дХ/й = О, т. е.
когда внешние условия постоянны, Ю = сопз1, то дЮ/й = О и должен тождественно быть равным нулю первый член разложения (36Л) а„т. е. Вб ж О. Далее, на основании второго начала термодинамики, всегда б(Я/й ~ О, поэтому член а, бй/й также должен равняться нулю, т. е. а, = О, в противном случае, поскольку величина бй/й может быть и положительна и отрицательна, величина д3/й сможет менять знак. Таким образом, разложение величины ЫЯ/й по степеням ОА/й должно начинаться с членов второго порядка. Пренебрегая ввиду малости величины бй/й членами высших порядков, мы сможем написать, что (36.2) Отсюда ЫЯ ~й — =аб— й и (36.3) Следовательно, когда величина Ю/й — ~-О, то и величина б(Ю/б()б-эО, т.
е. энтропия становится постоянной, что доказывает словами, равновесие должно успевать устанавливаться между двумя близкими по времени внешними воздействиями. Например, пря йжатии газа поршнем необходимо, чтобы скорость порпшя была меньше скорости звука в данной среде, поскольку равновесное состояние среды устанавливается благодаря обмену ее состояний при помощи двибкущихся в различных направлениях звуковых волн. Вместе с тем процесс изменения внешних воздействий должен происходить и таким образом, чтобы среда не успела вступить в теплообмен с внешней средой, т.
е. происходить быстрее процессов теплообмена (диффузии и прочих свободных явлений). Для реальных сред, особенно газов, эти условия всегда имеют место, поскольку скорость процессов теплопередачи, диффузии и т. д. Значительно меньше скорости звука для данной среды. Будем характеризовать внешние условия, воздействие которых изменяет состояние данной среды, некоторыми параметрами Х„ Хб, Лб, ...,являющимися функциями времени.
Достаточно рассмотреть влияние одного какого-либо параметра, который мы обозначим просто через Х. Производная от энтропии по времени б(Я/й должна зависеть определенным образом от скорости изменения величины параметра )б: бй/й; поскольку мы условились рассматривать медленные изменения внепших воздействий, то величина бй/й должна быть мала, и мы можем разложить величину ОЯ/й в ряд по степеням Ю/й. Итак, положим, что 316 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [гл.
чг обратимость медленного адиабатического процесса, т. е. его изэнтропичность. Если внешние воздействия на среду изменяются достаточно быстро, то скорость изменения параметра Л: ддЛ/й уже не будет малой величиной н ряд (36.д) при НЛ/ддд ) 0 уже не будет сходиться к нулю, а следовательно, энтропия при быстрых адиабатических процессах начнет возрастать. Представим себе, что мы имеем некоторый объем среды, которая подвергается не очень слабому воздействию внешнего давления, сжимающему ее.
Тогда частицы, находящиеся на периферии этого объема, при не бесконечно малом сжатии получают дополнительные конечные скорости; при соударении с другими внутренними частицами произойдут выравнивания скоростей, а следовательно, и рост энтропии системы.
Другими словами, направленный определенным образом внешними силами поток частиц среды частично потеряет энергию направленного движения аа счет воарастания энергии беспорядочного теплового движения частиц (молекул). Проиллюстрируем высказанные здесь соображения примером. Пусть мы имеем некоторый объем покоящейся среды, например, идеального газа, причем одна из его частей была предварительно подвергнута конечному адиабатическому сжатию таким образом, что энтропия этой части газа не изменилась по сравнению с ее начальным значением (процесс обжатия протекал медленно). Таким образом, мы будем иметь среду с одинаковой энтропией, но с различными давлениями и плотностями.
Пусть объем одной части среды есть Ч„давление и плотность среды в нем р, и р„. Объем другой части среды есть Чд, давление и плотность в нем р;, р„причем р, + рд; рд + рд. Смешаем теперь оба объема и оценим изменение энтропии, которое при этом произойдет. Законы сохранения массы и энергии для данного процесса примут вид р (Ч, + Ч,) = р,Ч, + р,Ч;, 1 36.4 р (Чд + Чз) = рдЧ + р Чз ) ( ) (мы считаем, что Я = Яд = е и весь объем изолиРован от вскче- ских внешних воздействий).
Поскольку од = ою то (36.5) Здесь р и р — давление и плотность после смешения. Из этих соотношений имеем Рдуд+ Рдуд Рдуд+ Рдуд Рд (( Рд '1 Ч + Ч 1 .+ ' ' *+ ° .+ *Й (36.6) $36) АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ СВОЙСТВ УДАРНЫХ ВОЛН 317 Я -Я И далее, определяем величину а Р Р' где а, = е " харак- РИ Я-Я териаует энтропию до смешения, аа = е ' — величину энтропии после смешения. Очевидно, Ри И а Р1 И+ ' ЧИ+ Ч1 (36.7) а1 ЧИ+ Ч1 1 ~ ~'3'Ч,+Ч, Легко убедиться в том, что для любого значения отношений Ч,/Ч1 и р,/рти для реальных значений покааателя иаэнтропы /и величина о/о1 ' 1.
Почти аналогичный процесс происходит при образовании ударной волны (например, при ускоренном движении поршня, сжимающего среду). Частицы среды, обладающие ббльшими скоростями, непрерывно обмениваются энергиями с частицами среды, имеющими меньшие скорости; при выравнивании скоростей, т. е. при процессе смешения частиц и отдельных объемов среды, обладающих различными энергиями, энергии выравниваются, а энтропия возрастает, характеризуя стремление среды к равновесному состоянию.
То же происходит и при прохождении частиц через фронт ударной волны благодаря его малой толщине. Толщина фронта ударной волны характериауется областью резкого изменения параметров движущейся среды. Математически толщина фронта ударной волны должна стремиться стать сколь угодно малой, поскольку состояние элементов среды при больших давлениях и плотностях распространяется,со скоростями и + с, т. е. с большими скоростями, непрерывно увеличивая крутизну профиля волны ($17). С другой стороны, толщина фронта может быть интерпретирована как ширина области, где за счет обмена энергиями частиц, пересекающих ударную волну, с частицами за фронтом волны происходит практически полное выравнивание их средних скоростей, а следовательно, и всех прочих параметров.
В молекулярной фиаике доказывается, что подобного рода процессы, особенно, если они стационарны, происходят на расстояниях порядка нескольких длин свободного пробега молекул, т. е.на таких расстояниях, где каждая молекула может соударяться несколько раа с рругими молекулами. На основании высказанных соображений можно считать, что толщина фронта ударной волны по порядку величины именно должна равняться нескольким длинам свободного пробега молекул.
318 Э ЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. Рг Энергия частиц среды, пересека1ощих разрыв, преобразуется таким образом, что кинетическая энергия их уменьшается, а внутренняя энергия среды при этом возрастает, т. е. часть энергии направленного движения частиц переходит в энергию хаотического их движения и полностью обратно в энергию направленного потока уже превращена быть не может. Вследствие необратимости подобного процесса происходит рост энтропии среды. Гипотеза постоянства энтропии в среде до и после пересечения ею ударной волны, в частности, при произвольной изэнтропе противоречит закону сохранения энергии.
В самом деле, полагая антропию постоянной (г)Я = 0), будем считать, что Г Ф ) Р 1 (36.8) вместо — =~( — Р+ ТВБ), 1 (36.9) где пределы интегрирования 1, 2 показывагот на состояние среды до и аа фронтом ударной волны. Тогда уравнение энергии (28.3) '1 11 = (Ч1+Ч) ~ъ ю 2 дает 1Ч11р = "', '' (Ч +Ч ) или, на основании (28.4), 1 — *1 рг1Ч = Р'+ ю (Ч вЂ” Чз).
(36.11) 1 (36АО) Отсюда после дифференцирования прн постоянных р„у„как мы знаем, получается уравнение~ что дает р, — р, = А (Ч, — Ч,) (А = сопз1), (36А2) т. е. уравнение изэнтропы Чаплыгина. Всякая другая изэнтропа, например изэнтропа вида р = А (р" — р~), будет противоречить аакону сохранения потока энергии при прохождении им фронта ударной волны, если считать, что энтропия постоянна. Определим величину энергии, необратимо переходящую в тепловую.
Для атой цели рассмотрим процесс сжатия среды ударной волной и затем процесс расширения этой сжатой среды. 2 зе~ АНАЛИЗ ОСНОВНЫХ СВОИСТВ УДАРНЫХ ВОЛН 319 из из 3 3 2+ (36.13) Поскольку 12 = 11 + (и~з/2) — (и~!2), то из из 3 зз = 11+— В 2 (36 14) При изэнтропическом процессе величина теплосодержания в состоянии 2 есть 12 =11+ 3) —, при ударном аднабатнческом про- Р цессе 1', .= 11+ ~ ~ — Р+ Т е(Я) = 1', + ~ Т дЯ.
(36.15) Величина ~ Тезо' = езе,з» определяет величину энергии среды, по- 1 шедшей на необратимое возрастание энтропии, т. е. на добавочное, по сравнению с изэнтропическнм процессом, тепло. Выражая — из (36.10), получим 2 2 0*=~тая= '*,," (ч,+ч,) — ~чар= 1 1 (Ч, — Ч,) + ~р е)У. (36 16) 1 Здесь интегралы ~ — или ~фе(У берутся вдоль изэнтропы иР Р 1 1 о = 81= сопят. При расширении среды будем иметь йР 1 — 1 ='~— 3 2 ) Р (36.17) Сохраняя обычные обозначения, мы индексом 3 будем обозначать состояние расширяющейся среды до внешнего протнводавления, которое будем полагать равным р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
