К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Зельдовичем и автором в 1947 г. [23[. В том случае, когда мы рассматриваем малую область вблизи стенки, х/а мало, со также мало, а й, = ио, т. е. можно считать, что в атой области поток движется с постоянной скоростью ио. Поэтому можно ожидать, что отраженная ударная волна в рассматриваемой области должна подчиняться законам автомодель- ного движения газа, что, как мы ниже увидим, действительно выполняется.
После удара от стенки налево пойдет отраженная ударная волна. Ниже мы покажем, что эта волна будет сильной, а поэтому на ее фронте рн = р, (Й + 1)/(/0 — 1), где р, — плотность газа в падающем на стенку потоке; в том же приближении для малых х/а можно считать, что р — (х/ а)~-', поскольку р — со~ — '. Отсюда ясно, что "+' а-~ х н. ~0— 5, (35.4) рн а — 1( А+1 а сн где рон и сон — плотность и скорость звука в невозмущенном движении газа. Скорость фронта отраженной ударной волкь1 на основании формулы (30.6) равна нх Г Р и ~0 ЧО н ~/ Чо — Ч н или г 770 — по — (Й+1) ~Г,,'„", . (35.5) Отсюда Их Г ун х 0П О вЂ” = и — (Й+ 1) )г У г(А-~> 0 (35.6) где р„= р„чф'/х'.
Предположим, что на фронте х = г,ф", тогда нх х — = а гн8"'-5= а — ' ,и ъ/ Ун х х и — (Й+1))г, — =ив о в (Й вЂ” 1) или ио — (Й+ 1) 1гГ, "1 гн1" '=а,г~~ ' ', (35.7) но на фронте ун н гн должны быть постоянны, поэтому а, = 1 и 1)ч =- сопзс. Воспользуемся, далее, уравнениями автомодельнык движений (9.23), (9.24). Положив и = $, ~р = г — и, получим ро ' г' 10; отсюда вытекает, что ао = 2/(Й вЂ” 1), ао = — 2, а = — (Й + 1)/2 (Й вЂ” 1).
Прилюним для изучения законов движения отраженного газа уравнения (9.26) и (9.27), из которых нетрудно получить, учитывая, что из формулы (9.25) следует $351 О нестАционАРном ОтРАжении потокА От стенки 307 308 СГЛ. П1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН г' = — 1р/2, для данного случая (1т' = О) следующее уравнение: 4г' + 2л' = ( — — ) 6 э (з') " ~ , , д + /с †, ~, (35.8) где производные берутся по 1п 0; 0 = Рр/рк. Поэтому, поскольку г' = — 1р/2, уравнение (35.8) примет вид К-1 1-1 2 — — ~ [1ркк18 ' — /сАк-1) -)- 1рк+10 1 = + Ак'-1. е гв к — 1 Введем е) новую величину д: К-1 41-ккрк+10 э (35.9) тогда уравнение примет вид й -К+2 +д= о =О. (35.10) к <к-п, 1+1 В= Вд "+ Р"+' д~ (35Л1) Выразим 1р: К вЂ” 1 <к-и к~-к+э А11 1<к+и э<к*+п~кк-)- д 1эое+п =( / [ — ~, (35Л2 в/ д ~ ч) — ! Далее определяем т) (из 9.27); поскольку трргн0 " = А =- сонэк, (35.13) то к 1 вк (к 1Р к, кк т)к-1 А к+1 В к-Ктд ~+~ /"" т д) "+ (35 14) /„, Зависимость з от введенного параметра д дается формулой е) Мы здесь берем иной коэффициент, чем в формуле (9.27); вместо величины аэА1ДК Н в этой формуле берем величину А.
( 2 Е Лд К вЂ” тд — — — — — /(д — й) К+1 д Ие К+1) Отсюда йу д — к д Кэ+$ + К вЂ” 1 Интегрируя, имеем Этот интеграл в конечном виде не берется. вм — к+э (35Л5) <р=г, г=О, <р=О, 9=0, (35.16) а следовательно, постоянная интегрирования также равна нулю. Условия на фронте отраженной волны дают К+1./ а — 1 к, Р = г, = мо — — ь — Овг)о = п + <ро = К вЂ” 1 У 2 , — >/ — В> 'В, В- В,. <11.11> Отсюда /" к — 1 к-1 <р = — Вь —, т) 9„, 2 (35 18) что дает К вЂ” 1 <ВВН = (35.19) Вводя функцию 0(9) = ~д '<"+'>~„~ — 9) (д — /о)а<< (35.29) будем иметь К вЂ” 1 1 <Аг г<кВ+1> К+1 1>к = + 2 ( в ~ О = по+ — <Р К вЂ” 1 К-1 к — 1' Рг К вЂ” 1 к+ 1 /АВ >г<кВ+1> > > — 1,г<>'+и ! <>1+1)г ', г<кчи =По ~ / К вЂ” 1 ~ В,/ ', 2 / '>2(К вЂ” 1)/ (35.21) отсюда "е. (35.22) ИВ+1> Е.+ У' <к-1)( — „+~) (е') + Теперь определим р, р, и как функции В>, давление р определим из соотношения р = 1-гркО =1"-'г)ко.
Используя выражения 9 и т> через д [(35.11) и (35.14)) и вспомнив, что <1„= (/г — 1)/2, 1 гы О нестАционАРном ОтРАжении потокА От стенки 309 Иа условия, что на стенке при х = О и и = О, имеем 310 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [гл. У1 получим 2(К вЂ” 1) к — к (Ай+1 )к — о ~ — '- -) +') ~ — 1 Г 1 ок Г 2 к к)К 1 (к П(к+Н к к (:) ~+) Р Рн Р Рн (35.23) во+1 1<к-и Он+к) —,— ч) к — 1 ('о+ 27 с(к+м (~ +, )~~~~~~ и ин НРичем, посколькУ зн = Р„(1 — (а), где га есть момент УДаРа, то на основании (35.4) имеем 1+1 с К+1 ио ))„(Π— Ы) ~к — к К вЂ” 1~ К вЂ” 1 сан г(к 1) („+1), (и.— Р,)' Рн Ран (Р„с О), Рн Ран (35.24) П„(о — оо) ~ив 1 сн с или рн = ран = 2 (иа — Р„) |в к+ 2 )с — 1 и= — Р+ — и.
н — К+1 и а(1 а. 1 Ра / 2 (Ко + 1) Йк с 1 (К + 1 Р ) (35.25) При )с — «1 р,(р„=- 1, при й — «оо рс)р„= 1, при й = 3 рс(р = 1,12 при й = 7/5 рсфср = 107 Отношение давления на фронте ударной волны н давлению в потоке перед фронтом задается формулой Р 2 2(к — 1) Р (ио — )) )' Р, ) ' (35.26) Ра (К+ 1)' Ран ( Ро Формулы (35.20), (35.23) и (35.24) дают полное решение поставленной задачи. Интересно отметить, что отношение р/рн всегда близко к единице. В самом деле, у стенки зз) о нвстлционлгном отглжвнии потокл от ствнки 311 й — 1 где р, = — р„; поскольку Й+1 Рон он но з) (з — Зо) ~ з — з сон а то р„2й(й+1) Гио — Во а 12 р, (й — 1Р ) . В () — ),)1' (35.27) Мы видим, что ударная волна действительно является сильной, так как величина а/л)(1 — 12) в окрестностях точки з = 0 весьма велика.
Поскольку мы рассматриваем отражение от стенки малоплотного потока, то значение Й ~( 7(5; для величин й, близких к единице, интервал изменения д весьма мал: 0~9~','. (35.28) зз' — з+з з' — з+з 2й(йз+1) (й~+1 ) 2(ззьз) Из+и Рз — й-(-2) '(а — 1! (35.29) Отсюда, так как дн = (/с — 1)))2, имеем зз* — з-Рз з з+з из+и (й — 1 ")аР'+6 ) =) й (й — 1)* о 2(йз+ 1) ' 2й(й'+1) /йз+1 е.— (35.30) (35.31) =л)о=в позтому мы получаем 2(З вЂ” 1) н (35.32) Здесь Рн й+1 Г й(й 1)з ар(з — зо)] Рон й ( (й+1)(йз+1) а на 2 ' (й+1)(й'+1) ) ' и.
й'+1' (35.33) Таким образом, функция () (д) может быть вычислеца в пред- 22 З+З Яз — 1 ) 2(~'+1) положении, что () стремится к нулю в членах ) — — о) ',й — 1 и (д — Й). Вычисление дает $ 351 О нестАЦиОнАРнОм ОтРАжкнии потокА От стенки 313 Следовательно, при ударе газа, истекающего из сосуда, о стенку температура небольшой части газа становится значительно большей, чем начальная. Здесь мы снова имеем дело с интересным случаем перераспределения энергии при нестационарных процессах. Отметим еще раа, что и при отражении потока газа давление мало зависит от х.
'Таким образом, можно считать, что вообще для рааличных отраженных волн (волн разрежения, ударных и детонационных) р является слабой функцией от х и сильно зависит и от й В данном случае при Р увеличении 5 после отражения р возрастает, как гздз-55, что при ! р й = 7/5 дает р — 55.
Результаты исследо- -и вания параметров и и Р отраженной волны иллюстрируются рис. 41. Мы рассмотрели пер- — Р вую стадию отражения Рис. 41. головной части простой волны от стенки. Дальнейшее рассмотрение задачи для тыловых частей особой волны представляет значительные трудности, и мы здесь ограничимся лишь некоторыми выводами, относящимися к этому вопросу. Представим себе цилиндрический сосуд, перегороженный в произвольном сечении. Пусть в левой части сосуда находится сжатый газ, а в правой — пустота. В некоторый момент времени убирается перегородка и начинаются истечение газа в пустоту и отражение волн от правой стенки сосуда.
Волна разрежения и фронт разлетающегося газа будут многократно отражаться от противоположных стенок сосуда и взаимодействовать друг с другом до тех пор, пока не установится новое равновесное состояние с повышенной по сравнению с начальной энтропией. Этот рост энтропии обязан своим происхождением в данной задаче ударным волнам. Сам сосуд при этом процессе сначала получит импульс, направленный налево, поскольку после снятия перегородки на правую стенку не будет действовать никакое давление, а затем, поскольку силы, действующие в сосуде, являются внутренними, этот отрицательный импульс будет полностью скомпенсирован положительным импульсом, который создает поток газа, ударяющийся о правую стенку. При этом центр массы системы сосуд — газ не сместится, сам сосуд совершит некоторое перемещение.
344 элементАРнАя теОРия удАРных ЕОлн [гл. ус $ 36. Анализ основных свойств ударных волн Как мы покааали выше, ударные волны могут существовать в среде, для которой справедливы неравенство (дар/др')з ) О и автоматически следующие нз него неравенства (д'р/дчз)з ) О и (др/дТ), ) О. В области, где значения этих производных неположительны: не может существовать устойчивых ударных волн. Воаникнув где-либо при определенных условиях, например при внезапном движении газа, и предоставленные самим себе, эти ударные волны будут немедленно вырождаться в волны сжатия (в звуковые волны).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
