К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Далее, Рв (й+1)»ч+(й 1) Ра 1ЕФ (33 вб) Ра (а+1) Ра+ (й — 1) Рв вя (»р — Ю что и определит направление вырожденной линии тангенциального разрыва (угол з). Очевидно, и тангенциальный раврыв при этом вырождается в слабый раврыв. Укааанные соотношения помогают решить поставленную задачу. В заключение рассмотрим более подробно, как меняется давление за фронтом ударной волны при различных режимах отражения. В случае регулярного отражения для вычисления давлений мы имеем формулу р = — — р + — з)пв<р~ссйв~р+~ — ) ). (ЗЗА() й+1 ' й+1 ~ (р (/' Исследуем величину А = Рйп ~р с(д в(», входящую в это уравнение. Когда эта величина возрастает, то возрастает и давление в отраженной волне.
Для исследования экстремума этой величины воспользуемся уравнениями А = з1п вр с(9 в(»; вя «Р — е) р. 1е «р — е) р (33 (2) вяр Рв ' 1ЕР Для экстремума отсюда будем иметь соотношения яа2(Ф вЂ” з1 ( '/в в1а2(вр — е)) (р, в(в 2% / ( в(в2ф / ' ~ (33 (3) в»п2в(»йр = 2(Евра»(».
Отсюда видно, что равенство угла падения ударной волны вр углу ф при в(» = О, у = 0 является одним ив решений этой системы уравнений. Это соответствует случаю прямого отражения ударной волны. Другое решение, которое выражается достаточно громоздко, определяет минимум величины А. Минимум А наступает при »Р) вр — О = е. Максимума величина А не имеет.
296 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ.Ч1 Проследим, как меняется давление в отраженной волне при изменении угла падения волны ф Когда величина ~р увеличивается от нуля (прямое отражение), то величина ~р — 0 = ю (ф и давление рз ( р, где р, — давление при прямом отражении, т. е. величина р, давления становится меньше, чем при прямом отражении; при некотором ~р давление р, достигает минимума, а затем снова начинает возрастать и при некотором значении угла $=ф" становится снова равным давлению при прямом отражении.
Ф Рнс. 36. После этого происходит дальнейшее повышение давления по сравнению с прямым отражением, но это явление имеет место только для сравнительно слабых ударных волн. При давлении р, = раз = 7р, угол равен ~р = у — 0 = 1Р (для й = 7/5), т. е. углы падения и отражения становятся равными и вместе с тем они равны своему критическому значению $ю когда уже невозможно регулярное отражение; поэтому для более сильных волн величина давления при косом отражении уже не может достичь значения, которое имеет место при прямом отражении, следовательно, при ~рз (~р, давление при отражении косой волны превышает давление при прямом отражении.
Когда наступает нерегулярное отражение, то давление имеет наибольшее значение в прямой волне у стенки; при этом изменение максимальных давлений происходит скачком, поскольку изменение режима отражения также меняется скачком. Однако это давление также меньше, чем давление при прямом отражении. Отметим, что аначение ф* = у — 0 = ю не зависит от амплитуды падающей волны: (33.14) соз 2ф" =— 2 При й = 7/5 фз = 39'.
С увеличением угла ф величина давления падает и при ф = = — я/2 становится равной просто давлению в падающей ударной ВТЕКАНИЕ ГАЗА В ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ 297 волне, поскольку никакого отражения уже не будет происходить. Зависимость давления на фронте отраженной волны от угла падения схематически изображена на рис. 36. Рассмотрим также, как меняется угол отражения ю = 2р — 0 з зависимости от угла падения.
Сначала, как мы указывали, справедливо неравенство оз 'зр, затем для несильных ударных волн ю" =- 2РА, далее е1 ) 2(1, но потом наступает изменение режима отражения. При нерегулярном отражении с увеличением угла 2Р + (я/2) угол о1 отраженной ударной волны также стремится к величине я/2. 5 34. Втекание газа в трубу со скачком сечения. Смешение газовых потоков Задача, которую мы здесь будем рассматривать, является аналогом классической задачи о плоской ударной волне и о гидравлическом ударе жидкости. Пусть газ из трубы сечения /1 втекает со скоростью значительно меньшей, чем скорость распространения звука, в трубу сечением/, ) /, (рис.
37). Параметры газа на контрольнои поверхности (1) будем обоаначать индексами на контрольной поверхности (2) — индексами 2. При выводе основных уравнений мы будем по-прежнему исходить из трех законов сохранения: Ю Ф/ массы, количества движения и энергии, аналогично тому, как Рис. 37. это делается в теории ударных волн. При этом мы воспользуемся экспериментально установленным фактом, что в месте скачкообразного изменения сечений давление на стенку трубы большего диаметра равно давлению исходного потока (р,). Это объясняется тем обстоятельством, что скорость газа у вертикальной стенки переходного сечения мала по сравнению со скоростью звука, поэтому элементарные волны быстро выравнивают давление во всем сечении вблизи места втекания газа.
Напишем основные законы сохранения: Р1и1/1 = Р,и,/,; РА + Р1й1/1 = Р2/2+ Рзиз/2' 2 2 1 2 '1+ —. = '2+ —. 2 2 (34 1) 298 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН (гл. ч Требуется, зная р„р„и„гг, ггцг, найти р„р„и„(г. После преобразования первых двух уравнений (34.г) можно прийти к соотношениям )ч' — (ачг) ' из = — (рг — рг) ч, ( 34.2) иг = ча чг ( чи — чг где и = Я/г ) 4 есть отношение площадей сечений. После этого третье уравнение (34.1) принимает вид — = — (ч,и — чг). рг — рг 2 (34.3) Как видим, уравнения (34.2) и (34.3) аналогичны уравнениям теории ударных волн; отличие заключается лишь в том, что вместо удельного объема ч, в данные уравнения входит величина чга = ч 7г)7г.
Уравнение (34.3) является уравнением энергии рассматриваемого процесса. В случае идеального газа г, = Игргчг) )(й, — 1), (г = йгргчм'(йг — 1) и уравнение (34.3) принимает вид, аналогичный виду уравнения ударной адиабаты (адиабаты Гюгонио). Разрешая это уравнение относительно рг)рг, получим йг — 1 , -(.— ) ~- .(.— ) (34.4) )гг (й, + 1)ч, — (й, — 1) чга Разрешая уравнение (34.3) относительно чг/ч„будем иметь й,— 1 рг ч, рг (2)а )г 1 — (йг — 1) а1 + (йг — 1) ир~ г ' , (34,5) рг ю (йг — 1) рг+(йг+1) рг Подставляя значение виям 2ргиг ч в уравнение (34.2), придем к соотноше- '')(( '+ )Рг+( ' ) ю) 34 6 й Рг — рг(йг — 1) (и(йг 1) — 1 / 1,,1 йг — 1 рг(2йг — — (йг — 1) гг +а(й,— 1) р," р — рг (йг — 1) ( — — 1 ) г а (йг — 1) (рг — Рг) 2арги.,'— Зная р„р, и и„можем определить из соотношения (34.6) величину рг, а затем из соотношений (34.5) и (34.7) — величины чг и иг, что полностью решает поставленную задачу.
Эти уравнения, похоягие на классические уравнения теории ударных волн, становятся тождественными с ними, если положить а = 1. В случае й, = йг = й, что имеет место для значений а, ВТЕКАНИЕ ГАЗА В ТРУБУ СО СКАЧКОМ СЕЧЕНИЯ 299 34! близких к единице, уравнения (34.4), (34.5), (34.6) и (34.7) ааметно упрощаются и при замене у на 1/р принимают соответственно вид р, [2й — (й — 1) а] — рг (й — 1) р4 (й + 1) — ара (й — Ц (й + 1) р.
+ (й — 1) р Рз Р4 2рги~~ а (й — 1) р4+ [2й — (й — 1) а] р4 ' (34.8) (р — р ) [(й+ 1) р + (й — 1) р ], 3 Г й — 1 — — ( — )1 (а (р4 — р4) [а (й — 1) рв+ р4 (2й — а (й — 1))] (34.9) 2ар,и,' 1 й — — (й — 1)) ( а Необратимые потери энергии адесь, в отличие от потерь в ударной волне, имеют место и при дозвуковых скоростях, а при сверхзвуковых скоростях, в случае одинаковых начальных условей, эти потери больше, чем в ударной волне, вследствие завихренности потока в месте внезапного изменения сечения. Давление р, прн заданной скорости и, меньше, чем было бы в случае плавного адиабатического расширения, а температура соответственно выше.
Это обстоятельство имеет важное значение при изучении втекания газа в трубы, размеры сечения которых на входе резко меняются в смысле преобразования энергии в этих трубах с целью создания тяги. При атом тяга реако уменьшается. Выясним, как меняется энтропия газа при переходе его через скачок сечения. Поскольку в-в. ру"=о=с" (34Л6) то относительный рост энтропии будет определяться соотношением вз — % Рзт (34Л1) ,й С4 После подстановки в это соотношение аначеннй р~р, и у~у, становится очевидным, что рост энтропии значителен дан4е при малых изменениях сечений и дозвуковых скоростях; природа необратимых потерь свободной энергии похожа на природу потерь энергии в случае ударных волн.
Явления, связанные с этими необратимыми потерямн энергии, поддаются анализу. Для этой цели рассмотрим процесс нестационарного втекания газа из узкой трубы в широкую, считая, что в широкой части трубы до этого была пустота. Очевидно, расширяющийся при таком втекании газ после удара о боковые стенки трубы аатормозится и от стенок пойдет зоо элементАРнАя теОРия удАРных Волн ИГЛ. Ч1 ударная волна, которая будет нестационарной.
Вследствие этого энтропия ударившегося газа будет повышаться и за фронтом ударной волны движение станет вихревым, что вытекает иа доказанного нами положения о том, что всякое неодномерное и изэнтропическое движение должно быть обязательно вихревым. Если процесс втенания происходит длительно и втекающий поток стационарен, то в области скачка сечения также установится а1 стационарный режим. В непосредственной близости к стенкам движение будет с ~111 вихревым (и притом турбулентным), причем эта часть газа не будет обладать поступательным движением, а на границе с движущимся гааом будет вовлекаться в движение силами вяакоф сти, вследствие чего вся выходящая у+я стРУЯ газа Должна быть завихРена.
»Р г У На образование вихрей и тратится необратилсо часть энергии. Покажем теперь, что в области скачРис. 38. ка сечения давление долясно быть вдоль всего сечения одинаково. Допустим, что у боковой стенки давление меньше, чем на оси; нормальная компонента скорости газа у стенки равна нулю, а волны сжатия, идущие от оси, которые должны при таком режиме возникнуть, в конце концов выравняют давление вдоль всего сечения.
Точно так же, считая, что у боковой стенки давление больше, чем на оси, мы придем к выводу, что сжатый в атой области газ начнет двигаться от стенок к оси и давление во всем течении выравняется. Равенство давления по всему течению в области скачка сечения хорошо подтверждается различными экспериментами. В случае несжимаемой среды или относительно небольших дозвуковых скоростей движения газа на основании выведенных нами формул легко получить классические уравнения гидравлического удара. Для этого достаточно положить в уравнениях й1 Ус 2 Ус оо ' Смешение газовых потоков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
