К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Процесс расширения будем считать стационарным. Сравним этот процесс с аналогичным чисто изэнтропическим процессом истечения среды при изменении давления. Значению давлений рз соответствует теплосодержание среды 320 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. Ч> где интеграл ~ — берется вдоль нзэнтропы для о = Яз = сопзз. 6>Р Р 2 Отсюда следует, что 13 = 11 = 1 — "; + 1 "Р + ( т.Я. (36.16) Для изэнтропического процесса при расширении получим, что Р 6>Р '3 ='1+)— 3 Р 1 (36.10) 6' = — ' — [> — ~ 6-( — ~-6>666 ~.
66666> 1 2 1 Скорость истечения при р = р, для изэнтропического процесса определится соотношением 9 из и1 6>р 2 2 (36.21) 1 Ото>ода и 2 — из 2 3 2 — — + ~ ТЛЯ. (36.22) Р(я=я > Р(я=я > 3 ' 2 * 1 Здесь очевидно, что поскольку величина 12) >„то и величина .3 ) 1', (при р, ) О), а поэтому из ) из. (36.23) При рз —— 0 13 = 1, = 0 и из = из = из„зх.
(36.24) Итак, величина необратимо потерянной энергии равна Ле = 19 — >з = ~ — ~ + ~Т>(Я' (36 25) 36р р 6>р Э<я=я,> ~ Р<я=я,> з где интеграл ~ — берется при о = О1 = сопз1. 1" 3>Р Р 1 Таким образом, скорость истечения для ударного процесса при р = рз определяется соотношением 321 $271 некотоРые пРимеРы эта величина уменьшается до нуля при истечении среды в пустоту. В том случае, когда давление среды р, = ры имеем (36.26) или г2е= ~~, ~~ (Ч1+Ч2) — т " э<э=за 1 или окончательно (36.27) (36.28) ЛЕ = 71 — 1„ где 11 есть теплосодержание среды при р = р„Я = Я2. Это последнее соотношение является чрезвычайно важным в целом ряде расчетов, связанных с механическим действием ударной волны. Поскольку при Я = Я2 Т1) Т„р' -" р и 1, ) 11, то, следовательно, величина потери энергии Ле ) О.
$ 37. Некоторые примеры движения среды при стационарных ударных волнах 1. Определим необратимые потери энергии, происходящие при тормо1кении газа перед летящим в нем телом. При изэнтропическом торможении имеем и 21 12 = 11+ (37.1) где и1 — скорость движения тела, 12 — теплосодержание заторможенного газа. В случае сверхзвуковой скорости движения тела перед ним возникает ударная волна, которая у оси тела может быть прямой. В этом случае теплосодеря1ание 1, за фронтом ударной волны равно к2 цз 12 11+ (37.2) 22 2 1 2 — О 22 2 2 У тела по-прежнему 12 выражается формулой (37.1).
Вычислим давление газа у поверхности тела для обоих случаев. Для этой цели сначала вычислим давление газа на ударном фронте при скорости газа за фронтом из и сравним величину этого давления с величиной давления для изэнтропического процесса при той же скорости; обозначим 322 элементАРнАЛ теОРия удАРных ВОлн [гл, ш Тогда для обоих случаев и1 11 = 11+ —. 2 (37.3) Поскольку 31 ) Я„то для ударной волны изменение теплосодер- жания 1, — 11 выражается формулой (36.9), а для изэнтропиче- ского торможения оно равно 11 11 Р 1 где состояние 2* в смысле давления неравноценно состоянию 2, поскольку энтропии в этих состояниях различны.
На основании этого имеем 1 (37.4) поскольку ~ Т 1(Я ) О, то и 1 †) 0; отсюда следует, что давле- Р ИР 1 ние при постоянной энтропии Я = Я1 должно быть больше, чем давление р, при величине энтропии Я = Яз. В самом деле, при Я ) Я интеграл и Рз 1 Р* и1 1 Сравним давление, развивающееся на стенке при ударе, с соответствующим давлением р, для чисто изэнтропического торможения может быть больше нуля только при р,) р„если псл(р) О.
Таким образом, вследствие торможения газа у тела при прохождении газа через фронт ударной волны (при и1 ) с,) давление на поверхности тела будет меньше, чем при чисто изэнтропическом торможении. 11. Пусть стационарный поток среды (газа) движется в трубе и наталкивается на стенку, при этом, как уже было выяснено в 3 30, возникнет ударная волна, идущая от стенки. Давление в возникающей ударной волне в случае политропического газа определяется соотношением (30.12) 323 некоторые пРимеРы среды. В последнем случае (37.6) При малых скоростях удара, когда и,/с, "1, разлагая (37.5) и (37.6) в ряды, будем соответственно иметь рс 1+/ и1 + й+1 и1 + й(й+1)4 37.7) Р1 с1 4 сс (37.7 1 1 р й и й и — =1+ — — + — — +... Р1 4 сс з сс 1 1 (37.8) Очевидно, что при малых и,/сг р, ) р„ — =й — + Рс Рс и й — 1 "1 й(й+1)4 й — + Р1 С1 сс Зв 1 а именно ис й ис 1 1 сс " с 1 1 — 2й( ~ ) — ' ...
(37.9) 1 Напротив, прн и,/с, )) 1 имеем откуда р, ( Е ) й(й+1)(с,) (37 11) — ~1+ (37.12) Разложение в ряд — =1+й — + Р,' и1 Рс С1 и,/с1 дает й(й+1) и31 12,4 + 1 гй(й+1)й и', с4 1 при малых й(й+1) и 4 с' '1 (37.13) Величины давлений рс и р, становятся равными при и,/с, = 2, когда р,/р1 = 4,5 (й = 7/5). В случае нестационарного торможения в простой волне 11 324 элементАРнАя теОРия удАРных Волн разность (ГЛ.
Ч> Р1 — йч й(й+ 1) (5 — зй) и> й (й+ () (3 — й) 1 (37 14) Р> (28 сз 128 '1 1 При й ( 5!3 р, ) р„при й ) 5>3 Р, ( р,. В случае боль- ШИХ и>/С1 (37Л5) (37Л6) Следовательно, при й ( 5!3 >>, всегда больше р,. При Ь ) 5!3 в случае малых иг!Р1 сначала р, ) р>, а затем, с увеличением и>/с1, величина р., становится больше чем рз.
Возрастание давления у стенки или на фронте отраженной ударной волны при стационарном набегающем потоке по сравнению с давлением изэнтропического торможения объясняется тем, что теплосодержание у стенки при ударном процессе больше, чем при изэнтропическом. В самом деле, для ударного процесса, выбирая систему координат, в которой фронт ударной волны покоится, найдем, что стенка и газ у стенки должны двигаться со скоростью Р,; поскольку газ перед фронтом волны теперь движется со скоростью и, + Р„то 1 1 (и>+ В>)1 '>1 11 = 1, +, — — = 1, + — + и>РА.
(37.17) 2 2 2 Теплосодержание же при изэнтропическом процессе равно из 1, =11+ —, = 11 — и,Р,(1,. 2 (37Л8) из из з — =11 — 11=1 + —,+иР 2 (37.19) Таким образом, при сравнительно небольших значениях скорости набегающего потока и„т. е. при небольших давлениях р„ ударное торможение хотя и сопровождается повышением энтропии, но приводит к ббльшим давлениям торможения, чем изэнтропическое.
При стационарном истечении газа, сипатого ударной волной, в пространство с начальным давлением р, скорость истечения определится соотношением 326 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 1гл. ч1 в камере, то ~й 1) ~1 + 4 й + 4 й 1' 1 + (й 4,) ~ . (37.22) Отношение давлений при любых аначениях й ~ 1 также больше единицы. Например, при й = 1 р,/р„= (3 + у'5)(2 у'е = 1,6. С увеличением й величина р,/р также увеличивается. То же явление может иметь место и при нестационарном истечении. Полученные выводы, каки в предыдущем примере, относятся только к сравнительно небольшой части газа. $ 38.
Акустическая теория ударных волн ах /Ре — Р— =П„=и,+ч,ег аФ ч1 — че из= и1+ У(рз р~)(чг че) =иг+ 2 Фт и1)' (38.1) Š— Е =Р'+ш(ч — ч) Е Для простой волны сжатия, на основании равенств (8.13), (8.14) и (1.1), имеем Р~ ' дх — „, = и, + с,; и, = и, — ~ ')' — Ир сЬ; Р1 Е= — ~рг. р Поскольку для ударной волны и простой волны сжатия разложение в ряд в окрестности точки (р,, ч,) приводит к выражению р,— р, Рдр 4 др — — — + — — Ьч), ю чх (дч 2 дче Мы видели, что для слабых ударных волн, т. е.
при небольшой амплитуде, энтропия среды при переходе через фронт ударной волны меняется мало. В атом случае закономерности распространения ударной волны можно рассматривать в акустическом прибли ении, т. е. рассматривать ударную волну как волну сжатия, имеющую разрыв на фронте, но пренебрегать при этом изменением энтропии среды при ее переходе через фронт волны. Пусть слабая ударная волна распространяется по стационарно движущейся среде, что позволяет рассматривать ее как простую волну сжатия. Выпишем основные уравнения для ударной волны и простой волны сжатия.
Для ударной волны мы имеем формулы (30.5) — (30.7) 1 111 АКУСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 327 а величины др/ду и двр/дт выражаются так: Лс 1 двр 1 " ' Аи г дс гв 1 2 див сг 1 то сввьт Рг = иг + ~/с сг — + с>Лс; далее, так как .+с>Лу/у> = Ли = и, — и,; Лс = с, — с„то сс + Ли ~ Лс + . / 1+ и>а сс — (ив~с>) Св 2 (38.3) Ввиду малости величин Ли и Лс ив ~ св — (и1 ~с1) и1~с1+ ив+ св (38 4) Р„= и,-+ с>т 2 При этом на фронте ударной волны должно выполняться второе уравнение (38.2).
Так как у' — Ыр сЬ = — (с/р/йр) свр (1/р') др = = с/р ввр, то этому уравнению можно придать вид иг = и, + ~ с — . ЫР (38.5) Р 1 Здесь знак плюс соответствует волне, бегущей направо, и знак минус — волне, бегущей налево. Заметим, что разложение величины Рт и с(х/с>1 = и + с по степеням Лр или Лт совпадает до членов первого порядка малости включительно, поскольку такова точность разложения величины с или с' = — (Лр/Лт) св = = [с', + сгЛр/рв + сгЛс). Члены порядка (Лр)' и высших порядков уже зависят от энтропии, так как величина с' представляет собой отношение двух величин: Лр и Лр. Таким образом, скорость движения фронта слабой ударной волны определяется полусуммой скоростей распространения состояний среды у основания и у вершины ударной волны.
Это обстоятельство позволяет провести геометрическую интерпретацию определения скорости фронта слабой ударной волны. Пусть ударная волна в некоторый момент времени имеет однозначное распределение параметров за фронтом. Тогда (рис. 42, а) в последующие моменты времени благодаря тому, что различные состояния в волне движутся с различными скоростями, вершина ударной волны продвинется дальше ее основания и распределение параметров в ударной волне станет многозначным (трехзначным) (рис. 42, в, промежуточная стадия дана на рис. 42, б).
328 элементАРнАя теОРия удАРных волн (гл уг Величина интеграла равна (и+ с)ди. И! — й» = ах й Поскольку в простой волне й = с«)и, то И (и+ с)йи=, + «» — «„ 2 ж Мы изображаем профиль волны в координатах и, х, откладывая и по оси ординат. Для ликвидации этой многозначности решения необходимо срезать волну таким обрааом, чтобы площади, ограниченные кривой и =- и (х) и прямой, определяющей положение фронта ударной волны, лежащие справа и слева от этой прямой, были бы равны (рис. 42, в) а/ Докажем это утверждение.
Разность этих площадей моп«но выразить интегралом 1 х~ $ = 1 (х — х,) ди, (38.6) 4 ю ! где х, определяет положение фронта ударной волны (положение пря мой, «срезывающей» ударную волну), а х определяет положение и заданного состояния и + с. Вы- ! числим производную от в~ М х — ~ = ~ ( — — — — *») «(и, (38.7) l х~ » здесь «)х«~й = Р»; дх/й = и + с. Докажем, что величина д$/й = О, Ркс, 42. т. е. что $ = сопз«, тем самым, поскольку в момент образования многозначности ~ = О, мы докажем, что и всегда величина з = О, а следовательно, докажем наше предположение о равенстве левой и правой площадей на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
