К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Таким образом, адиабата Гюгонио для продуктов реакции обладает теми же свойствами, что и обычная ударная адиабата Гюгонио. Существование одной такой точки на адиабате, в которой касательная к адиабате пересекает ее в какой-либо другой точке, приведет к тому, что величина производной ор/оч, взятая вдоль адиабаты, доля~на принимать экстремальные значения, т.
е. по крайней мере в одной точке адиабаты должно быть дар/доз = О, при этом всегда должны найтись такие участки кривой, где дар/дчэ ( О, что противоречит нашему основному условию положительности этой второй проиаводной. Кроме того, подобное существование нижней точки касания будет противоречить для верхней' части кривой условию рз — ~- со при ч, ~~ О. Для нижней части кривой существование точки, где д'р(дч' = О, не будет противоречить условиям (39.9), но противоречие со знаком второй производной д'р/дч' останется.
Таким образом, кривая (39.3) не должна иметь точек, в которых д'р/дч' = О, а следовательно, из точки (р„ч,) к ней можно провести всего две касательные. Если мы будем рассматривать среду с д'р/дч' ~ О, то между точками, где д'р/дчз ) О, и точкой на адиабате, из которой мы условились проводить касательные, найдутся области на адиабате, где д'р(дч') О, что также показывает на невозможность существования точек, где д'р/дч' = О. Итак, для любой среды, если для нее сРр/дч'+ О, адиабата Гюгонио для продуктов реакции не имеет точек, к которым можно провести касательные из других точек адиабаты. Только в тех случаях, когда вторая производная озр/дч' может менять знак при различных р и ч, на адиабате возможны такие точки.
Теперь покажем, какие режимы течения среды могут иметь место для различных участков адиабаты (39.3). Разобьем адиабату на участки (рис. 43). Обозначив точки касания — верхнюю буквой Д, нижнюю буквой Г и точки пересечения с адиабатой прямых линий ч = ч, и р = р, буквами Р и Р, мы разобьем адиабату на пять участков; выше точки Д, между Д и Р, между У и Р, между РиГинижеГ. ОснОВные зАкономерности и уРАВнения 335 Прежде всего очевидно, что на участке Р, Р, поскольку р,) ры ч, ) ч„величины скоростей и, и и„как это видно из формулы (39.2), оказываются мнимыми, и поэтому данный участок мы иа рассмотрения исключаем.
(Ниже мы укажем, что при горении в нестационарно движущейся среде этот участок приобретает реальный физический смысл и описывает определенный нестацио- р парный процесс горения). Мы показали, что линия (39.3) не имеет экстремальных точек, но, несмотря на это, производная дЯаЯЧ, на р различных участках р>гч l кривой (39.3) может » менять знак. и Исследуем зависи- Рис. 43. Ность величины Яз от ч, или от рм Для этой цели сначала рассмотрим величину фэ = 2Т, — др,/дЯ, (ч, — чз). (39.1>) В точке ч, = ч, = ч, р, = р, (ч) при увеличении р„если считать' что др,/дЯ, ) 0 (случаи, когда, дра/дЯЧ ( О или др /дЯ, = 0' мы не будем рассматривать, поскольку они мало интересны)' величина $, также остается больше нуля и обращается в нуль при рз -> оо.
В противном случае, если ~, = 0 при конечном значении величины р„мы на основании (39.3) придем к тому, что др2 р> — р1 д ч> чъ — ч> т. е., как это следует из (39.5), дЯ, = О. Равенство же ЫЯ, = 0 в какой-либо точке оаначает условие касания. Мы показали, что может быть только две точки касания, причем в этих точках 5, + О. В самом деле, считая, что в этих точках и', = О, мы придем к двум условиям: — — 2 = — — (ч — ч,) = — ~ — /(ч — ч ). (39Л2) ар, р, — р,, 4 ар, «ар,~ дм~ чц — ч> ' Тъ драч г ~ сч ~дТь/ Каждое из атих условий определяет совместно с адиабатой (39.3) точку р„ч„в которои Й, = 0 и ЫЯ, = О. В общем случае эти точки не должны совпадать.
Нижняя точка касания этим условиям ааведомо не удовлетворяет, поскольку для Ее чз) чм и в ней должно быть д/дчз (др,/дТ,) . 0 или др,/дЯз( О, 336 [гл. чы ткогия дктонационных волн что противоречит поставленному выше условию дрв!ддв ) О. Для верхней точки касания оба решения совпадут лишь при условии др, р,— р, ар, (39ЛЗ) д»в 2т, аЯ, что приведет к частному виду уравнения состояния, и, следовательно, для произвольного уравнения состояния в точке, где ввЯв!дчв = О, имеем )тв ) О, так как в начальной точке )ув ) О. Из соотношений (39Л2) следует, что д/дЯ(рв — рв)/(чв — чв)) = = дед»в(2Т,~(чв — чв)); вычисляя производные, придем к выражению (дрв~дТв)ч, = 2с,((чв — »,), откуда рв — р, = 2с4(чв — чв) Т. Этому уравнению соответствует такое уравнение состоянию р, — р, = — 2с»о (ч, — ч,), (39Л4) т. е. уравнение типа уравнения Чаплыгина, которое реально не выполняется.
Лишь при этом уравнении состояния величина 5в обращается в нуль одновременно с величиной свЯвlвв»в. Но при этом (двр!дчв)я = О, причем волны сжатия для верхней части адиабаты Гюгонио вообще невозможны. Величина 5в обращается в нуль только при р, — ~ оо. В самом деле, определим из (39.5) величину ч,.
Поскольку 2Т, — — (ч, — чв)1 — = — (чв — ч,) + (р, — р,) = 5в —, (39Л5) ар, 1 дав дрв зов дав ) дчв дч о»в то чв = ч, + (2Тв — 5в): дрв!дЯв. При р, -~.оо величина», дол- жна быть минимальна, поскольку ( — др!дч)з ) 0; так как на ин- тервале рв (ч) ( рв ( оо величина Ов ) О, то ч, = ч,ш;„именно при 5в = О. Итак, применяя равенство (1.12), имеем 2с =ч + — ' в ар, др 2рв вв авш = чв + дрв диев (39.16) др '~д + — '~.
(39ЛУ) В точке ч, = ч„поскольку величина др/дч конечна, имеем двв(дчв ) О; при дч,( 0 должно быть ддв ( О, а при длв ) 0 имеем дд, ) О. Так как в точках касания выполняются соотношения др/дч + (рв — рг)/(чв — ч,) = О; сказ —— О, то в интервале адиа-. При р, ( — ч,) ч;, поскольку — ) О, то всюду 5в) О. Продрв др, дч дЯв следим теперь за производной, выраженной равенством (39.15): ОСНОВНЫЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ И УРАВНЕНИЯ 337 2 22] баты между точками )г и Д при гаге ( 0 имеем г7Я2 ( 0; в интервале адиабаты )Г, Г, так как г/сг) О, ЯЯ2) О.
Докажем, что в точках касания Д и Г величина энтропии экстремальна, т. е. что вторая проиаводная гг"Яг/гсчг не равна нулю. Так как в точках касания мы имеем Ыдг рг — рг Йрг чг — чг — = — + — — =О, дч, 2Тг Ычг 2Тг то гг"гу чг — чг дгрг 1 дрг $ Ырг + + 2Т2 ачг 2Тгачг 2Тг йчг 2 ~ Г др. 12(Т,~. + — ~(Р2 — Р,) + — (ч, — чг)~ — * 2 а Ычг йтг Ыгдг чг — ч, Ы~рг дчг 2Тг дчг 2 2 (39Л8) Так как сррг/ггчг~) О, то в точке Д, где ч ( ч„мы имеем сг"ЯИчг, т.
е. энтропия минимальна, а в точке Г, где ч, ) чг, сггЯ/17чг( О, т. е. энтропия максимальна. Итак, выше точки Д с/Яг/йчг( О, между точками Д и Г ггЯ2/ганча) ) 0 и ниже точки Г с/Я2/с/чг ( О. Так нак чг 52 — * ' = '' "' чг+ — "' ч' = и' — с', (39Л9) йчгчг — чг чг — ч, г дч 2 2 2' а 5, ) О, то выше точки Д и, ( с„между точками Д и )г иг ) с, в точке Д и, = с, между точками Р и Г и, ( с, ниже точки Г и ) с, и, наконец, в точке Г и, = с,. Для того чтобы определить соотношения между скоростью движения среды и скоростью эвука до фронта волны, мы будем считать параметры р, и ч, заданными и варьировать начальные параметры рг, ч,.
Тогда мы, как в $28, придем к соотношению — ~2Т1+ — (ч, — ч,) — = — (ч, — ч,) + (рг — р,). (39.20) дрг 1дд, ар, ад 2 1ачг= дч 1 Испольауя формулы (39.2) и — „= с = — — ч„перепишем это ер 2 "Р 2 дч уравнение в виде чг — ~2Т1+ р'(чг — ч,)1" — ' — "' = р' чг+ р' р' чг= и* — сг. дЯ~ 1 2 Зй.с~ чг — чг дч 1 чг — чг 1 1 к (39,21) поскольку величина (р — рг) + (ч — ч ) г/р /(чг — ч ) .= О, а 6Т2/Ячг не обращается в бесконечность, то 333 [гл.
чц твогия дктонапнонных волн Рассмотрим величину йг = 2Тг+ — (ч, — чз). Знак атой величины ар, аа, ниже точки Р мы определим далее. В точке Г при ч, = чз имеем из формул (39.2) иг = со, и, = оо, следовательно, в этой точке заведомо и, ) см При возрастании давления выше точки г', как мы сейчас покажем, величина и, имеет экстремум, который может быть только минимумом, так как на одном из концов интервала и, = оо.
Определим величину производной с( (й~)Яч,; дифференцируя (39.2), получим йи ч з з И~а —, ~(чг — чз) — + (Рз — Р,)~ . йчи (ч~ — чи)' ~ йчр (39.22) г из = чз ~ — — ) = сз— др~ ~ рз 1 1 дч) зри 1 (39.23) и очевидно, что и, ) с,. Таким образом, всюду выше точки г' иг) сг и сз — ) см ри ю В самом деле, допустив обратное, мы придем к выводу, что выше точки ч' где-то должно быть иг = с„т. е. ЫЯгй(ч, = О, что невозможно. Величина 5, выше точки Д всюду положительна. В точке Р, где р, = рм имеем и, = О, и, = О. Поэтому в точке Р заведомо и, ( с,.
Ниже атой точки величина иг имеет акстремум. Этот экстремум является максимумом величины им поскольку на одном из концов интервала иг = О, и достигается согласно (39.23) в точке касания Г (в этом можно убедиться непосредственно нз рис. 43). В этой точке иг =- сэр,'!р', н, очевидно, иг( с,. Допустив обратное, мы придем к выводу, что ниже точки Р где-то имеем и, = с„ а следовательно, йг = О, поскольку величина 6$г~г) ч, + О; но условия й, = Ои дрд!дчг = (р — р,)/(ч, — чг) являются противоречивыми для произвольного уравнения состояния и могут выполняться одновременно лишь для уравнения (39.14) Рз Р1 = 2осч (чз чг) когда йзрЫчз = О, однако этот случай мы условились не рассмат- ривать.
В точке касания Д вследствие (39.5): Ии,'Яч, = О, и, следовательно, минимум скорости иг достигается в точке касания, в чем можно убедиться и непосредственно из рис. 43, поскольку величина Р' ч1 — чи минимальна именно в точке касания.
В атой точке ОснОВные злконсмеРности и ВРлВнеНня 339 Итак, всюду й! + О, а следовательно, всюду ниже точки Р и! ( с! и схрх/р! ( с,. Для ударной адиабаты выше точки У проиаводная с!Я,/дт! отрицательна, поскольку Ыч! ( О, а с!Я! ) О. Для участка ударной адиабаты ниже точки Р производная !хЯЯР! положительна, поскольку (39.24) дт!)0 и ОЯ!) О. Отсюда следует, что нияхе точки Р величина ф! ( О. При р, = 0 величина тх должна иметь максимальное возможное значение. Так как тх — ух хмх = т! + з — — т! +, (39.25) 2Т! — 5! (О+ Е! — Е!) ар, Р, дЯ! то — 5! = — $! „= — 2Тх+ — (~+ К! — Ех).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
