К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 44
Текст из файла (страница 44)
1. Это условие на основании (32.9) принимает вид с(дФ)~ й —,— ~1 — — ~. й+1 Ра ( Ра1 Ра Р~ ) (32 10) Обозначим величину угла ф при выполнении равенства (32.10) череа арй, тогда при значениях угла ф ) фй рассмотренный выше режим обтекания (с косым или прямым скачком) невозможен, поскольку будет иметь место дозвуковое обтекание угла.
Исследуем область значения угла ар ( фй. Зависимость фд от р,lра дана ниже на рис. 32 (правая кривая). Эта зависимость показывает, что при определенном значении р,(р, угол фй имеет минимальное значение. 2 22] РеГуляРнОе ОтРАЯ(ение костях удАРных ВОлн 283 Исключая из соотношений (32.8) (л 8, придем к новому соот- ношению (+ ( ~д"-'р '(» — ( )~ц р (32.11) (+ Р 2Е ~й (( Ж)2Е ( Соотношение (32.7) при выражении отношения давлений рз!р, через отношение плотностей р2/р, после некоторых преобразований дает (32Л 2) Исключая из соотношений (32.11) и (32Л2) аначение р,/р„придем к кубическому уравнению, определяющему 28 <р: 18 рй8 р — — — 1 ((а Ф+ — —— + 18'2р( —" — й,) (2 + 28'Ф) = О. (32Л3) Прежде чем переходить к анализу этого уравнения, мы можем выяснить ряд важных элементов теории отражения более просто.
Воспользуемся снова вторым соотношением (32.8) и определим из него с(8 О: + с(8~~й с180 = (1 — — ) с(зф (32.14) далее иа соотношения (32.9) определяем с(цз 2Р = Р' ~ — ~(й + 1) — (й — 1) Р' 1 — Р' ~ (32.15) )Р ~(й+ 1) — — (й — 1) ~+ 2 ( — — ()) а( Р' -(~ ~8~(й+() — ' и значение сйдф подставляем в соотношение (32Л5); при этом соотношение (32Л5) принимает вид 284 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН игл. Ух ' = '="(",+" с К о=по= э(РО т)в (32Л7) где 27~ — „, Р,+1~ + (18:РО+1) ( + РО+1) М х (РΠ— 1) — ( —,, Р, +1) (Р, — 1), 64(Р— 1)' ( —,Р +1~ ( —,Р, +1), 2($ +~ ) к Ф1 (э+ц ~ — ') — (ь — т) (32Л8) С.другой стороны, на основании формулы (32Л6) та же связь может быть выражена так: 1~ — ""'Ф-1) + 1 +1 — '- М' ( —," — )Т+'~ — '- )+ ~Р- 1 Преобразуя уравнение (32.19) и обозначив величину (р„/р,), — 1 через хв, придем к кубическому уравнению 1+1 2 в ОГ 2 Я+ т 121 РОЙОхО+ хО ЙО(РΠ— 1) з РО+ 1 — 2хоРО ~ — Ро + 1) — Ро = О.
При й = 7/5 это уравнение принимает вид ЗОРосв,'хо + 4 (25а~ (Ро — 1) — (6РО+ 5)2)— — 10РОхо(6РО+5) — 25РО = О. Воспользуемся теперь формулой (31.35), определяющей и = = сГ8 0 = с$0 00 = /, (Р), т. е. предельный угол поворота потока, при котором меняется режим обтекания, когда косая ударная волна перестает существовать, т.
е. отражение перестает быть регулярным'и образуется отстоящая от тела криволинейная ударная волна с прямым фронтом на оси симметрии (рис. 21). Сравнивая оба выражения, определяющие с18 0 = с18 0„ мы в результате придем к соотношению, определяющему предельную зависимость между р,/р, и Р при ивменении режима отражения. Поскольку само значение Р зависит от р,/р, и стй вр, то в результате мы найдем предельную связь между (р,/рв)„врв и 0„ а также, используя формулу (31.23), найдем предельную связь этих параметров с углом ~рв. Связь между (р,/р,)0 и РО определяется, с одной стороны, формулой (31.35) $ 221 РеГуляРКОе ОГРАжение косых удАРных волн 285 Решение уравнения (32.19) проще всего осуществить следующим образом: дадим ха (для й = 7/5) определенное значение х, = х„ в интервале 0 ( хм ( 5, тогда уравнение (32.19) примет вид ( а+1 Ро 2 (32;20) ( 2 50 и+5~ ) .
Нанесем на график, по осям которого отложены: по оси ординат с4, а по оси абсцисс р„две кривые: кривую 7, выражаемую з ш м гп гю гп,з, сх,' Ркс. 30. уравнением (32 17), и кривую П, выражаемую уравнением (32.20); тогда точка пересечения кривых дает значения Ц и а~ соответствующие данному значению хж — — ( — — 1~ .Эти кривыеизобра/ Р1 (Ра м жены на рис. 30.
Из соотношения (32.16) 286 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДА1'НЫХ ВОЛН 1гл. У| которое теперь напишем в виде ОПрЕдЕЛяЕМ даЛЕЕ ВЕЛИЧИНУ За = С1я фа. ЗНая ВЕЛИЧИНУ р„ ПО формуле (31.38) определяем величину уа. Значения ра = 1я в зависимости от О, приводим графически на рис. 31. Далее определяется отношение (р,/р,), как функция фа. Зависимость фа от (р,/р,),а дана на рис. 32 (левая кривая), при ф ) фа регулярное отражение невозможно. Перейдем теперь к выяснению О пределов изменения угла О. Из второго уравнения (32.8) имеем ш — + с1иа Ф Ра с180 = ( 1 — — ) с1з т Р1! Оа и — 1 /с )а а'+1 —.— + ( — ) + — сса' 1Р в Жг 2 Рис. 31. ~1 — ~ф) ]оси е Величина р = р, в данном случае равна .=(:,=.
О,= аа / аа з~и2 Ф (32.22) (32.23) Укажем условие, при котором величина угла 0 достигает максимального значения; вычисления покааывают, что максимальное значение гя О равно 1л 9 „= (р, — р,)/2угр,р, и достигается при г 18ф = ~/ — ". (32.24) Ра Абсолютный максимум величины угла О достигается при р,/р, = = (/с + 1)/(й — 1), т. е. для предельно сильной волны. При этом величина р, определяемая выражением Р = 2 (р, + р1)/((й + 1) р1— — (Й вЂ” 1) р,) равна единице.
Как мы уже указывали, при углах ф > фь для данного отношения р,/ра угол Р ( 1, а следовательно, сверхзвуковое обтекание второго угла О уже невозможно. (При этом О (О „,.)' Определим экстремальное (минимальное) значение угла ф„ = = ф 1, и отношение р,/ра для р =: 1. Поскольку из формулы (32 10) имеем ОСА'ф РА —,~1 — ~ Р') ] ~ — ""), (32.25) гнгглягнои отгяжиние косых удавных волн 287 з зз1 то (32.26) — =2, откуда с18фгш~с = (й+ т)/8, например, при й = 7/5 этот уголравен1ег ш = 61'20' (рис.
32, правая кривая). При (р,/о,)„= т угол з = а.пр.е~~|„=- я — од~.~1~,~,з, — гк щггт~, при й = 7/5 ф, = 67'50'. ~В./ /азз К=у~/ вв ю'р Рис. 32. Резюмируя полученные результаты, можно сформулировать следующие утверждения: 1) Регулярное отражение возможно лишь в области (А) значений величин р,/р„ф (рис. 32). Справа эта область ограничена кривой ф = ~рг. Регулярное отражение косой ударной волны соответствует такому (регулярному) обтеканию острого угла сверхзвуковым потоком, при котором фронт отраженной ударной волны начинается от вершины угла О. Такое обтекание, как известно, возможно, если обтекаемый угол не превосходит известной величины 2) Сверхзвуковое нерегулярное отражение имеет место при значении величин р,/р„ф, соответствующих области (Б), ограниченной справа и слева кривыми ф = ~р„ф = фю Этот режим обтекания аналогичен такому обтеканию острого угла сверхавуковым потоком, когда фронт отраженной ударной волны становится криволинейным и отходит от вершины угла.
Это обтекание имеет место тогда, когда обтекаемый угол превосходит некоторое предельное значение, при котором еще воаможно регулярное обтекание. 3) В случае, когда значения величин р,/р„ф соответствуют области (В), ограниченной слева кривой ф = фю имеет место дозвуковое нерегулярное отражение. 288 злементАРнАя теоРия удАРных ВОлн !Гл. у1 Задача об отражении косой ударной волны решена полностью только для области регулярного отражения. 70 55 50 и' ж 55 ю зп 5п'в Рис.
33. Перейдем к анализу основных результатов и составлению схемы расчета параметров отраженной косой ударной волны при регулярном отражении. Для расчета этих параметров мы имеем две системы формул: одну для зоны косого регулярного отражения и другую для зоны прямого нерегулярного отражения сверхзвукового и дозвукового. $ 32) РеГУлЯРнОе ОтРАжение косых УдАРных волн 2Ь9 Выпишем первую систему формул; пусть даны р,/рс и ф Определяем 0 и () = д',/с,в (дЕ = "ф(Р',Р ), (32.27) »+Р.ск'ф ' 2 [рс + рв сскв 'т! (32.28) (А+1) Р Р. — (А — 1) Р,' Далее, определяем угол ф иэ уравнения (п~ф ~ —, () + 1] — 1д~ фс(96 (() — 1) -)- (кф ( —, + 1) г. + с(ЕО = О. (32.29) Для определения угла ф удобно польэоваться номограммой, изображенной на рис.
33, построенной для эначения /с = 1,4. Для данного отношения рд/р, существует предельный угол данное решение не имеет места при ф) фв. Свяэь между р,/р, и фь дана на рис. 32 (правая кривая; при переходе череэ ф = ф „угол ф воэрастает скачком). Далее определяем давление на фронте отраженной ударной волны, что соответствует давлению на стенке в момент прихода ударной волны и в последующие моменты времени: Рв =Р, + + (()э(пвф — 1) = Р, ~ + ()в1п ф — + ~. (32.30) Далее определяем ("+1)"'+(~ 1)Р' ( + )))~'~ ф вф 132 '1 р1 (а — 1) Рв+(а+1) /э (/с — 1) дв)ввф+ э Фе(ф — 8) ( .3) 2 )в (3в!и ф — 1)(Цвв)оси+1) 32 321 '(/с+1/ Ев(ввф (' '') или сов ф сов (ф — 0) (32.33) Скорость в абсолютной (неподвижной) системе координат будет В~ Чз = —; Чв.
(32.34) Таким обраэом, мы определили все необходимые параметры косой отраженной ударной волны. В качестве контроля определим давление при отран~ении прямой волны, полагая для этой цели в написанных выше формулах 290 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН (ГЛ. УЭ ф = О. Тогда О/ф = 1 — р,/р,; р = 2р',/[(й + 1) р,р, — (й — 1) р',] ф'; 2рэфз/ф' [(й + 1) рэр.
— (й — 1) р'!— — ф (й + 1) р (р — р )/Фр [(й + 1) р — (й 1) р !. Отсюда ф/э[» = [(й + 1) Р, — (й — 1) Р,]/2Р, =- (й + 1)/2 — (й — 1) Рд/2Р,. Далее, поскольку р,Б', = 2йр,р,/[р, (й+ 1) — р, (й — 1)], то р, = р, [й (й + 1) р, — й (й — 1) р, — (й — 1) р,]/р, (й + 1) = = рэ [йрэ — (эд (й — 1)]/(эд,' Отсюда (р» — рэ)/рэ = й ((ээ — (эд)/(э» = 2й (р, — р,)/[(й — 1) рэ -(- (й + 1) р,! и р, (за — 1) р,— (з — 1) р. р (а — О р + (А+ О р, ' Мы пришли к формуле, выведенной выше. В случае слабой волны из (32.35) будем иметь (32.35) (32 30) р, — р, =- 2 (р, — р,). ДлЯ слабой волны пРи любом Угле паДениЯ ЛР».= 2/эР„исклюочая случай ф = л/2 (волна скользит вдоль поверхности).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
