К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Значение рз/р2 заметным образом зависит от интенсивности ударной волны, так как при сильном сжатии газа в ударной волне существенно возрастает и его температура, а величина 122 соответственно уменьшается. Так, вычисления с использованием уточненных формул и уравнения состояния идеального газа показывают, что в случае воздуха при р2!Р1 = — 3000 за ударным фронтом достигается температура Т, = 38 000' абс.
Однако при таких значительных температурах получают сильное развитие процессы диссоциации и ионизации газа, связанные с поглощением энергии, благодаря чему изменяется энергетический баланс, а действительная температура газа за ударным фронтом окажется заметно ниже, чем при классических методах расчета (для указанного выше примера — около 202~о). При столь высоких температурах диссоциация и ионизация газа весьма значительна, и вследствие этого число частиц в нем существенно возрастает, а плотность газа соответственно падает.
Поэтому при весьма больших давлениях плотность р, стремится к меньшему пределу, чем (122 + 1)р! (122 — 1), но, однако, при этом уменьшается величина 122 и р, становится больше, чем дает формула (29.6). Подробные вычисления, проведенные Буркхардтом и Дэвисом, показали, что в случае воздуха при рзр, > 3000 значение р !р, мало меняется и приблизительно равно 10, скорость же ударной волны и давление р„напротив, мало зависят от величины йю и результаты классических расчетов значений этих параметров близки к результатам уточненных вычислений указанных выше авторов. Напишем теперь снова основные соотношения, которые имеют место для ударного перехода (см. (28.1), (28.2) и (28.4)1: ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ.
УД как функции величины начальной нормальной компоненты скорости среды ид (в случае плоской ударной волны нужно задать просто начальную скорость,| которая и равна величине и,). Исключая из первого уравнения (29.7) величину у„ мы придем сначала к такому уравнению: а,— 1 ьд — 1 222 (рд — Рд ) рд — Рд— /,— 1 а,— 1 (/сд + 1) р, + ()сд — 1) р, = 22 — 22 = 2р,ид Рд — Рд (29.8) (ааметим здесь, что величина )сд ) йм поскольку тд ) тд). Отсюда 2рсид 7 [с сд '[ 2 Д В+1~ А. „2) ид .2 д ид д 1 + 2 ([с + 1) ([сд — [с ) [сд ([сд — 1) 1 — Ф д (29.9 Обозначим половину величины в последних круглых скобках через сд.
Тогда выражение (29.9) напишется в виде 2рдид С' [с сд '[ р, — р, = — '1 — — — '(1+ й). [с +1[ [с 2/ ид (29 10) При й -и )сд сд -~ О, при ид -и оо (т. е. для сильных ударных волн) также сд — О. Поэтому величина 2 (ад + 1) ([22 — [сд) сд а 1 (Ьд — 1) ([сдидд — йдсд)2 2 дид сд (29.11) вообще говоря, всегда мала по сравнению с единицей, и, следовательно, величину Л можно представить в виде сд = 1/2 (1 -(- -р а[2 — 1) = а/4, а величину р, — р, — в виде рд — рд = = 2Рйд[()сд + 1) + Ьд, гДе величина сдд = (и', (йд — 722)Рдсд)) [(()сд — 1) ()сдид ~— й,с',)) всегда мала в сравнении с величиной 2р, (й,и', — йдсд)йд ()22 + 1). Итак, для определения величины р, — рд можно воспользоваться приближенным выражением 291 удАРные Волны для иээнтРоппческддх сРед 255 Поскольку на основании (27.11) Рг Рд = Рдид — Ргйг =, Рдид (ид — иг) = Рдидиг, (29.12) то 2ц д' й Сг сд Л ич — — и, — иг = — 1 — — — —.
= 2, + 1 1 а, цг ) Р,., цд (29Л 3) Далее, посколькУ (чд — чгс)чд = (Рг — Рд)сРди„то 2 /сг+ 1) Дсд ц2 1 цг д д 2рдм 2ид Рг — Р, = — О+(гд; ид = и, — иг = — О+(дг, ад+1 ' ЛЯ+1 (29Л5) ч — ч = — О+рг, 2чд д 2 ьи+1 где В= 1 — 1*4 . (29.16) Если пренебречь для не очень сильных волн изменением величины й, то, полагая й, = й, = й, мы значительно упростим эти соотношения. Величины рд, 52 и (12 соответственно равны: (12 —— 2рдид~Одд/(йг+ 1), рг = Л27рдид, рг = чдЬ27рди~~; так как при й,=й,=й имеем А=О, 52=0, то ()д=рг=р2=0 и соотношения (29Л5) напишутся так: 2рдцг р,— р,= — „',О,; (29.17) 2ид 2чд ,— и, = Е,; ч,—,= — 9„ =й,+1 ь,+1 где сг О =1 — — ' 9— „2 д (29.18) Для достаточно сильных ударных волн, когда можно пренебречь величиной р, по сравнению с величиной р.„отношение сд/ид мало, Рассматривая соотношения (29ЛО), (29.13) и (29.14), мы виднм, что все они имедот одинаковую структуру.
Выпишем все эти формулы вместе в таком виде: 256 элгмвнтАРнАя твОРия удАРных волн 1гл. У1 Оа = 1, и соотношения (29.17) примут вид 2раи а Ра= ~,+1 ' р, т, за+1 ра аа Йа — 1 (29.19) 2иа и — и =и 1 В том случае, когда величина к = )га = йа стремится к единице, соотношения (29.15) принимают вид ра — р, = риааО; иа — иа = ит = иаО;, уа — уа = уаОа. (29.20) Дополним выведенные нами соотношения выражением, определяющим температуру на фронте ударной волны для идеального газа.
Так как ру = 11 Т, то, выражая отношение ра!Ра по формуле (29.3), получим йа + 1 Ра — — +1 та Р,р, ра,=1р+ Та Р, р, ра А,+1 ра Аа — 1+ Ра (29.21) где Т, = Ра/Лра. Для сильной ударной волны по формуле (29.6) температура на фронте ее определяется соотношением т,„аа+1 р, Та А,— 1 Ра (29.22) Когда происходит обычный (медленный) адиабатический процесс сжатия газа, то и температура и плотность растут с увеличением давления: Т вЂ” с' р<а-ап', р рна. При внезапном ударном сжатии газа, как мы показали (исключая случай к = 1), даже при бесконечно сильной ударной волне плотность яа ее фронте стремится к конечному, вполне определенному пределу, возрастая примерно в десять раз по сравнению со своим начальным значением (для одноатомного газа, к которому стремится любой газ при высоких температурах и давлениях).
Вследствие этого рост температуры при ударном сжатии газа более значителен, чем при обычном сжатии. Найдем связь между температурой Т,„ударного и температурой Т„обычного адиабатического процесса сжатия газа. Поскольку з-а $29! УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ДЛЯ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ СРЕД 257 то (29.23) При р, — оэ это соотношение принимает вид 1 (29.24) 9 91 р11р,) р, ) а-(-~ р, (29.25) где о, = р1/р, характеризует энтропию газа перед фронтом удар- ной волны. При (29.26) Так как в окрестностях точки (р„уг) о, -1-О„то ударная волна переходит в обычную звуковую волну. Выведем основные соотношения для звуковой волны, считая, что Лр = р, — р, — ~0, Л» = уэ — у1 -+-О, Ли = и, — и, -+ 0; тогда первая и третья формулы (29.7) дают соответственно 11Р ди= 9~ сМ (29.27) 9 ир и, = — у — = с,. ау (29.28) Уравнение энергии, поскольку с(о = О, сводится к виду с(Е = = — р с)у, что в случае идеального газа дает адиабату Пуассона руэ = о.
(29.29) Поэтому йР 9 АР1 Ли=с1 —, с,=— Р1 Р1 (29.30) Напишем теперь основные формулы, позволяющие оценить изменение энтропии на фронте ударной волны. Поскольку р = = ор», то, используя (29.23) при к1 = 199 = к, найдем 258 ЗЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [Гл. ш В заключение выведем еще одно полезное соотношение для ударных волн. Исходя из условия 12 С2 — И 1=, уз= и2+Р2+и22 2 й — 1' 2 будем иметь следующее выражение для скорости звука ваторможенного газа за фронтом и перед фронтом ударной волны: 2 2 й — 1 2 й — 1 2 й — 1 2 ст = с, +, 91= с, + — и,+ —,, (Р1+и21).
(29.31) Выразим величину с, через плотности и давления р„р,; р„р,. Соответствующее выражение будет иметь вид (29.32) 2 2 Поскольку критическая скорость звука с'„= — с, то для й+1 критической скорости мы будем иметь выражение С„= — + — (Р1 + 2С1). 2 р2 р2 й 1 2 2 Р2 — Р2 й+ 1 (29.33) Отсюда мы видим, что критическая скорость не меняется при переходе через скачок.
Поскольку произведение скоростей на основании (29.7) моя1ет быть вырая1ено так игиз = Р2 Р2' (29.34) то мы приходим к соотношению 2 й — 1 с„= и,и + — (Р1 + и21). й+1 (29.35) В зто выражение входят только величины скоростей; в случае плоской ударной волны, поскольку Р1 = 2сг = О, зто соотношение принимает еще более простой вид: с„' = иги,. $ 30. Плоская ударная волна Для того чтобы связать более тесно теорию ударных волн и простых волн сжатия, мы вдесь рассмотрим также вопрос об отражении ударной волны от стенки и заново дадим вывод основных соотношений для плоской стационарной ударной волны.
йр,, й — 1р,р,— р, с,— 2 Р2 Р2 — Р2 й + 1 й — 1 2 2 2 (2+ р2 — р2+ й — 1 ( 2+ 2) Р2 — Р2 ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА з мн 259 Пусть в цилиндре сечением, равным единице, наполненном какой-либо средой, распространяется плоский скачок давления. Для определенности положим, что он движется слева направо, и условимся скорости движения слева направо считать положительными. Скачок давления может быть образован при внезапном толчке и последующем равномерном движении поршня. В в — л м— -Я1-и~а/ -Ы-им/ Ю В Ю Рейв гЫ,бает ~1Р1 Рвс. 16. Невозмущенное состояние среды справа от скачка давления характеризуется величинами р,, р„и,. За фронтом скачка будем иметь параметры р,, р., и,. Скорость перемещения скачка (фронта ударной волны) обозначим через Р (рис.
16). Напишем снова законы сохранения массы, импульса и энергии, причем рассмотрим систему координат, которая движется вместе с фронтом скачка. В этой системе граница АВ (рис. 16) между невозмущенным и возмущенным состояниями среды останется неподвижной, а вся среда будет двигаться справа налево со скоростью Р, на которую накладывается собственная скорость частиц газа. Невозмущенная среда справа от фронта волны (АВ) будет двигаться налево со скоростью Р— и„а сжатая волной среда слева от фронта — также налево со скоростью Р— и,. Через единицу времени частицы газа, которые заключались в объеме Р— им займут объем Р— и„так как правая граница рассматриваемого объема ааймет положение АВ, а левая его граница, пройдя расстояние Р— и„переместится в положение СтР,.
Очевидно, масса газа, заключавшаяся первоначально в объеме Р— и, при плотности ры равна массе, которая будет занимать объем Р— иа с плотностью р, т. е. рг (Р— и1) = р. (Р— и,) =!. (30.1) Рассматриваемая масса есть масса, проходящая через сечение, равное единице, за одну секунду, т, е. так называемый 260 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 1гл, уд секундный расход массы. Уравнение (30.1) представляет собой выражение закона сохранения массы.
Выведем теперь закон сохранения количества движения. Воспользуемся уравнением (30.2) где Š— сила, ~ — время ее действия, Ми — количество движения, приобретенное рассматриваемым телом. В нашем случае силой, действующей на газ, надо считать перепад давления рд — р,. Время, в течение которого она действует, положим равным одной секунде. Скорость, которую приобретает газ, есть и, — и,. Масса рассматриваемого объема газа, как мы видели, равна р (Р— и,). Тогда теорема об изменении количества движения выразится равенством рд — рд = рд (Р— ид) (и, — ид). (30.3) 1 (рдид — рдид) рд ()) — и ) Тогда общий баланс энергии напишется в виде идд 1 ид Ед+ е +(Раид — р~и) г) — — Е,+ ~ . (30.4) Займемся преобразованием выведенных соотношений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
