К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 36
Текст из файла (страница 36)
= (и + с) ~ — — — —, . (26.20) а)' 2а з 2х' Графическое изображение и = и (х), с =- с (х) для заданного момента времени дано на рис. 12. В случае уравнения адиабаты р = аар» имеем с=с,+ . и, (26.21) й+ $ ~ ис» йи» х= с+ —,и1 — — ' — —, ~ » 2 ) (26.22) пересечения характеристик абсурдно, поскольку это решение становится многозначным: одной и той же координате будут соответствовать обычно три значения скорости газа и других параметров состояния газа. Рассмотрим теперь некоторые примеры, имеющие принципиальное значение для понимания описанных процессов.
1. Пусть, например, поршень движется с постоянным ускорением д, тогда ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 229 Для нахождения огибающей на основании (26.7) и (26.21) будем иметь 2 (с, + ли), (26.23) откуда ~с~ + 7ссаи + 4 и~~ . (26.24) Исключая из последнего выражения и, придем непосредственно к уравнению огибающей х = с„2+ 24 ) —,Ф вЂ” са) = саГ+ — . (26.25) г й-(-1 1з Ьи' когда и = О, т.
е. на характеристике х = с,~ место образования ударной волны определяется отсюда как (ь + г) д Заметим, что для этого примера вторая производная не равна нулю: д'х!ди' = — Ы2, что означает одностороннюю Ркс. 13. кривизну линии и = и (х). П. Рассмотрим теперь другой интересный пример, когда все прямые характеристики пересекаются в одной точке (хю 4), т. е. мы имеем дело с центрированной волной сх<атия (рис. 13). Зададимся местом и временем образования ударной волны, т. е. точкой пересечения всех характеристик в плоскости (х, г).
Пусть это будет точка (х„2,). Очевидно, что хр — — с,г„поскольку первая элементарная ударная волна распространяется в невозмущенном газе. До наступления сильного разрыва мы вправе воспользоваться особым решением, которое, как мы уже указывали; является Отсюда очевидно, что минимальное время образования ударной волны есть Гх гав г = „ ", , (26.26) (а+4) х 230 одномеРные иаэнтРопические движения сРеды сгл. ч уравнением характеристик 2 и= — (с — с) =Ь вЂ” 1 о о х = (и+ с) с + Р(и).
(26.28) Напишем уравнение характеристик в плоскости (х, с), проходящих через точку (х„ сс): х — хо Со+1 — =и+с=с„+ —,и. с — со о (26.29) Таким обРазом, Р (и) = хо — (и + с) со. ЗаменЯЯ и чеРеа с(хсссС для поршня, получим уравнение сг (х — хо) 2 /х — хо — с,) с)Π— и) = а+1 ' с — с.
Решая это линейное дифференциальное уравнение, получим 2 г 2с х — хо= (С вЂ” 1)2+с ~А — ' 1(1 — со) "+' с1(1 — со)~ = Сс — 1 ) =А(с — со)'+' — а 1 с,(с — 12). Константа А определится иа начальных условий прн с = О, х = 0: 2 *о=А( С+)+ о 1саго Вставляя в последнее равенство х, = с,с, можно выразить иа него постоянную А. Вставляя полученное аначение А в общий интеграл, выразим закон движения поршня 2 — С 2 х = хо+ —,~=1 с,(Со — С) —, + с,С,'+' (Со — С) о+с. (26.30) и = ио е)посс, где и, — конечная величина, оо — частота колебаний.
Таким образом, мы будем рассматривать колебания конечной амплитуды, а не весьма малой, как вто обычно считают в еадачах акустики. При этом поршень должен испытывать ваданные 1П. Рассмотрим теперь аадачу о распространении колебаний газа в бесконечно длинной трубе перед периодически колеблющимся поршнем. В качестве несколько идеализированного примера допустим, что в сечении х =- 0 скорость газа колеблется по закону Восгны сжАтия ОднОГО нАНРАвлвння 23( 1 261 колебания в окрестностях сечения х = О, с той же частотой со. Очевидно, что ати колебания будут распространяться в газе в виде бегущей волны одного направления (бегущей слева напра- во), описываемой римановским решением: х = (и + с) 1+ Р (и), 2 и = — „(с — с„).
= а — 1 (26.32) Произвольная функция в первом уравнении (26.3() определится из граничного условия, согласно которому при х = О (26.32) и = / (1) = ио 21пс61. В данном случае 1 =- ~р (и) = 1/с» агсзш и/и„и для Р (и) согласно первому уравнению (26.31) получим 1 .
и Р (и) = — (и+ с) — агсзйп —. оо ио Решение можно записать следующим образом: 1 . и1 х = (и + с) (1 — — агсз!и — ) со ио или в более удобной форме х и = и з1псэ~1— и+с/ (26.33) Мы видим, что при х = О это решение дает и = и, з(псог, что яв- ляется контролем его правильности. Поскольку на поршне Ыхп хп хп ач —,"=и„=и,ипю г — " =и зшю — — 6 с + — и а 2 и с + —. а 2 Нс и = и Мпю(г — — ) с то из решения этого уравнения (в неявном виде) можно определить закон колебания поршня. Уравнение (26.33) описывает бегущую волну произвольной амплитуды. Отсюда как Яастный случай можно получить решение для волны малой амплитуды.
Если смещение частиц очень мало, т. е. величины и и с — с, можно считать малыми (здесь важно, что и есть величина порядка с — с,), то, пренебрегая этими величинами по сравнению с с„ найдем обычное уравнение звуковой волны 232 ОдномеРные изэнтРОпические движения сРеды игл. ъ Полученное нами решение (26.33) для колебаний конечной амплитуды в начальный момент представляет собой гармоническое синусоидальное колебание и отличается от звукового колебания лишь величиной амплитуды. Через некоторое время в результате деформации волна потеряет свою синусоидальную форму, фронт ее, как мы уже указывали, будет становиться все более крутым и волна станет в некоторый момент времени ударной.
Приравнивая нулю производные дх/ди и дох!дио, найдем и 1 г 2 + ~ 1.+1 са+ ~с1 ~ ио рс о Г,~а+1 ° о (26.34) —.~.$рС( " ) ./.2а. Уравнения (26.33) и (26.34) определяют координату и скорость в момент образования ударной волны. В рассматриваемом случае благодаря периодичности колебаний ударные волны начнут образовываться в разные моменты времени в различных местах независимо друг от друга. Рассмотрим задачу о периодических колебаниях поршня. Пусть даны ахи Хд Хо З1П М > Ид а Хд = Юхо СОЯ СО ="= Ио СОЗ Ю си отсюда 1 1 = — агссоз —, х„= х 1 — —, со и о 1 и 1 х = (и + с) (г — — агссоз — ) + хо ~/1 со ио ) (26.35) ио ио В случае малых колебаний (при х, — О) это соотношение переходит в уравнение бегущей звуковой волны х и = и,сов ю (г — — ~ с а Из последних двух примеров можно заключить, что при периодическом движении поршня возникают попеременно волны сжатия и разрежения.
В том случае, когда волна сжатия наталкивается на какое-либо препятствие, например на стенку, при отражении от этого препятствия обязательно возникают ударные волны. При внезапном движении поршня, когда его ускорение бесконечно в момент начала движения, у поршня сразу же возникают ударные волны. ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 233 с 26! 1У. В заключение решим еще одну интересную задачу, связанную с прохождением волны разрежения по движущемуся газу (по волне сжатия), и проиллюстрируем метод решения для показателя изэнтропы /с =- 3. Пусть поршень движется равноускоренно.
В некоторый момент времени 1 = 1о/с, фронт волны сжатия доходит до конца трубы (х = 1о), который в этот момент открывается, и начинается истечение газа; требуется определить движение газа после начала его истечения в пустоту. Движение газа в волне сжатия при й = 3 на основании (26.20) и (26.21) определяется уравнениями х = (и + с) (1 — — ") + —,, и — с = — с„. (26.36) а/ зз' Так как и = (и — с — со)/2, то (3(и+ с) +с ) [и+с — с ] х — (и+ с) ! ' " . (26.37) х х — !о и — с= ! (26. 38) фронт этой волны будет двигаться по волне разрежения по за- кону х — 2о 2о со о с —— сс что следует иа сопряжения волн (26.36) и (26.38), откуда (26.39) х = 21о — с,1. В сечении х = 1, при 1 = 4/с, скорость газа и скорость звука испытывают разрыв.
Для полноты исследования вычислим теперь давления и плотности в простой волне сжатия. При этом будем считать, что в более общем случае волна сжатия распространяется по стационарно движущемуся газу с параметрамн р„р„с„и„где ии — скорость движения газа до его возмущения бегущей волной сжатия. Поскольку в этом случае и = ии + 2 (с — с,)/ (/с — 1), то й — ! с=с,+ (и — ио). 2 (26.40) Поскольку волны и + с и и — с при й = 3 распространяются не- зависимо, то в образующейся при истечении волне разрежения соотношение (26.37) будет сохраняться.
Волна же опишется урав- нением волны сжАтия ОднОГО нАпРАВления 235 последнее уравнение х= х(а, с) (26.45) полностью решает задачу в координатах Лагранжа и определяет траектории частиц газа. Проще решать эту задачу можно, как мы указывали в начале нашего исследования, зная из уравнений, написанных в форме Эйлера, ссх и = — „=и(х, с); с/с решение этого уравнения и определяет х = х (С, а).
Действительно, поскольку / й+ 1 1 иаа йи-" + а) то аа Ли йи с/и аи йй1 й+1 йи — =и= —.и+с + с/с 2 2 с/С ссс г ссс что дает сСС й+1 С а +/си с/и 2 й 1 + / откуда с+с с=А~ г,+и| + й+ где А = сопз1, которая определяется из условия С = О. Отсюда с+с Таким образом, мы получили решения, определяющие траектории лагранжевых частиц в параметрическом виде, причем параметром является и — скорость движения гааа. Изучая простые волны сжатия, мы вплотную подошли к понятию так называемой ударной волны. В следующей главе мы подробно изучим свойства этих волн и основные закономерности их распространения. Необходимость введения ударных волн обусловлена не только физическими требованиями, но и продиктована формально математическими причинами — невозможностью однозначного описания волн сжатия после пересечений их характеристик.
Исторически необходимость введения ударных волн при изучении неустановившихся движений газа, а следовательно, и возможность их существования, была установлена до их экспериментального обнаружения именно благодаря математическим исследованиям Ирншоу и Римана.
ГЛАВА 71 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН 5 27. Общие условия на разрывах Дальнейшее изучение неустановившихся течений какой-либо произвольной среды,и особенно газа, невозмоя1но без рассмотрения ударных волн, которые, как мы показали, могут возникать при распространении волн сжатия. Введение ударных волн сильно расширит класс иаучаемых движений среды.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
