К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Эта волна является простой, так как она граничит со стационарной волной. Правым фронтом новой простой волны является прямолинейная характеристика ВР, левым — криволинейная характеристика ВС. На рис. 11 криволинейная характеристика аагибается назад и пересекается со стенкой. Вьппе указывалось, что это возможно только при 2сзэ ) с„. Если это условие не выполняется, то характеристика ВС может не пересечься со стенкой. Она, в частности, может отклониться вправо, как это показано на чертеже (пунктирная линия ВС ).
Процесс дальнейших отражений на этом не заканчивается. Мы уже указывали, что новая простая волна, возникшая в момент 1в, может отразиться от стенки. Кроме того, правый фронт простой волны в некоторый момент нагонит поршень в точке Р, возникнет новая волна и т. д. На этом мы закончим рассмотрение различных волн разрежения. Решенные адесь задачи имеют важные применения, в частности, во внутренней баллистике. Задачи об истечении плотной среды в пустоту, если среда подчиняется уравнению обобщенной изэнтропы, мы дадим в специальной главе.
$ 25. Основные закономерности нестационарного истечения газа Проанализируем теперь полученные результаты в отношении нестационарного истечения газов в пустоту. Прежде всего отметим, что в случае свободного истечения ранее покоящегося газа в том сечении, откуда начал истекать газ, всегда автоматически $251 3АкОнОмеРнОсти нкстАционАРнОГО исткчения ГА3А 217 устанавливается критическая скорость истечения. Величина этой скорости определяется соотношением 2 1 сн 1+1 и' (25Л) таким образом, поскольку при стационарном истечении крити- ческая скорость равна / 2 их =ск= р — сн г' ь+~ (25.2) то величина критической скорости при нестацнонарном истечении относится к величине критической скорости при стационарном истечении, как )с 2/(й + 1).
Отсюда давление при нестационарном истечении в критическом сечении меньше в (2/(/с + 1)) раз, чем при стационарном. Главной особенностью нестационарного истечения газа является перераспределение плотности энергии по массе истекающего газа. Если до истечения плотность энергии была везде одна и та же и равнялась величине а сн к(к — 1) ' (25.3) то на правом фронте особого решения плотность энергии, рассчи- танная на единицу массы, максимальна и равна нх "шах 2 а, вшах = ° — Сн з (ь — ца (25.4) отсюда З шах 21с н к — 1 ' н (25.5) что, например, для /с = 7/5 дает значение з„а,/з„= 7. Если идти от этого фронта налево, к фронту волны разрежения, то величина е будет монотонно уменьшаться до значения з„. Объемная плотность энергии в волне всегда меньше начальной, которая равна величине рне„. Объемная плотность кинетической энергии е„= ри'/2 при истечении в пустоту на обоих фронтах равна нулю, так как или и, или р равно нулю; следовательно, в волне е„имеет максимальное значение.
Будем искать максимум величины ри'/2. Для этого достаточно найти максимум величины А = ск-ких, поскольку р — ск-'. 218 одпомкэпык изэптгопичвскив движвкия сеиды (гл. ч Обобщим задачу и будем искать максимум величины А = с~ ' и". Так как 2 ( х> 2 ( а — 1 хз и = — (св+ — /, с =- ( ев то, дифференцируя А по г = х/1 и приравнивая полученное выражеиие нулю, имеем скорость распространения максимальной величины ри'": % + ( в (25.6) что дает 2ас„ 2с и= ",, с= ', . (25.7) а(а — 1)+2' а(Ь вЂ” 1)+2 1= ') ис(М, Е = —, ~ и'.ЫМ, (25.8) где и = и (М), ЫМ = р дх. В случае одномерного движения для каждого заданного момента времени 1М = М (х), Е = Е (х), откуда М = М (Е) или Е = Е (М), поэтому соотношение (25.8) можно написать в наиболее общем виде 1 = ~ "у' 2АЕ ЫМ .
о (25.9) Для фиксированного сечения имеем Е = Е (1), М = М (1), и мы Очевидно, что зиачекие а = 1 соответствует распространению плотности импульса, при этом г = (х/1) = О. Значение и = 2 дает скорость распространения максимума плотности энергии, при этом й = (Х/1) = с„/й. Значение а = 3 дает скорость распростраиеиия максимума плотности мощности, при этом = (Х/1) = 4с„/(Зк — 1). Таким образом, мы действительно видим, что скорость отдельных частей потока является функцией массы этих частей. Небольшая масса имеет скорость, значительно превышающую среднюю скорость, соответствующую начальной плотности эиергии е„= св//с(/с — 1); напротив, основная часть массы движется со скоростями меньшими, чем среднлл скорость.
Поскольку и = и (М), то ясно, что при иестациопариом дви>кении величина количества движения (импульса) будет меньше, чем при стационарном движении этой же массы газа М„с тем же запасом энергии Ев. В самом деле, мв мв 220 одномвгныв изэнтгопичкскик движвния сыды [гл. ч температурах сгорания газа (в условиях нарыва и сгорания) и = 1, 2, можно полагать, что ~ = 0,8.
Истечение покоящегося гаэа из сосуда может быть интерпретировано как истечение продуктов реакции камой-либо газовой (или жидкой) системы или конденсированного вэрывчатого вещества в случае мгновенного взрыва или сгорания. Тогда е„= = — (/, где (/ — теплота реакции (сгорания). В реальной задаче труба не простирается (направо) до бесконечности, а обрывается где-то при х = /,. Тогда, как мы энаем иэ э 20, величина импульса, действующего на стенку, будет на 18 — 20аЭ меньше импульса при неограниченно длинной трубе, так как часть внутренней (потенциальной) энергии переходит в кинетическую энергию газа вне трубы. При стационарном истечении и при ограниченной длине трубы будет иметь место аналогичная картина. Грубо говоря, можно положить, что нан при стационарном, так и нестационарном истечении только около одной трети оставшейся внутренней энергии газа в свободном пространстве пойдет на создание осевой составляющей количества движения.
Однако при нестационарном истечении, кроме того, будут происходить перераспределения кинетической энергии по массе газа, и поэтому разница в полном количестве движения по сравнению со стационарным истечением газа будет того же порядка (или несколько меньше), что и при неограниченной длинной трубе. Отметим также, что если комбинировать определенным образом стационарное истечение газа с нестационарным, то предельная скорость истечения будет выше, чем просто при нестационарном истечении.
Пусть, например, сначала покоящийся газ истекает через сопло стационарно, тогда имеем и', = 2(с',— — с,')/(/с — 1). Далее начинается нестационарное истечение, при этом и = и, + 2(сг — с)/(й — 1). Очевидно, величина и = — (с — с) + У (с„— сг) 2   — К вЂ” 1 ° У К вЂ” 1 имеет максимум, если сг = с,', = 2с'/(й + 1); тогда и = — ~~/ — с„— с1 и при истечении в пустоту и = )/(й + 1)/2 им,х, т. е.
предельная воэможная скорость в )/(/с + 1)/2 раэ больше максимальной скорости только нестационарного истечения. ,Итак, иэ изложенного вытекает фундаментальный вывод, что количество движения (или импульс) в случае нестационариого $ м зАконоиеРности нестАционАРного истечениЯ РАЗА 22$ потока при заданных массе и энергии всегда меньше, чем в случае стационарного потока.
Для дополнительной иллюстрации этого положения приведем элементарное рассуждение. Допустим, что мы имеем два тела массы т, и т„движущихся со скоростями и, и и;, их полное количество движения и кинетическая энергия будут соответственно равны а а Х = така+ таиа, Е„= 2 (така+ тапа Если предположить, что мы имеем тело массы т = т, + т„ движущееся со скоростью и = 3~2Е„/(т, + т,), где ń— кинетическая энергия массы та же по величине, что и в первом случае, то количество движения этого тела будет Ха — — тй = ~/ (т,и, + таиа) (та + та) ° Очевидно, что Ха/Х всегда больше единицы. В самом деле, (т,и', + т,иа) (т, + т,) ) (т,и, + тапа)а, поскольку после преобразований мы приходим к очевидному неравенству и', + йа ) 2и,и, или (и, — и,)' ) О.
Попытаемся оценить для ряда случаев, насколько количество движения нестационарного потока отличается от количества движения стационарного потока при заданных массе и энергии. Пусть в случае нестационарного потока р = сопза, а скорости распределяются пропорционально координате х, при этом х,~(х(х„ и = ах для фиксированного момента времени, где а = сопзФ.
Тогда кинетическая энергия стационарного потока равна Мйа Е„= 2 Хрй'(ха — х ) = где й — скорость стационарного потока, Х вЂ” сечение. Количе- ство движения этого потока равно Ха = Хзй (х, — х,) = Мй = )Х'2МЕ,. В случае нестационарного потока по-прежнему М = Хр (х, — х,), но Е„= — Хра' ) х йх = — Маа (ха а+ хах, + х,), а М / Р „ха+ 2хдха + ха Ха = Хра) хйх = — а(ха+ха) = ~ — МХх ха + хаха+ ха 222 одномвгнык изэнтгопнчвскнв движкння сеиды [гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
