К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 29
Текст из файла (страница 29)
е. для большинства газов скорость потока при неустановившемся истечении всегда больше по сравнению. с установившимся. Например, для воздуха (тс = 7/5) скорость неустановившегося истечения примерно в 2,2 раза больше скорости установившегося истечения. $201 ВОЛНА РАЗРЕЖЕНИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 179 Второе условие данной задачи состоит в том, что в начальный момент при снятии стенки значения и и с в этом месте (т. е.
при х = 0) являются неопределенными. Скорость скачком возрастает от нуля до своего предельного значения и = им,„= 2с„!(Сс — 1), а плотность и скорость звука скачком падают до нуля от начальных аначений р = р„, с = с„. Это условие позволяет нам определить произвольную функцию Р (и), входящую в первое уравнение. Можно показать, что эта функция должна тождественно равняться нулю, поскольку движение при С = 0 определено в точке (в сечении) х = О, Действительно, если г" (и) = О, то первое уравнение (20.1) принимает вид (20.6) х = (и — с)С, откуда при С = О, х = — О, и — с = О/О, т.
е. значения и и с являются любыми в указанном интервале согласно условиям задачи. Таким образом, учитывая граничные условия задачи, мы получили решение в виде х и — с= —, с и = — „(са — с). 2 (20.7) х — = — с, н (20.8) т. е. фронт волны разрежения движется справа налево со скоро- стью с, равной местной скорости звука. Соотношение х = — с„с является характеристикой наших уравнений.
Истечение происходит в пустоту, поэтому формально мы будем называть фронтом растекающихся газов те точки, в которых р равно нулю, а др/дх не равно нулю. За этим фронтом мы, очевидно, будем иметь некоторое распределение скорости и плотности, при котором скорость газа всюду положительна, а плотность его не превышает начальной плотности газа в сосуде. Таким образом, во всей области, захваченной возмущением, плотность, а следовательно, и скорость звука будут меньше, чем начальные плотности и скорость звука в сосуде.
Найдем, с какой скоростью движется фронт волны разрежения. Так как фронт волны разрежения в каждый данный момент граничит с областью невозмущенного газа в сосуде, то, очевидно, что на фронте с = с„, и = О. Следовательно, для фронта волны первое уравнение (20.7) дает 180 одномкгнык изэнтгопнчкскик движвния сгкды [гл, ч Этот результат вполне закономерен, так как слабые разрывы, к которым принадлежит и волна разрежения (поскольку в ней скачок испытывают не сами величины, характеризующие состояние, а их производные), вообще распространяются в покоящейся среде с местной авуковой скоростью. Найдем теперь распределение и и с во всей области, по которой прошло возмущение, в зависимости от времени.
Разрешая уравнения (20.7) относительно и и с, мы определим 2 а — 1 х 2 Г и — 1 х с = — с„— с„~1— Ь+1 " /с+1 С й+1 "~ 2 с„г/' и= си(х+ — ). (20.9) Отсюда мы видим, что в каждый данный момент распределение и и с изображается прямыми линиями (рис. 6). Далее мы видим, что в сечении х = 0 всегда 2 — — си1 (20.10) т. е. устанавливается критический режим истечения.
Совершенно ясно, что состояние, при котором и = с, должно оставаться в по- кое, так как скорость распространения этого состояния и — с и данном случае равна нулю. Рис. б. На фронте волны разрежения, как мы видели, ии = О, с = си, фронт волны разрежения движетсясо скоростью — си. На фронте истекающего газа и,„= 2 с„/(к — 1), с = О. Скорость перемещения фронта совпадает со скоростью летящих впереди частиц.
В качестве примера нарисуем график распределения и и с при й = 7!5 (двухатомный газ). 1 211 ОтРАжение ВОлны РА3Режен ия Уравнения (8.9) при й = 7!5 дают (20.11) й 21. Отражение волны разрежения ") Найденное в 9 19 решение будет справедливо до тех пор, пока волна разрежения не дойдет до левой стенки, находящейся на расстоянии 1 от начала координат. Это произойдет в момент времени 1 св (21.1) После этого вовникнет отраженная волна, которая будет распространяться по улсе возмущенному газу, и, следовательно, эта волна должна быть описана общими решениями основных уравнений газовой динамики.
Эти решения, как мы знаем [см. (15.33) и (15.34)[, можно написать в виде е*) д" ~ с'1 [ [г 2 (2г+ 1) с + и[ + г"'с [ У2 [2г + 1) 1 — и[ 1р д)г-т дт 1 = —. д) 2г+ 3 2г+ 1 х = и1 —— дт ди (21.2) г = — 1, О, 1, 2, 3, ..., сю . Для определения двух произвольных функций г', и г'т необходимо знать два каких-либо начальных или граничных условия. Первое условие заключается в том, что на стенке скорость газа при лэобом 1 тождественно равна нулю. Поскольку независимыми переменными являются (и, 1), то зто условие необходимо е) Впервые эта вадача была аналитически исследована Л. Д.
Ландау в 1944 г. [И), [2[, 11 101, 102. еи) Такое представление ~Р удобно при и = 1, 2, ...; при и = 1 или при и = — 1 любые решения, как мы показали ранее, находятся элементарно. Тогда через некоторое время 1 после снятия стенки волна разрежения пройдет влево на расстояние — с„1, передние же частицы газа пролетят расстояние 5с„с, и мы получим картину распределения и и с, показанную на рис. 6. Это движение газа является автомодельным, поскольку все параметры, характеризующие его, являются функциями линейными отношения х71.
182 одномвгныз иээнтгопячзскяс дзяжгння сеиды игл:ч сформулировать так: при х = — / и ьи 0 при пронавольном г>г =— он (21.3) дх —, =и+с. (Й (21.4) Заметим, что для определения и и с мы можем и не анать уравнения этой линии. Очевидно, что вдоль этой характеристики значения и и с, определяемые обоими решениями, не терпят разрыва (сопрягаются непрерывно), терпят разрыв лишь производные ди/дх, дс/дх.
Формулы предыдущего параграфа (20.0) дают и (х, с), с (х, 2) в виде и= с„(1+ — ), с= — „са(1 —, — ) . (21.5) Отсюда дх 4 3 — йх лс = а+1'"+ а+1 с ° (21.6) Интегрируя и помня, что интегральная кривая должна проходить через точку х = — 1, г = //с„, находим (21.7) На этой линии 2 и = — (со — с) а — г (21.8) и, как мы знаем (15.41), о[о = О. 2г+ 3 Выразив й через г, с через о, согласно формулам й = 2г+2 2 с = [с ~й — 1) 1 = р' —, о, второе условие мы можем сформули- 2.+Г ровать так.
На характеристике сопряжения выполняются условия =гид;~ц(г~,— г11 о-о. При этом произвольные функции Рд и г" будут аависеть от аргу- ментов Р, = Р,[)/2 (2г + 1)га, Р, = Р, [)/2 (2г + 1) (2~ 2 — )/ оа)!. Второе условие легко найти, рассматривая сопряжение отраженной волны с падающей римановской волной. Линию сопряжения, которая будет характеристикой (поскольку возмущения распространяются по характеристикам), можно найти из усло- вия 183 ею[ ОТРАжение ВОлны РАЭРежения Таким образом, это условие не определяет Р, и Р„поскольку Р, на характеристике постоянно, но, исходя из него, можно показать, что Ре = О. Докажем это утверждение сначала для г = 0 (л = 3, что соответствует продуктам детонации) и для г = 1 (и = 5/3 соответствует одноатомному газу). При г = 0 мы должны воспользоваться общим решением, написанным в форме (15.27): ф = Р1 [ гг2( + и! + Р, [~ 2~ — и].
Согласно граничному условию задачи на фронте нового решения ф =- Рз ()~ 2(н) + Ре [~Г2 (2 [" ~ — '[' [я)1 — = О. 1[оскольку функция от переменной величины не может тождественно равняться нулю, то необходимо и достаточно, чтобы Р, = О. Точно так же при г = 1, воспользовавшись общим решением в форме (21.2), мы получим Р [)~з(+ я[+Р,[Ус( — и! Ч— Ва характеристике Р1 [ УЬ н! + Р2 [ [' Ь ( г ! г (~)[ — — о. дг-1 Р1(рг г((+ «) Ф дР г 1гу (21.9) где для краткости мы обозначили Л =- 2 (2г + 1). Из условия на стенке при и = 0 и из соотношения х = иг' — дф/ди имеем — х = + [ = дф/ди, или, поскольку дР,/ди = 2)/ (И дР,/д[, имеем (21 10) что дает (21 11) Отсюда также ясно, что при ф = — 0 Рз — = О.
Мох~но доказать, пользуясь интегрированием, что Р,= 0 для любого й = —,, г = 1, 2,... Таким образом, мы нашли, 2г+ 3 Е.+( ' что ф должно зависеть лишь от одной проиавольной функции, т. е. 184 одномкгнык иззнтгопичкскик движкния сгкды [гл. ч причем мы интегрируем в пределах от ( до („, поскольку при и = О ( может меняться от аначения („до текущего значения й Таким образом, при и =— О мы нашли выражение для Р,. Поскольку Г, = г', ()/ Л[ + и), то при и+ О мы придем к вы- ражению г Л ~ (1 Л(+»») Лн~ »! Л 2 (21.12) Отсюда имеем а»-г [(у л( -)- и)» — л( 1» 2»( (21 13) а(Л()" г 2 или, вводя новую переменную 0 = В( = и' = ( — с[ [Л = 2 (2г + 1) [, получаем окончательно а-' [(Уй+ Р-е„1" ав"-' у е а [(Р'в+ а)» — в„)" ае" у'в а — (У'й+.) П У'Е+ з) — Е„)"-' (21.14) (Л 2»! (» — (р авьп Ув Напишем отдельно выражение ф для случая г =- О.
Из формулы (15.27) имеем при и = 3: ф = г", [)» 21+ и) + г"з ['[721 — и1; как уже показано выше, Р, ви О. Далее, на стенке х = — 1, и =— О, и из соотношения х = и( — дфди имеем [ = дф,»ди или ( = Г' (2(). После интегрирования в пределах от („до 1 получим 1(1» 2~— — '[» 2~„) = Е1 Д» 2~); таким образом, мы определили функцию Г, для случая п = 3; так как 21 = сз, то функция ф будет иметь вид ф = Г, (ф' 2(+ и) = 1(с — с, + и).
(21.15) На линии сопряжения данного и особого решений на основании формулы (20.7) имеем и = 2 (с„— с) /(й — 1) = )» вн — Ув откуда Н-Н с = ' ~/ —,( —,") = — ( —,") = —,( —,") =,— ( —,") (21.1б) поскольку все остальные члены правой части второй формулы (21.14) после г-го дифференцирования при подстановке и =- = у' Й [[' сц — )'Л =. 'г' 0„— г' О обращаются в нули. Анало- 185 ОтРАжение ВОлны РАВРежения 1 21) гично из третьей формулы (21.14) находим 1с х = и1 — Х ( —," ) = ий — 1 ( — ") = (и — с) й, (21.17) С т. е.
приходим к первой формуле (20.7), что является хорошим контролем наших вычислений. Подставляя из (21.16) величину г в (21.17), придем к фор- муле т с-Р1 х = (2г + 1) с„1 — 2 (г + 1) с„1 ( —,, ) (21 18) Таким образом, как и следовало ожидать, мы пришли к формуле (21.7), выведенной нами ранее иэ других, более элементарных соображений. Поскольку правый фронт (фронт разлета) римановского решения движется по закону х = 2с„г/(й — 1) = (2г + 1)с„с, то особое решение при с ~> (/с„на основании (21 18) и последнего уравнения оказывается определенным на интервале г ~ т с+1 (2г + 1) с„~ )~ х ~ )(2г + 1) с„1 — 2 (г + 1) с„с (, 1 ) Таким образом, величина интервала движущегося газа, не затро- нутого отраженной волной разрежения, будет г 111х = 2(г+1)1( — ") (21.19) Представляет весьма значительный интерес найти распределение и и р при с — Р оо и определить при этом полное количество движения газа, которое должно быть равно импульсу, воспринимаемому стенкой.
При этом можно легко показать, что масса газа, находящегося в интервале Ьх (в интервале римановского решения), будет стремиться к нулю. Таким образом, оказывается необходимым лишь найти распределение величин и и р для отраженной волны. Очевидно, плотность газа р (х) при ~ — ~ оо при любом х будет стремиться к нулю, поскольку масса газа конечна, а область его распространения бесконечна. При этом величина 1 также будет 186 одномкгнык изэнтгопичкскик движкния сгкды [гл. ч стремиться к нулю, а следовательно, определяя 2 по второй фор- муле (21.14), легко убедиться в том, что все члены при дифферен- цировании дадут нуль, кроме одного. В самом деле, значение 2 будет равно 1 2 = —.
[([/О+ и)з — 0„)" —,О . (21.20) — 3 г Так как 1 1 — „О ' =( — 1) — "Π— —,(2,) -(+-,) эО" 2~"г) (21.21) порядок ( или О (порядок нуля) в знаменателе этой проиаводной будет наибольший; приводя остальные члены, получаемые при зг+1 дифференцировании, к степени 0 ', мы должны их умножить на О, ваятое в некоторой положительной степени, что при 0 — ~ 0 будет обращать эти члены в нули.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
