К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Случай и = 1 соответствует иаотермическим движениям при постоянной энтропии. Перейдем к рассмотренизо некоторых важных свойств общих решений. Прежде всего покажем, что при сопряжении особого и общего решений, возможного только на одной иа характеристик: 149 1 !5) овщик Ркшения или йр+Р(и)Ни=О, откуда $ = —. ~ Р (и) оп = $г (и), (15.38) или ф =%э(1) (15.39) поскольку на характеристиках и = и (1), что и доказывает высказанное нами утверждение. В частном случае, когда особое решение задано в таком виде, что Р (и) = О (для центрированных волн), мы приходим к выводу, что на одной из характеристик ф = сопе1. Так как сама функция ф задана с точностью до константы, то, не ограничивая общности, можно считать, что на одной характеристике зр =О.
(15.41) д ~ Р~ (и+ ) 1 д" Р~(зи — Щ ( юдш/ ю июм ( В'самом деле, имеем д Рь(и+и) шг Р~ юди ю ю' юз ' при и = ю — (5 это равенство переходит в У'~ 1 (Г (2ю — ()) ~' 2иФ из 2 (, и' (штрихи на Р' обозначают дифференцирование по ю). Далее, д (з Р,(ю+ и) ( , иди/ ю иР при и = и — р получаем 3 Рз Зд'~ 1 (г'~ (2ю — ()) " ) 4юз 2 ю' ю' 4 ю' и т. д., что и доказывает наше утверждение. Это, как мы увидим далее, оаначает, что одна из произвольных функций общего решения также становится равной нулю. Рассмотрим, например, характеристику и = ю — р, где )1 = сопз1.
Покажем, что на этой характеристике имеет место следующее соотношение: 150 гкшкник хэлвнкнии для одномкгных движвниа [гл. л Аналогично д ',г Ра(м — и) 1 д" Р~(2м+а) ( мдм/ и (15.43) 2" д" ю~ю при и = сс — ю, где а = сопзг. Найденные общие решения определяют х и г как функции и, ~ или а, () в параметрической форме, что не совсем удобно и при решении ряда аадач приводит к громоздким выкладкам. Помимо рассмотренных случаев п = 3 и и = — 1, относительно просто рассматриваются случаи, когда п = 5!3 (г = 1) и л = 7!5 (г = 2).
Область пространства, характеризуемая общим решением, может слева и справа сопрягаться или с областями, также характеризуемыми общими решениями, или с одной стороны с областью, описываемой особым решением. Случай, когда с обеих сторон области общего решения находятся области особых решений, очевидно, исключается, ибо при этом общее решение становится тривиальным и описывает стационарное движение среды. Область общего решения также мок~ет граничить с одной или с двух сторон с областями, имеющими другую энтропию, т. е. отделяться от них не слабым разрывом, а так называемым особым разрывом. Обе области другой энтропии не могут одновременно являться простыми волнами, описываемыми особыми решениями.
С одной стороны область общего решения может быть также ограничена плоской стенкой. В тех случаях, когда показатель изэнтропы не имеет значения, 2г+3 определяемого соотношением п = —, решения уравнений, 2г+ 1 как показал Риман, можно представить в виде гипергеометрических функций. В ааключение укажем еще один эффективный способ решения основных уравнений. Уравнение состояния при постоянной энтропии совпадает с уравнением изэнтропы и имеет вид р = р (р). Мы уже знаем, что если вместо уравнения изэнтропы р = Ар' брать приближенное уравнение р = А, (рз — рэ~), то решения основных уравнений получаются наиболее простыми. Само уравнение состояния р = Арз, вообще говоря, не является точным, поскольку при изменении плотности и температуры меняется показатель изэнтропы й и происходят различные необратимые потери энергии.
Поэтому задачу точного интегрирования уравнений газодинамики можно поставить следующим обрааом. Выяснить, для какого вида функций р = р (р), наиболее удачно аппроксимирующих уравнение состояния, получаются наиболее простые 151 ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ дй д» дф д» дй О дг дф и, д~ = — ри, Для функций П=х — +~ — — Ь, дй дй ' дх д~ $'=х — +1 —, — ф дф дф дх дс имеют место уравнения дб' р дУ дх с ди ' аи р ду ди = ° д.
(15.44) удобный симдля функций Эта система является линейной и имеет к тому же метричный вид. Аналогичная система могкет быть эаписана и Ь(и, Р), с (и, Р): дй д~ — = — рс дУ ' ди дй дс — =- — рс —, д» ди ' (15.45) решения уравнений. Весьма удачное решение задачи интегрирования уравнений в подобной постановке провел Г.
А. Домбровский '). В его методе мы имеем дело с уравнениями движения для специальных семейств функциональных зависимостей между давлением и плотностью, допускающих простые и удобные для решения краевых задач общие интегралы. Иэ семейств, каждое из которых в методе Г. А. Домбровского эависит от четырех произвольных постоянных — параметров, выбирается такая конкретная связь, которая наилучшим обраэом аппроксимирует заданную.
Приближенное решение эадачи представляет собой точное решение для такой аппроксимирующей связи, при этом точность решения существенным образом эависит от той точности, с какой удается осуществить аппроксимацию исходной эаданной аависимости между давлением и плотностью. Наличие четырех произвольных параметров, которыми можно распорядиться по своему усмотрению, позволяет получить хорошие приближения в достаточно широких диапаэонах изменений переменной р.
Ниже мы кратно рассмотрим некоторые основные соотношения этого метода. Пусть х — абсцисса частиц газа, с — время, и — скорость, с — скорость внука. Введем в рассмотрение переменную Римана Р, функцию тока й (координата Лагранжа) и потенциал скорости ф: 152 Решение уРАВнений для ОдномеРных дВижений (гл. !'ч Предположим, что коэффициент в системе (15.44) выбран в виде такой функции )( (Р), которая дает воаможность получить общие интегралы этой системы в простом виде.
Имеем + = Х(Р). Соответствующие этой функции зависимости р = р (Р) и р = р (Р), как легко можно убедиться, определяются формулами р= ))((Р)!(Р, р= ~ ) ~~)((и)с)Р~ с(Р. (15.46) Рс = )( (Р). В этом случае р= — (~ — ') +С„р=~)((и)с(У+С„ где С, и С, — произвольные постоянные.
Это семейство также зависит от т + 2 параметров. В качестве коэффициентов систем (15.44) и (15.45) Г. А. Домбровский предлагает следу!Ощие функции: )( = и' $Ьз ти, )( = и' Фд' та, )( = и' с(д' ти, у. = и' с(1!' т!д где и и т — произвольные действительные постоянные (т = 2). Если, например, — =- И'Фдзта, то общие интегралы системы (15.44) имеют следующий вид: й(1)+!.(ч)1 з1В ти -1 (4)+/ (ч)1 соз ти л з1взтз д соз ти дз соззтз д ! лз!Втл дз ) где гг ($) и Гз (г)) — проиавольные функции характеристических переменных ! ! = — (и — и), т)= — (Р+ и), Прн помощи этих формул определяется параметрически (параметр Р) семейство свяаей между давлением и плотностью, допускающее интегрирование системы (15.44) в простом виде.
Это семейство зависит от т + 2 проиавольных параметров, где т — количество произвольных постоянных, входящих, возможно, в самое функцию )( (Р). Семейство связей между давлением и плотностью, допускающее интегрирование в простом виде второй системы, получим, положив овщин гкшзпня й Фогмк ЛсггснжА 153 1 1с! По формулам (15А6) в результате выполнения квадратур полу- чаем соответствующее предположению (15.37) семейства связей между давлением и плотностью: р= — и'~э — и + С, ), р = — и~| 3 (э+ С')з+ а (г + С,)' — —,, э1+ С„ где С, и С, — произвольные постоянные интегрирования. Если рс = и' гб' иэ, то в простом виде представляются общие интегралы второй системы: аз!и жу д Г (5) +!'(Ч)1 сз д зш ти ссзз шс д иювтг дс ) / (и-/,(ч)~ соз тс Соответствующее семейство р = р (р; ш, и, С„С,) получаем в ре- зультате выполнения квадратур р = и'(Гэ+ д + С 1, р = — из~э — к ~+ Сз.
р = А + Вр" (А = сопз$, В = сопз1) с показателями у = — 1, у = 1/3, у = 5/3, у = 3 следуют из ~сории Г. А. Домбровского в качестве некоторых частных случаев. б 16. Общие решения в форме Лагранжа Некоторые задачи, например задача о кавитации (диспергировании) жидких или твердых тел у их свободной поверхности при прохождении сильных ударных волн или волн сжатия, наиболее просто и эффективно решаются в форме Лагранжа.
Аналогичные формулы могут быть легко получены и для других указанных выше функций )( (э). Свободой выбора постоянных т, и, С„Сз можно с успехом воспользоваться для получения достаточно высоких приближений к заданной по условию аадачи связи между давлением и плотностью. В работе содержится регулярный способ определения этих постоянных из условия третьего порядка касания аппроксимирующей и заданной кривых р = р (р) в произвольной точке (Ро~ Ро).
Интересно отметить, что все соотношения для связей вида 154 гвшвннв ггйвнвнни для одномерных двнжвнин Основные уравнения одномерных изэнтропических движений среды в форме Лагранжа имеют вид — + — =0; ди др д~ дй (16.1) дх — =ч дй = где <(й = (др/да)Ыа = р Нх, ч = 1)р есть удельный объем. Дифференцируя второе уравнение по времени, имеем ди дх дй дг (16.2) далее, дифференцируя первое уравнение (16.1) по а и уравнение (16.2) по с и исключая д'и~д~ дй, приходим к уравнению днр дзх — + — = О. дйн дя (16.
3) д'р А'д'х Уч (16.4) дйн дйн ди ' т. е. мы пришли к обычному волновому уравнению, решение которого ч = Р,(Ь+Ас) + Р,(й — Ас), (16.5) где А имеет размерность импеданца К рс. В случае уравнения пока проиавольной изэнтропы проделаем следующие преобрааования, необходимые для анализа и отыскания общих решений уравнений (16А). Поскольку ди дхх днх дх др дС д.' ' дйн Йр дй ' что дает д"'х н и д'х — =рс —., ди = дйи Ух Ир д'х то дР Ых дйн ' ~ а~~' Заменяя рнс'ю отношением р'с' = рнсн (р/рн)"", где рн, сн— 2 3 плотность и скорость звука в невозмущенной движением среде, мы, поскольку р = дЫдх, придем к уравнению дх днх дйв н си д,, дй2 дя Рн н ! дх |н-1 (,Рн дй) (16.7) и-1 т дх иы ри — ) В том случае, когда р =  — Ач, это уравнение непосредственно решается, поскольку $161 ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА 155 Это уравнение является обобщением классического волнового уравнения, описывающего распространение звука в среде, характеризуемой уравнением изэнтропы р = А (р" — р,").
В случае малых возмущений для любого уравнения изэнтропы имеем рс - риси, )з — ~ ар„, и уравнение (16.7) действительно становится волновым: д'у з д'х — = сн ° д1и да' ' (16.5) (Впервые уравнение (16.7) было получено Ирншоу.) Напишем теперь исходные уравнения в виде ди Нр дч д1 дч дЬ ' ди дч дЬ д1 (16.9) д(и, Ь) др д(бч) д(Е и) д(ч, Ь) д(б Ь) дч д(1, Ь) ' д(1, Ь) д(ба) + — ' = О; — ' = — ' (16АО) и разделим почленно эти уравнения на якобиан д 'ь + О (в слуд(и, ч) дО,Ь) д (и, ч) чае —,' = О мы придем к особым решениям основной системы д бч ь) = уравнений), после чего придем к следующему результату: д(и, Ь) ир д(б ч) О д(ба) д(ч, Ь) д(и, ч) дч д(и, ч) ' д(и, ч) д(и, ч)' Вычисляя якобианы, придем к уравнениям дЬ др дЮ д1 дЬ вЂ” + — — =О; дч дч ди ' дч ди (16 12) Аппроксимируем теперь зависимость меясду р и ч соотношением р+р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
