К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е. мощностью источника, породившего ударную волну), тогда х) ро (й — 1) р +(й+1) ро (12.3) оо ю (й+1) ро+(й — 1) ро П> = о., —" )>> —;" [(й+ 1) р, + (й — () ро[, (12.4) очевидно, что а = 2)(>>г+ 3); таким образом, 1 = 2гДЛГ + 3) Р. Первое уравнение (9ЛО) для данного случая будет иметь вид о( а о (а> — х) а )а К вЂ” (й — 1) о(х Х оа [(й 1) >9+ й+1) х 2 [(о, — *)' — К) Ых (12.5) Г2 (ао — 1) + ао р[ й +(>9+1) х ~ — х(1 — х) (а> — х) Граничные условия (условия на фронте) будут ш 2ао (р> — ро) х„= и> — = а> — = + + й 1, (42.6) >о йоор>т> 2йао р> [(й — 1) ро+ (й+1) ро[ 1>п [(й+1) р>+(й — 1) р )' и й >2.7 1 о) См Я 27 — 29, ВАРИАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ 123 1 121 Рассмотрим изменение р и ч на фронте волны за бесконечно малый интервал времени Л1, т.
е. рассмотрим движение волны аа этот 1, 1 же интервал времени. Поскольку р = — = ~1", р = — „у~го(2(а,-п+ и, очевидно, что на фронте волны г = г„= сопэ1 функции от г при г = г„также постоянны, то о[ [В ч = — — аоо[ [п 1, 11 [п р = = [2 (а, — 1) + а,! д[п 1; отсюда о()п р ( 1 + 2 (а1 — 1)~ Й)пч [ ао (12.8) Очевидно, р и ч на фронте связаны уравнениями (12.3), поэтому а пр (й — ) р1+(й+1) ро [(й [ 1) [ (й 1) ) (12 О) о()п ч 4йрор1 Р1 Ро Из (12.8) и (12.9) имеем )+ 1=( )1 +( + )' [(й+1) р — (й — 1)ро) (1210) Мы получили одно уравнение, связывающее а, и аа; при атом за значение р необходимо взять р,. Решим уравнение (12.5) с граничными условиями (12.6) и (12Л).
Для сохранения однозначности необходимо одновременно приравнять к нулю выражения [У (й — 1) + (й + 1) ) х — 2 и у ~ (" й ) " + (/)(+ 1) х~— — х(1 — х)(а, — х). Только в этом случае о[()п г)/1[х ) О, что необходимо требовать для расходящейся волны. Применение закона сохранения энергии уже не может дать общего выражения для аа = а, (а,), поскольку на всем интервале времени движение не автомодельно. Из условия равенства нулю написанных выражений имеем (а1 г) (1 ) (12 11) Л'(й — 1)+й+1 ' У 2(ао — 1)+ ао '+ (у+1) х У+3 ' (12.12) Решая уравнение (12.5) и требуя, чтобы решение проходило через точки (х„, у„), (х, у), найдем а, = а, (а,).
Решая совместно (12.10) и (12 11), определим а, и а, как функции р, и для заданного р, непосредственно значения а, и а,. Как видим, схема решения может быть описана следующим образом: при О,. 1( 2/(11'+ 3) х®1 = 11 имеет место автомодельное решение, найденное для сильной волны: 124 1ГЛ.
Гн Автомодельные дВижения сРеды При Г ) ~1 решаем систему (12.5) с граничными условиями (12.6) и (12.7). Определяем аг и ам после чего для некоторого Ы1 находим Лр„ исходя из формулы — = [2 (а1 — 1) + аа]— (2Р1 о1( Р( 21 (12Л 3) Далее, для р, = р, + Лр, определяем х„, у„, снова решаем уравнение (12.5) и т. д. Учитывая, что пределы изменения а1 и кз невелики, Л~1 можно выбрать достаточно большим. Можно искать решение и в таком приближенном виде. Возьмем величину 221 достаточно большой. Пусть на интервале ~1„~ ~.з ~1 при г = з„все функции от з постоянны. Тогда РМ1 ~2(а,-1ыа, 1Ы1 Ра а-а, — = и1 — = — ~1 Ф гч аа р,.„ (12.14) где 01 = ~1,191. Уравнение (12.3) дает [а 1) Е2(а -1)+а:+ а+1 (а+ 1) ва( ' >+ '+ ь — 1 (12Л5) ав 2И й'=А $ ( — „" + —,") А(2]Р=А ~Ц ( ~„„к + —,)(]з=р(г), где А = 1, 2я, 4Я при 12' = О, 1, 2; Р (С) — известная из условий задачи функция времени.
Например, для точечного взрыва -,№1 (( = ° + (22 ((((=(( = 2. (и(.((а (("'"'" Решая (12.12) и (12Л5), найдем а1 и ам после чего определяем т(„и р(„. 2 Решениеначнем при 1 = О. При ~ ~1 а1) —, а1<" О, но 2 (а — 1) + аз ) — (Л1 + 1) а„так как при относительно малых движениях затухание ударной волны с расстоянием уменьшается. Окааывается, что для 12' = 1 и ]2' = 2 аа сначала убывает от нуля, затем воарастает, приближаясь к нулю; а1 монотонно возрастает, приближаясь к единице. При ]2' = О в пределе (при ~ -~ со) аз =- О, а1 = 1. В этом конкретном случае во всей области решения можно положить т = О. Для нахождения связи между а1 и аз в некоторых случаях, например при изучении бегущей от поршня или из центра ударной волны, можно поступать следующим образом.
Полная энергия волны равна 125 2 121 ВАРИАЦИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ где Ее — начальная энергия. Так как «и $ Зг [„„~ + — ~лг = )2(2), га = г„(2) о и поскольку меняются начальные условия при неавтомодельном движении, причем значение )2 (2) можно вычислить, то )2(22)Ф; ' = г'(Е2), откуда для каждого момента времени находим аг = аг(а2).
Решение следует проводить методом последовательных приближений, задавая в решении для ~ыг значения а, и а„найденные для гм а затем исправлять этн значения. Таким образом, задача о вычислении параметров бегущей ударной волны принципиально может считаться решенной. Точно так же можно решать и другие задачи адиабатических двиягений, обладающих центральной симметрией. Начиная с некоторого г = й, волна становится акустической, когда можно пренебречь уменьшением энергии (при р„!р, = 1 + + и, где Л ( 1!2); тогда данное решение нужно сопрягать с известным квазиакустическим. Поскольку варьируются а, и аг, а также начальные условия, то константы с„с„с, также автоматически подвергаются варьированию. При этом константа с, определяется при решении уравнения первого порядка, а константы с, и с, — при взятии квадратур.
В других случаях нужно варьировать и величину т. Совершенно аналогичные рассуждения можно провести для другого случая автомодельных движений, когда и С2 2=ге-"' х= —, у= —, $=ре 1,$ Ф Основные уравнения при этом снова имеют вид (9.18) и (9 19). Вариация произвольных констант а, и аз осуществлялась так же, как и в первом рассмотренном случае. ГЛАВА 1Ч РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ СРЕДЫ 13. Основные формы уравнений. Общие решения в случае и = 3 ди ди 1 др д +ад + — д =' (13Л) — (1п р) + и — (!и р) + — = О. Пользуясь формулами (2Л7): — Р = —, и (2.21) при х = и = О, 1 др д1 р дх дх ' можно видоизменить уравнения (13.1) так: +',и ( —" ,.=О; д1 и ди и — + с — =О.
дх дх ди д1 (13.2) д1 — + д1 Укажем еще одну форму уравнений (13Л). Предположим, что уравнение состояния дано политроной (8Л7): р = — А (р" — р,'); Одномерные изэнтропические движения среды являются одним из самых изученных разделов газовой динамики как в области неустановившихся, так и в области установившихся движений. Теория одномерных пеустаповившихся двнячений среды имеет весьма большое принципиальное значение для выяснения физических закономерностей неустановившихся движений вообще. Выводы, которые можно сделать и которые будут сделаны на основании изучения одномерных неустановившихся движений, являются полезными при исследовании других, более сложных неодномерных видов движения.
Теория одномерных неустановившихся движений имеет также большое прикладное значение в ряде областей техники и физики. В качестве конкретного приложения атой теории мы, в частности, далее рассмотрим некоторые вопросы неустановившихся движений жидкости в различного рода руслах и каналах. Система уравнений, описывающих одномерные изэнтропические движения среды, как это следует из уравнений (2.25) при )Ч = О и г = х и уравнения (2ЛВ) при и = ш = О, моясет быть записана в виде 127 ОСНОВНЫВ ФОРМЫ УРАВНВНИЙ й 131 градиентный член в первом уравнении (2.25) выразим в форме (2.18): др!рдх = [2!(п — 1)! др!дх, а уравнение неразрывности напишем в виде (2.20).
Тогда придем к уравнениям: ди ди 2 дс — +и — + — с — =0; д~ дх и — Г дх Так как при п .= 1 эти уравнения использовать нельзя, то напишем уравнения для этого случая еще в одной форме. Пользуясь формулой (2.17), выразим член с градиентом в первом уравнении в форме др/р дх =- сед 1в р/дх; при и = 1 по политропе (8.17) имеем р = Ар — Ар,; с' =- — = А = с,; дэ уравнение неразрывности напишем в форме (2Л9).
Таким образом, получим новую форму одномерных изэнтропических движений среды для случая п = 1: — +и — + с,— (1пр) = О; ~ ди ди и д дс дх дх — (1п р) + и — (1пр) + — = О. ~ (13.4) В $8 мы вывели уравнения характеристик (8.16) для системы (8.4), которая при ~ф = 0 эквивалентна системе (13.1): — (и+~ сд)пр) +(и-+ с) — (и+асс()нр) =О.
(135) Из уравнения (13.5) видно, что заданное состояние среды, определяемое величиной и+ ~ сй 1п р = а, распространяется со скоростью и + с в положительном направлении оси х по течению среды, а состояние, определяемое величиной и — ~ сд)п р = р, распространяется со скоростью и — с против движения среды. При атом распространение воамущений при дозвуковом движении будет -происходить как в положительном, так и отрицательном направлении оси х, при сверхзвуковом движении возмущения уносятся течением и распространение их происходит только в одном направлении оси х.
(Начало координат мы предполагаем движущимся вместе с источником возмущения.) Волны одного направления, проходя через волны другого направления, будут 128 гкшкник углвнкнии для одномкгных движкния ~гл. ге взаимодействовать с ними, т. е. распространение волн противоположных направлений не является независимым. В случае, когда иззнтропа выражается уравнением (8.17), уравнения (13.5) примут вид д ! 2 — ~и+- — с) + (и -~- с) — (и+- — с) = О. (13,6) д Г 2 д1~ — в--1 ) — ' дх(, — а — 1 Так как уравнение (13.6) является частным случаем общего уравнения (13.5) для изэнтропы (8.17), то зто уравнение можно истолковать совершенно' аналогично: состояния среды, определяемые 2 величинами и+ — с, распространяются соответственно со снов а — 1 ростями и ~ с.
Так же как и в случае уравнения (13.5), волны, распространяющиеся в противоположных направлениях, зависимы друг от друга. В том случае, когда и =- 3, величина — = 1 и система уравне- 2 и — 1 ний (13.6) принимает исключительно простой вид — (и+ с) -ь (и -) — с) — (и+ с) =0 д д (13. 7) илн, если обозначить и + с = — а, и — с = (1: — +а — =0; — + 8 — =О. дх дх д3 дД д1 дх ' д1 дх (13.8) Решение системы (13.7) совершенно очевидно: х = (и + с) С + Р, (и + с); х = (и — с) С + Рз (и — с), (13.9) где Р, (и+ с); Рт (и — с) — дзс произвольные функции, одна от и + с и другая от и — с. Это решение является общим решением основной системы дифференциальных уравнений в случае и =- 3. Решение (13.9) удобно записать в виде (13.11) Анализируя уравнение (13.7) и его решение (13.10), можно прийти к выводу, что заданные состояния, определяемые величинами и+ с = а и и — с = р, распространяются в среде при и = 3 х = а1 + Р, (а), х = 61 + Р,(р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
