К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 19
Текст из файла (страница 19)
а1иа Ы!п г (11.34) Для осесимметричных движений (аз = 0), решая совместно уравнение (11.34) и уравнения (11.24), найдем, что безвихревые течения возможны лишь при а, = а, = 0; таким образом, решение Буэемана является единственным автомодельным безвихревым решением.
Тот же результат имеет место и для плоских движений в случае безвихревых течений. Докажем это утверждение. Сравнивая в первом и втором уравнениях (11.30) коэффициенты прн у и у', найдем„что 2а, + оз = О. При этом должно быть а а а,х; .+ азх,х, + х,хг — х', = аз (1 + а,) хгх, + азхзх, + а,х,х,. (11.35) Заменяя х, = аэх, + (1 + а,) ха, придем к результату аг (х~ + + ха) — — О, откуда следует, что а, = 0 и аа = О, что и доказывает наше утверждение. Решая уравнения (11.32), находим 1) = 1а (а), х, = х, (в); далее определяем х, = х, (х,), у = у (х,), а уже затем з = з (х,). В случае безвихревых течений ди/дО = г дв/дг + и, что дает для автомодельных движений 119 плОские и пРОстРАнственные движения 1 11! Таким образом, безвихревые плоские течения определяются уравнениями аз + з> с(й ) йаз <И ззз '(1 + — / + —— (й — 1) (с с(а> / й — 1 с(аз 2йаз й ->- 1 аз + з> + ив 1 () + ив ,' 1 1азз(аз+ з>) й с(() 2й() ) з> + —— й — 1 с(аз 1 ас)п(1+ асс+в й — 1/ с()п и (11.
36) 2й 2 с(зс 1 +ззз — () й — 1 1 /, с(и ази+и с(сз) / и ( с(и (й — 1)аз с(и/' с 1пс с(и В случае вихревых течений при Я = сопз1, исходя из уравнений Бернулли, можно прийти к результату +* +й 1= а =>Р() з з 2л А (11.37) откуда А = сопз( = ср (г) гз', что дает уравнение линий тока в виде ср (гассз) гз" = А . Очевидно, в частном случае для дан- ной линии тока г = сонэ(. В заключение отметим, что в самом общем случае установив- шихся пространственных движений, зависящих от трех независи- мых параметров (функций), не существует автомодельных движе- ний, зависящих от одного параметра; можно лишь найти движения, аависящие от двух независимых параметров.
Например, если на- писать уравнения газовой динамики в сферических координатах, то, вводя и = 1 х, (ср, О), и = > 'х, (э>, О), и> = г"х, (ср, О), с = г' 'Ргу (ср, О), р =- Г 4 (ср, О), мы придем к решениям, зависящим от двух параметров ср и О. Мы исследовали ряд типов автомодельных движений среды в случае адиабатических и неадиабатических процессов, происхо- дящих в движущейся среде. Значительный прикладной интерес представляют и чисто изэнтропические движения среды. Урав- нения, описывающие автомодельные иээнтропические движения среды, представляют частный случай уравнений, полученных нами выше, для всех типов автомодельных движений.
Поскольку о = о = р/р" = сз/йрз 1= сонэ(, то в случае автомодельных дви- жений, когда г = г/(аЧ должны выполняться очевидные условия: А(гз/(з)у ((з-1>а*$й-1 где А = сопз1, откуда 1 = Айх у(з<а'-1>-(з-1>а* = Аязу и а, = — (а, — 1). (11,38) й — 1 120 [гл. И» АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ Когда г = ге- ', должны выполняться такие условия: $»'=Аг»у и а,= » 1 (И.39) и, наконец, когда г = (1Й)е"~", должны выполняться условия $ ='~у и а» = » (И.40) При этом также вполне очевидно, что уравнения, связывающие х„у, г (после исключения величин ~'!$ или ц'/~), не изменятся, поскольку они выражают непосредственно связь между 1»-'~и, 1»-А с и гВЖ.
В случае изэнтропических течений мы вправе пользоваться обобщенным уравнением политропы вида р = А (р" — р"), справедливым для ряда жидких и твердых сред. Для плоских и осесимметричных иаэнтропических неустановившихся течений при г = г"гас'» необходимо положить з»-'=Ау, а=Ь=— (И.41) А. — 1 и при г = г'е"'е™$»-' = Ау, а = —, Ъ = О. (И.42) х — 1' В случае таких же установившихся течений необходимо положить (И.43) Автомодельные движения описываются решениями, имеющими групповой характер (группу Ли). Существуют методы и работы, посвященные вопросу отыскания решений класса авто- модельных уравнений методами теории групп. Эти методы основаны на том, что автомодельные решения задаются представлениями определенной группы Са, той же самой, относительно которой инвариантна система дифференцированных уравнений в частных производных. Поскольку угадать эту группу всегда гораздо проще, чем производить соответствующие расчеты, то мы не будем адесь останавливаться на чисто групповых методах исследования уравнений, тем более, что для уравнений классической газовой динамики все классы автомодельных решений были нами уже найдены в 1944 г.
$ 12. Вариация произвольных постоянных в автомодельных решениях Для ряда задач газовой динамики возможно, исходя из частных автомодельных решений, которые дают полный интеграл основной системы уравнений, найти новые решения, причем эти решения уже не будут являться автомодельными, а позволят 121 ВАРиАция пРОизвольных постоянных с =- г" (х, у, а„а,). аз = аз(а1) Отсюда (12.2) приближенно описать общие решения основной системы уравпеннй газовой динамики (2.25) для движений, обладающих точечной симметрвей; при этом будем предполагать, что р = ор'.
Основные уравнения, описывающие автомодельные движения, имеют вид (9.9) и (9.10), а„аз — произвольные константы, кроме того, можно еще ввести произвольную константу т, заменяя Г на г + т. При интегрировании уравнений (8.9) и (8.10) появятся константы интегрирования с„с,, сз. Всего при решении системы (9.9) и (9.10) мы будем располагать шестью произвольными константами, что формально дает полный интеграл основной системы уравнений. Вариация произвольных постоянных в принципе должна позволить искать любые (общие) решения для каждо~о конкретного случая системы (8.10). Однако формальная вариация может привести к уравнениям еще более сложным, чем исходные. Поэтому сделаем попытку разработать приближенный метод вариации произвольных постоянных для решения одной конкретной задачи — распространения бегущей ударной волны.
Принцип, положенный в основу получения новых решений, заключается в том, что любое двиязение газа в малом объеме пространства за малый промежуток времени можно считать авто- модельным, а произвольное движение газа можно получить, варьируя произвольные постоянные автомодельных решений для фиксированного ~ по г и для фиксированного г по г так, чтобы удовлетворить граничным и начальным условиям.
Таким образом, для того чтобы найти решения поставленной задачи, необходимо варьировать начальные значения (ха, ув), а значения произвольных постоянных искать в виде функций от (г, г), причем возможно искать вид этих функций не для всех произвольных постоянных, а только для некоторых, так как сами произвольные постоянные могут являться в ряде случаев функциями друг от друга. В самом деле, можно показать в общем виде, что а, = а, (а,).
Исходя из однозначности решений, необходимо, чтобы одновременно обращались в нули какие-либо два выражения (числители или знаменатели, стоящие в правой части первого из уравнений системы (9.10)). Тогда можно найти некоторую точку х=х(а„а,), у=у(а„а,), (12 1) через которую должно проходить решение этого уравнения. Напишем решение в виде с =- г' (х, у, а„а,).
Начальные условия дают с = г" (х„, у„, а„а,). Из условия, что решение проходит через точку (х, у), имеем 422 Автомодгльнык движкния сввды (гл. гп Интеграционная постоянная равна с = с (а,). Значит, необходимо искать а, = а, (г, 1), т = т (г, 1), что может быть сделано, исходя из граничных условий, например, из условия разрыва непрерывности вдоль г = го и равенства какой-либо искомой величины (и или р), введенной при г = г*, или, исходя из начального условия,при 1 = го. Эти условия определяют также две интеграционные постоянные. В иных условиях может быть, что только а, = а, (г, 1), а другие постоянные определяются из граничных или начальных условий.
Решение задачи в общем виде представляет большие трудности и не дает конкретных выводов, имеющих физическое значение, поэтому необходимо рассмотреть подходящий конкретный пример. Значительный интерес представляет изучение ударной волны с переменной плотностью на фронте (т. е. реально существующей волны). Пусть иа начала координат распространяется ударная волна. Пусть, далее, на расстоянии г, от начала координат давление на фронте волны будет р, (в области (О, г,) ударная волна распространилась как сильная, а значение г„для которого р = р, достаточно велико, чтобы было (а — >) р, = (а + >) ро, определяется всецело размерами, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
