К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Г Ыр Уси — ) рс г (8.40) Я =- сопз1. (8.41) Движение в трубе переменного сечения В заключение рассмотрим характеристики одномерных движений в трубе переменного сечения. Поскольку исходная система уравнений (2.25) с уравнением неразрывности в форме (2.22) молсет быть написана в виде ди ди , 1 др —.( и — + — — =0; дс дх р дх др, др а/ди, й1пР1 — +и — +рса( — +и ~=о; дс + дх ~ дх ' йх й~ = Тс(Я, (8.42) где г' — площадь сечения трубы, то, очевидно, будут иметь место следующие характеристические условия: вдоль линий Ых(й = и+-с должны выполняться соотношения (8.43) с(и+- ~ — + ис сй'1 = О.
Г йр, й1пР— рс ' Ых Эти характеристические соотношения значительно сложнее, чем при движениях среды вне поля тяжести. Энтропия будет сохра- няться в каждой частице, т. е. при с(Г/й = и имеем 8 81 хАРАктеРистики с дВумя незАВисимыми пеРеменнымп 87 Энтропия, очевидно, будет меняться для каждой частицы согласно аакону иаменения тепла. Наконец, укажем вкратце, как, испольауя метод характеристик, можно вычислять параметры одномерных двиягений газа. Пусть для какого-либо заданного момента времени 8, ищутся приращения Лх = (ит+ сг) Л/ на характеристике и — 2с/(й — 1) = = совет и Лх = (и, — с„) Лс на характеристике и + 2с/(й — 1) = =. Сопз$, где иг и с, — аначения и (х) и с (х) при г = сы Затем определяются новые значения и и с для 8 = Г, + Лг, что, в конце концов, позволяет вычислить и и с для любых х и 8 ) С,.
В случае адиабатических движений считаем, что при Г = г„для 8 =- сопз8 Лх = и Л/ и что для Лх =- (и,+ сг)Л/ имеем Л (и ~ 2/(й — 1) с) = = сЛЯ/й (й — 1) с,; чем меньше интервалы Лг, тем точнее реаультаты вычислений. ГЛАВА ВИ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ 5 9. Автомодельные движения газа, обладающие центральной симметрией ") В современной физике и, в частности, в гидродинамике (газовой динамике) весьма большое развитие получили методы, позволяющие исследовать так называемые автомодельные (самоподобные) движения среды.
Автомодельные движения среды принадлежат к такому классу движений, когда параметры, характеризующие состояние и движение среды, меняются так, что распределение любого из этих параметров по координатам остается подобным самому себе при иаменении времени, причем масштаб, характеризующий это распределение, может также по определенным законам меняться со временем. Последнее равносильно тому, что и для координат и для какого-либо заданного параметра, имея в заданной точке пространства какое-либо заданное распределение любого из указанных параметров во времени, в других точках пространства, лежащих на определенной линии или плоскости, мы будем иметь распределение этого же параметра во времени таким же при определенном иаменении масштаба данного параметра и продолжительности времени.
Аналитически условия автомодельности движения определяются, тем, что могут быть найдены определенные (несколько или одно) соотношения между независимыми переменными, которые играют роль новых независимых переменных. Отсюда следует, что в случае автомодельных движений число независимых переменных в основной системе уравнений соответственно уменьшается. Это в значительной мере упрощает ураннения и делает иногда возможным нахождение ряда аналитических решений, описывающих автомодельные движения среды.
В случае двух независимых переменных, а иногда даже и в случае трех независимых переменных основная система уравнений становится системой уравнений не в частных, а в полных (обыкновенных) производных. ") Теория аетомодельных движений была развита К. Бехертом [74], а также, иеааеисимо друг от друга, Л. И. Седовым [2Ц, Г. Тейлором [75]— [77], Г. Биркгофои [31[ и аетором [$5]. При етои К. Бехерт расскатривал лишь иаэвтропические движения газа. $91 движвния РАЗА с центРАльиой симметРией 89 3 — в 9 9 р=е р =ср (9.1) мы определим — =( — )с(1пр+( Р ) — ' = ссс(1пр-, далее, поскольку с' = (сор»-', то с( 1п о = д 1п с' — (гс — 1) с( 1п р, поэтому с(рlр = (1г(с) [Ысз+ сзс( 1ц р).
Так как третье уравнение системы (2.25) можно написать в виде дс дт д д — (- и — = 0 или — (1и с) -(. и — (1п с) = О, (9.2) дс дс дс дг то после исключения из полученной системы уравнений величин дР де де г дд дЯ ) —; — и — ~или — и — ) дг ' дс дг ~ дс дг ) мы придем к такой системе основных уравнений: ди ди 1 ( дсс 9 д дс дг ' а ~ дг дг — + и — -г- — ( — + ст — 1пр) = О; д д ди Уи — (1п р) + и — (!п р) + — + — = О; д~ дг дг ' г дс' дсс ! ди Уи с — + и — + (й — 1) ес ( — + — ) = О. дс дг ' дг г ) Это относится ко всем неустановившимся автомодельным движениям, обладающим симметрией, а также к установившимся плоским движениям и к некоторым типам осесимметричных движений. Таким образом, некоторые типы автомодельных неустановившихся плоских и осесимметрических движений описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений.
Исследование автомодельных движений в ряде важнейших задач современной газовой динамики позволяет делать полезные выводы относительно более широких классов движения среды и устанавливать закономерности движения среды для различных практически интересных случаев. Сюда, например, относится ряд задач о распространении детонациопных и ударных волн, о разлете продуктов взрыва„отражении ударных волн и т. д. Исследование автомодельных движений мы начнем с адиабатических движений идеального и политроппого газа в том случае, когда эти движепия обладают симметрией. Основную систему уравнений для случаев движения газа, обладающих центральной симметрией, мы напишем сначала в обычном виде (2.25).
Для удобства дальнейших выкладок мы примем эа зависимые переменные и; с; 1Ц р. Поскольку мы условились рассматривать движение идеального (или политропного) газа, то из уравнения состояния (1.20) 90 [гл. сы Аитомодкльнык днижкния сгкды Введем новые безразмерные зависимые переменные х; у при помо- щи соотношений и=х —, с=у— э с (9.4) и безразмерные независимые переменные 1п С и 1п г в); тогда, если обозначить точками над соответствующими буквами частные производные по!и с, например х = дх/д 1и с, а штрихами — частные производные по 1п г, например х' == дх/д!и г, то система (9.3) примет вид х — х + хх' + х' + — (у' + 2у + у (1п р) ') = О; (1и р) -]- х (1п р) + х' -С- (Лс -[- 1) х = О; ) у —; ху' + 2 (х — 1) у + (/с — 1) у [х' [- (ссс с- 1) х] = О.
Следует обратить внимание на то, что в зту систему входят только безразмерные зависимые и независимые переменные, причем независимые переменные, 1п с и 1п г, входят только под знаком дифференциала. Система основных уравнений, написанная в виде (9.5), позволяет весьма просто исследовать два класса авто- модельных движений. Положим, что х и у являются функцией одной независимой переменной з: Г э=в с»' (9.6) где а, = сопз1, что и будет характеризовать первый класс движений. Потребуем, чтобы г и с не входили явно в уравнения, которые получаются при указанных подстановках. Тогда при этом плотность р необходимо должна иметь вид р = с'*$ (г), (9.7) где а, = сопз1, Поскольку д/д (1п С) = — а„с[/с[ ([п з); д/д 1п г= = с[/с[ (1п з), система уравнений (9.5) при сделанных предполо- жениях примет вид х'(х — а,) + х' — х + — [2у + у'+ у (1и $)'] = О; (1п$)'(х — а ) +аэ+ х'+ (Лс+ 1) х = О; — (х — а,) + (й — 1) х'+ [Л/ (й — 1) + (/с + $) [ х — 2 = О, (9.8) е! Чтобы убедиться в беэраэмерности этих переменных, достаточно пргдс г ставить их в виде 1п — и 1п — .
Очевидно, производные по этим последним се ге' переменным равны производным по переменным 1п с и 1п г. з з) движкния глзл с цкнтгальнои снммктгики 91 а,— т и = — х (г) = та — тс, (г) = г ' т), (г); т а,-т с = — у' у (г) = (а -т$з (г) = г ' т)з (г); а, р = 1Я (г) = г ' т! (г); (9.13) з <а,-т> аа раз р = у = (зла-т)аа*$з(г) = г ' т)з(г)' з(а,в а, (з(а-й-и-т)а*$ (г) = г " ' т)4(г).
ар где, например, х = Ых/Ы 1п г. Исключая из первых двух уравнений системы (9.8) д (1п $) — д!п$=( ) 'т(1пг+31п(х — ат), (9.9) мы сможем систему уравнений (9.8) написать в виде Н 1п у л ]и, ('1 — ) ( — (~ — ') Ых (Ф (а — 1) + (а+ ()! х — 2 (ат — х)з — у Г г(ат — 1)+аз 1 (9 10) у ( + (У -)- 1) х ~ — х(1 — х)(ат — х) При интегрировании трех уравнений (9.9) и (9.10) мы получим три произвольные константы с,; с,; с; заменяя т на т + т, где т = сопз$ (что мы всегда сможем сделать, так как во все исходные уравнения г входит только под знаком дифференциала), мы придем к выводу, что полное решение системы будет зависеть от шести произвольных констант а,; аз; т; с,; с,; с„т.
е. формально это решение будет являться полным интегралом исходной системы уравнений. Как мы видим, аадачу интегрирования исходной системы уравнений в частных производных первого порядка мы свели для авто- модельных движений к интегрированию одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка вида йу х"т (х, у) (9.11) Их у х з (х, у) и к двум квадратурам. Решая при известных начальных условиях уравнение (9.11), мы определим у = у (х), после чего квадратурами найдем г = г (х) и З = $ (х).
Очевидно, что в качестве независимого параметра удобно выбрать именно величину х. Далее, поскольку (9 12) то г —.= таз, что определит в неявном виде 92 Ггл. гы Автомодгльные движвния сгкды Таким образом, мы имеем частные решения для автомодельных движений, которые являются как бы полным интегралом системы. Может показаться, что, варьируя произвольные постоянные этих решений, можно построить любые решения, описывающие все возможные движения газа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
