К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Когда фронт волны (или фронт возмущения) приходит в какую-либо точку среды, он воамущает существовавшее ранее движение частицы. Поскольку фронт звуковой волны несет бесконечно малые возмущения среды, то значение самих параметров, определяющих движение и состояние р; р, с; и; г; ю среды в этой точке, не изменится (изменится на бесконечно малую величину), но аначения производных от этих параметров по координатам (при постоянном времени) или по времени (при постоянных координатах) изменяются при атом на конечную величину в течение бесконечно малого промежутка времени.
Следовательно, эти производные в момент прихода фронта волны в данную точку среды претерпят разрыв. Подобного рода разрывы носят название слабых разрывов в отличие от сильных разрывов, когда разрыв терпят непосредственно сами параметры, определяющие движение и состояние среды. Таким образом, фронт распространяющейся звуковой волны является фронточ распространения слабого разрыва.
В теории дифференциальных уравнений в частных производных подобного рода фронты еще называются характеристическими фронтами или характеристическими поверхностями, или, более кратко, характеристиками. Основные уравнения газовойдинаыики и, в частности, уравнения (7Л), отображая аналитически физические явления, происходящие при изменении параметров движущейся среды, должны определенным образом выражать и движение характеристических поверхностей. К исследованию этого вопроса мы и переходим. Пусть (7.7) У(х,у;г;/)=0 — некоторая гиперповерхность, координаты которой меняются со временем, и вдоль этой гиперповерхности заданы значения функций и; о;ю; р и р. Тогда этими значениями одноаначно определяются вдоль гиперповерхности (7.7) все проиаводные указанных функций и, в частности, их внешние производные ди!д1; до/д/; дю/д(; др/д/; др/д/, если только гиперповерхность не является характеристической, или, коротко, характеристикой.
Если же поверхность (7.7) будет характеристической, то про- изводные ди дх дх др др д! ' д/ ' д/ ' д/ ' д/ (7.8) или не могут быть определены, или определяются неоднозначно. Найдем условие, которому должна удовлетворять функция /(х, у, з), чтобы уравнение (7.7) выражало характеристику. Будем рассматривать величины и, г:, ш, р и р как функции от /; например, р = р(!(с; х, у, з) ), аналогично выразятся остальные функции. Тогда при дифференцировании зтих функций по времени их нужно рассматривать как сложные функции.
Вычислим, например, производную г!Р (/) !р а/ сс/ (7.9) или др др др , др — + — и+ — Р+ — ш = дг дх ду дх йр ! д! д/ д/ д/ = — ( — + — и+ — Р+ — и '. с// (, дг дх ду дс Из последнего равенства вытекает, что отношения частных произ- водных функций и и / равны др др дС дх а! а! дс дх ар ду =-д/ = ду др дг ир — =й,=— д/ с// д. (7ЛО) Аналогичные соотношения имеют место для остальных функций: и, Р, ш и р. Введем обозначение — =.
— + — и+ — Р+ — и = гр. с/! д/ д! д/ д/ сСс дс дх ду д- (7Л1) Тогда уравнения (7Л) можно представить в виде с/и 1 йр др р+ — — =О, а/ р с/р дх с/х г сСр др — ср+ — — — = О, с/! р сС ау гСиг 1 а/г др ,р+ =О, сС/ р с/р дс сСР Г иси д! йх д/ да д/ 1 + р~ — + — — + — — ~= О. сс! ( с/! дх и! ду с// дг,! "Р с 'СР— ср — с — ср = О, сс/ сс/ (7Л2) см хАРАИТИРистики уРАВнений ГАЭОВОЙ динАмики 67 хАРАктеРистики УРАВнений ГА30В ОЙ динАмики 69 которое мы напишем в виде )р= — +и — +Р— +ш — = д/ д/ д/ , д/ дс дх ду да где х, = х, х, = у, х, = г определяет искомую характеристическую поверхность.
Возвратимся к первым трем уравнениям(7Л2). Будем рассматривать частные производные по 1, х, у, г от функций и, Р, ш, р, р по одну какую-либо сторону от рассматриваемой характеристической поверхности 7(х, у, г, !) = О. Тогда из равенств вида (7.10) следует, что все частные проиаводные каждой иа этих функций пропорциональны соответствующим проиаводным от функции /(х, у, г, 1) а).
Из равенств (7.10) имеем др )/р д/ дх д/ дх (7Л6) Вставляя это значение проиаводной др/дх в первое уравнение (7.12), получим Ы! ' р Ыр )1/ дх или Ыиср+ — — = 0; др д/ р дх выражая ~р из соотношения (7Л5), имеем ") Если рассматривать частные производные по обе стороны от поверх. ности / (х, у, а, )) = О, то можно прийти к более общему соотношению, вазываемому кииематическим условием совмествости. Напишем, например, это соотвошевие для функции р: да дс ду адесь, например, ( — ~ = )д)) — ) д)/ есть скачок проиаводкой ва ха- рактеристическои поверхности, т.
е. равность значении проиаводкых с одиои и другой стороны. Смл Кочин Н.Е., Кибела И.А., Роае Н.В., Теоретическая гидромехавика, ч. 11, стр. 18 — 20, Гостехиздат, 1948. ТО Ггл. и МЕТОД ХАРАКТЕРИСТНК Аналогично преобразуются два других уравнения (7 12). Таким образом, мы получаем окончательно; 1 3 1=1 / 3 / 3 1=-1 дх — с(и+ — с)у+ — с/ш+ 3 с '~~~ ( — ) — =О. д/ д/ д/ 1/ Г д/ ~3 др ду д. ~/ ( д.с,.
) рс 1=1 (7 17) Отсюда как следствие имеем (с/и)3 + (с/Р)3+ (Ыв)3 = ~ — ) ( — — — ) ( -- — )-( д/ д/,3 / д/ д/ 33 ! д/ д/ ду дх ) , дх дс ) ' (, ду дс ) (7.18) Так как на характеристике имеют место соотношения д/ дс — Й1 = — с(/ дх дх — ни= 1/; д/ ди ду ду — 13Ю = — Ы/; д/ дх ду ду и т. д., вытекающие из соотношений для и, у, п1, аналогичных со- отношению (7.16) для р, то мы приходим к условию 'Е(д йх) (дх дс) +( д д )~ ди дх дх ди дх дс (7.19) ду дх ' дх дх ' ду дс то движение в окрестности характеристической поверхности является безвихревым. Далее, как уже упоминалось, на характеристике полная производная по времени от /(к, у, х, 1) равна нулю: — = — + — — + — ' — + — — =.
О, (7.20) д/ с/х д/ ду д/, 43 д/ Ыс дС Ы/ дх дС ду С/1 дх которое выполняется, поскольку й/ = О; если прн этом еще вы- полняется условие !гл. и 72 мвтод ХАРАктвристик Уравнения (7.17) мы теперь напишем в виде Ии+- ив рз аз+- ()— нр — рс Ню+7— рс ~- ~' + йп + () а. + т 7 (7.25) сБ ду — — = — = — + вйтайЯ = О, т и = нс = эс (7.26) т. е. поскольку (7.27) Я = Ю(а, Ь, с), то энтропийные воамущения не переносятся звуковыми волнами, а распространяются просто со скоростью среды.
Это положение также ясно, потому что энтропия каждой частицы остается постоянной. Таким образом, заданная величина энтропии Я* распространяется со скоростью (7.26) следовательно, вдоль линии, являющейся решением этого уравнения, дЯ = О. Установленные нами закономерности распространения малых воамущений параметров р; р (или с), а также Я, характеризующих состояние среды, являются чрезвычайно важными при научении неустановившихся движений газа.
Поскольку характеристическая поверхность /(х,у,г,~)=0 представляет собой гиперповерхность трех намерений в пространстве четырех измерений, то очевидно, что каждый ее элемент должен быть охарактеризован тремя независимыми направлениями. Найденные нами соотношения показывают, что основные уравнения газовой динамики действительно отображают движения слабых (звуковых) возмущений, возникающих в движущейся среде. Перейдем теперь к рассмотрению закономерностей распространения энтропийных возмущений. Уравнение адиабатичности движений при отсутствии источников поглощения или выделении тепла Офлаг = 0 показывает, что, поскольку $ ы хАРАИТГРистики уРАВнений РАзоВои динАмики 73 ИЯ = с,д )п Т + ~( — ЫУ, д7 (у (7.29) основные характеристические соотношения изменятся.
Исследование этого вопроса в самом общем виде не представляет принципиального интереса, и мы в дальнейшем рассмотрим основные соотношения в случае неидеального газа только для одномерной задачи. Здесь лишь укажем, что так как в случае твердых или жидких тел при адиабатических движениях энтропия меняется незначительно, то мы, как и прежде, вправе считать, что (7.30) Тогда, как легко видеть, основные соотношения вдоль характери- стической поверхности (7.18) примут вид +с '(ои)' + (па)'+ (йс)'+ сР = О, (7.31) Отсюда следует, что для рассматриваемой системы пяти уравнений, определяющих пять функций, мы будем иметь 15 независимых характеристических направлений.
Найденные нами выше общие соотношения вдоль характеристик не являются исчерпывающими при исследовании свойств уравнений и их решений, но эти соотношения отображают физический смысл явлений, имеющих место при распространении возмущений и помогают выяснить общие свойства и природу этих возмущений. Возмущения могут быть двух типов; волны сжатия и волны разрежения. В газовой динамике и акустике волнами сжатия называются такие движения среды, когда при движении наной-либо частицы среды давление в ней возрастает. В противоположном случае, когда при движении частицы давление в ней падает, мы имеем дело с волной разрежения. Таким образом, уравнения, взятые вдоль какой-либо характеристической поверхности ~(х, у, з, г) = = О, будут описывать волну разрежения или сжатия в зависимости от того, возрастает давление в каждом элементе среды при ее движении или, наоборот, падает.
Описание характерных особенностей волн сжатия или разрежения представляет большой физический и практический интерес. Ниже мы подробно рассмотрим свойства этих волн и характер их движения. Распространение энтропийного разрыва, который мы иногда в дальнейшем будем называть особым разрывом, совершенно не зависит от свойств среды; как мы выяснили выше, для любой среды энтропия в частице при адиабатических движениях всегда остается постоянной. В случае движения неидеального газа, поскольку [см.
(1.10)) 74 !гл. и МЕТОД ХАРАКТЕРНСТПК где В случае неадиабатических движений даже идеального газа характеристические соотношения принимают значительно более слоя!ный вид, и их исследование мы проведем опять-таки только для одномерных движений (см. 4 8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
