К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 13
Текст из файла (страница 13)
пойдет волна сжатия, а влево по течению, поскольку среда будет при увеличении скорости расширяться, что приведет к падению давления, пойдет волна разрежения. Состояние среды и поршня в каждый данный момент времени ~ ) 0 (после начала возмущающего воздействия поршня) мы обозначим справа у поршня через р„т„а скорость движения через и„состояние среды слева у поршня через рю ты причем скорость движения среды слева у поршня и, = и,.
Из рассмотрения характеристик очевидно, что заданная величина и, + ~ ф — Ыр, Ыт, = а, будет распространяться вправо по течению со скоростью (8.20) о 8> хАРАктегистики с дВУмЯ незАВисимыми пеРеменными 81 а заданная величина и, — >/ — др, с>у> будет распространяться влево против течения со скоростью ох Г о>Р— =и,— у> у й У о>о1 (8.21) то, поскольку дх = (дх/дЬ) дй + (дх/д/) й, где дх/дЬ = 1/р, дх/д/ = и, мы будем иметь Ых > о>А — = — — + и. р (8.23) При этом от соотношения дх/й = и +- с =- и + дЬ/р й, определя- ющего характеристики или закон движения звуковых волн в эй- леровом представлении, мы придем к соотношению — = >~-рс =+К, дй (8.
24) определяющему характеристики или закон движения звуковых волн в лагранневом представлении (здесь К есть импеданц). Для соотношения дх/й = и = СЬ/р й + и, определяющего закон движения каждой лагранжевой частицы, мы придем к тривиальному В этих выражениях не предрешается выбор вида уравнения изэнтропы р = р (у). Совершенно аналогичная картина будет иметь место в общем случае неадиабатических движений, прибавится только третье направление в плоскости характеристик (х, /), Нх/й = и, вдоль которого будет распространяться состояние (> = Д (х, /), причем величина >',> вдоль этой линии будет изменяться по определенному закону; зная х = х (/) = ) и й, мы смен<ем определить Д = (/ (х) или у = у (с) на этой линии.
В случае адиабатических движений, как мы уже неоднократно указывали, вдоль линии х = х ф = ~ий энтропия будет сохранять свое постоянное начальное значение. Рассмотрим теперь характеристики в лагранжевом представлении. Очевидно, что характеристические соотношения между р, р, с, и, 8 и >А в самом общем случае неадиабатических течений при этом будут иметь тот же вид, что и в эйлеровом представлении. Изменится выражение дх/й = и ~ с и дх/й = и.
Если взять за независимые лагранжевы переменные х <А, О> х <А, » Ь= ~ рода= ~ рдх и/, (8.22) х(о, о> х (о, !> 82 1гл. и метод ххглктвгистик выражению ««ЬЯ1 = О, что дает (8.25) Ь = сопз1. Таким образом, например, для неадиабатического течения мы бу- дем иметь следующие характеристические соотношения: Вдоль линии ««Ый = рс = К будет выполняться соотношение (р (-рс(и= — ( — ) ИЕ 1 /др'« или (8.26) К ( Ир= — '( — '") аЕ. Вдоль линии ЫЬ««й = — рс = — К будет выполняться соотношение ««р — рс««и = — «-с — «Й1 1 /др« ст ~ '«" «с (8.27) или ««р — К«(и = — ~ — ) ««ф Вдоль линии НЬ«й =О; Ь =сопзс будет выполняться соотношение (8.28) ТАЯ =й~ (или йр — с'Ир = — ~ — ) ФЗ).
1 «др« с„~ др «р зто соотношение в случае адиабатических течений показывает, что вдоль линии Ь = сопз1; «Ы = О и Ю = сопз1, откуда следует, что Я= Я(Ь). (8.29) Соотношения ««Ь«й = ~рс и Ь = сопз1 определяют характеристики в плоскости (Ь, 1), а выражения 1 «др ) +рс«(и —,' Ыр = — — «(«~ и Т «(Я =Й~ определяют по-прежнему характеристики в пространстве р; р; и. Симметричные движения среды Перейдем к определению характеристик в случае движений, обладающих осевой и центральной симметрией. Поскольку основная система уравнений в этих случаях может быть написана $ В1 хАРАктвРистики с дВУмЯ нГВАВисимыми пГРвмГнными 83 в виде (2.2$): а» ач 1 ар — + и —,+ —— аС аг р дг О .с.. и — +о — + ар ар ди ас дг ' ' дг лсир =0| г (8.30) ~дТ с е — =Т вЂ” с с/с дс (последнее уравнение получено из выражения ссЧ == Т с/8 в фор- муле (1.4) и из выражения (1 10) для с/Я), то после исключения с(р из второго уравнения с помощью третьего придем к системе урав- нений, более удобной для исследования: ди ди 1 др — + и — + — — =О; дс дг р дг др др ди ЯрРи 1 с др ~ с/С/ и +рсс + дс ' дг ' дг г с (, дТ )р дс дЕ ,Ы вЂ” =Т вЂ”.
ссс с/с (8.31) Напишем уравнение характеристической линии в виде,' /(Г, с)=0 Из первых двух уравнений системы (8.31), как и прежде, получаем такие характеристические соотношения: д/ д/ д/ Мирсс сС/ 1 С др 1 ср = — + и — = + с —; с/рр рсс/сс+ дс дг — дг г ср с, ~дТ,Ср Отсюда следует, что с/г вдоль линии — = и+ с выполняется соотношение сСс др, /С/ис 1 С др ~ сСО с/и+ — + — с/С = — ~ — ) —, рс г с дТ ~с рс с/г а вдоль линии — = и — с — соотношение ш (8.33) с// д/ д/ Поскольку — = ср = — + и — то последнее выражение при- Ш дС дг нимает вид — ~ дТ,) Асирсс 1 с др ~ (8.32) МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК <гл.
ы Энтропийные возмущения переносятся со скоростью среды. В случае изэнтропических или политропических течений при уравнении политропы Р = А (Р" — Ра) эти уравнения принимают вид с) ( и + с1 + — с)< = О; ~ <) (и — — с) — <)< = О. ! а<г при — = игс а<) Ыг при — = и — с И< г<И, а) 1 <и, )) Ь ) Р~Л)т <И ~ рг~ <<г а <а. а) а <а, О и воспользовавшись выражением «эг ли эг и мы определим, что вдоль линии Йг ,<и — =и+с= и<- 4< Ргк «<< которая в лагранжевом представлении имеет уравнение ни — = + рсги<, должны выполняться соотношения (8.35) <йи-+( ~ + — <)с) = Π— Ра ' г и что вдоль линии Игlй = и, которая в лагранжевом представле- яии имеет уравнение /и =- сопя<, энтропия Я постоянна: при й = сопзс Я = сонэ<.
(8.36) Эти уравнения показывают, что характеристики основной системы уравнений не являются прямыми линиями ни в плоскости (и, с) ни в плоскости (г, <) На достаточно больших расстояниях от оси или центра симметрии член Лис/г становится достаточно малым и характеристики в плоскости (и, с) приближаются к характеристикам одномерных движений газа. Легко может быть получена также лагранжева форма этих характеристик. В качестве примера рассмотрим характеристики адиабатических движений. Выбрав з 8) хАРАктеристики с дВУмЯ незАВисимыми пеРВменными 85 Эта форма характеристик' весьма неудобна и подтверждает высказанные выше соображения о неудобстве пользования лагранжевыми представлениями при решении задач неодномерного течения среды.
На этом мы закончим исследования характеристических выражений для классических типов неустановившихся движений газа. Движение газа в поле тяжести д = д (г) (или д = сопзь). Более тщательное и строгое исследование вопроса о движении газа в поле тяжести при рассмотрении некоторых частных задач будет дано в главе Х1П. Итак, мы будем рассматривать систему уравнений (2.25), в которой уравнение неразрывности напишем в форме (2.22) при Р = и> = О ди ди 1 др — + и — + — — =а(1); д~ дг ' р дг др др зг ди Фи1 — + и — +рсз~ — + — )=О; дс д.
~ д. — = О. (8.37) Полагая р = ар", мы тем самым приближенно допускаем, что среда движется адиабатически. Поскольку частицы среды получают дополнительное ускорение д, то, переходя к системе координат Л=г — 1)д(~)йй, где Л вЂ” новая независимая переменная, и вводя скорость а = и — ~дй, мы будем вправе рассматривать движение газа вне поля тяжести.
Соответствующие уравнения Рассмотрим движение газа в поле тяя(ести. Напомним, что при атом в уравнение сохранения энергии входит дополнительный член, характеризующий величину потенциальной энергии, что при любых гравитационных полях сильно усложняет систему основных уравнений, повышая ее порядок. Мы будем допускать, что в рассматриваемой области движения давление среды является функцией только ее плотности. Стоящая справа в уравнении движения величина ускорения силы тяжести в общем случае зависит от г и ~.
Это сильно усложняет задачу, поскольку все частицы среды получают дополнительное и переменное ускорение. Вследствие этого мы ниже ограничимся рассмотрением случая симметричного движение газа, считая [гл. и МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК при этом примут вид да да , 1 др др др — -с-а — —,' — — =0; — ь а — + дс ' дЛ ' р дЛ ' дс ' дЛ да Фи 1 +рса(и — + — ) = 0 дЛ р,) дд дд — + и — =О. дс дЛ (8.38) Отсюда получаем характеристические соотношения для данной системы уравнений; на линиях с(В/й = а ~ с должны выполнять- ся условия с(а+( — + — Й) = О, С Ыр уис — ~рс х (8.39) нли, переходя к старым переменным, можно утверждать, что на линиях НГЮ = и ~ с имеют место условия с(и — д й + ~ — + — й ') = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
