К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Аналогичное рассуждение можно провести для вычисления количества движения в звуковой волне. Импульс или количество движения в случае распространения звука в конечном объеме пространства, так же как и энергия, отличны от нуля и являются величинами второго порядка малости, т. е. пропорциональны р'и — р' — и'. Ниже, в конкретных случаях распространения плоских цилиндрических или сферических волн, будет определенавеличина количества движения. Легко понять, почему для слабой авуковой волны полное количество движения отлично от нуля. Дело в том, что в области сжатия в направлении распространения волны двил1ется масса лз + и' со средней скоростью й, а в области разрежения приблизительно с той же средней скоростью движется масса т — т' в противоположном направлении; таким образом, наблюдается перенос массы 2т' -- р' со скоростью й — р' в направлении распространения волны.
Перенос массы как раз и свидетельствует о том, что в звуковой волне импульс отличен от нуля. 59 ВАРИАЦИОННЫИ МЕТОД ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ з 6. Варпационный метод вывода уравнений газовой динамики Основой вариационного метода вывода фундаментальных уравнений математической физики являются так называемые уравнения Лагранжа. Здесь мы рассмотрим основные вариационные методы, используемые в теории поля. Поскольку сплошная среда эквивалентна некоторому полю, то вариационные уравнения теории поля могут быть использованы для вывода основных уравнений механики сплошной среды.
В основу вариационяого вывода законов сохранения энергии- импульса и уравнений движения в этих случаях, как известно, кладется следующий формализм. В случае движения материальной частицы под действием. консервативных сил варьируется так называемая функция Лагранжа А~, а в случае поля или сплошной среды ищется так называемый лагранжиан (плотность функции Лагранжа), являющийся скаляром: (6.1) где ЫЧ = — г)х Оу г(з — объем. В случае произвольного пространства с любой произвольной криволинейной системой координат используется так называемая скалярная плотность лагранжиана х,' =- ~à — дЬ, где у — детерминант, составленный из компонент метрического тензора. При этом метрика пространства задается интервалом — яз' = ушдх'дх, (6.2) где дш являются компонентами четырехмерного метрического тензора; при этом если только пространственная сетка криволинейна, то — сЬз = — сздг' + д„з Зх" Зхз, (6.3) где д,в являются компонентами трехмерного метрического тензора.
Иными словами, в этом формализме используется аппарат, аналогичный аппарату общей теории относительности. Зная плотность функции Лагранжа, ищем действие (6.4) которое по определению также является скаляром. В равенстве (6.4) ой = дх ду оз М = ЫЧ й есть элементарный 4-объем.
Затем ищется экстремум (минимум) действия; при этом необходимо положить, что (6.5) 66 мАтемАтический и теРмодинАмический АппАРАт ~гл. 3 откуда получается следующее вариационное уравнение: — д5' = ~ ( — бу+ — бу;+ — бац,) Ый, (6.6) где дМ дМ дчм (6.7) дд дхз дЧ; дх'дх" ~,дд,.~! Вычислим теперь (используя теорему Эмми Нетер) в декартовой системе координат Н. дЬ дп дЬ дх' дт дтз дзы 91+ Дм + — Рлм Исключив дауду из (6.7), получим уравнение дТ,". — '=О, дхх (6.8) где и дЬ д дЬ дЕ, т, =6",Т, (6.9) дх~ дЧМ дзм В общековариантной записи уравнение (6.8) заменяется на Тц х = = О, что дает д (У хтд,ук~ ддх У вЂ” х дхх З дх' (6 гО) Тензор Т; является тензором энергии-импульса рассматриваемого ь поля.
Уравнения (6ЛО) дают законы сохранения импульса и энергии, а такясе определяют законы движения и оплошности (неразрывности) среды. В случае идеального газа для адиабатических двпжепий единственным скаляром, характеризующим этот газ, является давление р. Таким образом, можно утверждать, что лагранжиан сплошной среды равен А = р.
Тензорная плотность лагранжиана Ы = 'г' — Ф = 'г' — КР. Из уравнения (6.9), считая за о величину Я и полагая дм Зх М вЂ” Рч Ыр — = — х( рд'"я; ях, я; = — ' [см. (6.г6)), легко находим тензор энергии-импульса сплошной среды: Т,' =(р+ е) и,и" + 6('р. где рол = дфдх', оц, — — дхфдх'дх", а о являются независимыми обобщенными координатами. Сделаем некоторые преобразования, используя теорему Гаусса и полагая, что на гиперповерхности бд = О и брал = О.
Получим уравнения Лагранжа — Эйлера < 6] ВАРИАЦИОННЫИ МЕТОД ВЫВОДА УРАВНЕНИИ 61 Из уравнения Гамильтона — Якоби для материальной точки легко получить аналог этого уравнения для сплошной среды. В самом деле, напишем уравнение Гамильтона — Якоби: дУ дУ К< + 2соа = тлсл = дао даа са ' (6.11) где Š— энергия материальной точки, г — действие для мате- риальной точки, равное Оч = — тсл~~ 1 — —, <й = — тс')<Ь, а г — интервал. Отнесел< действие к единице массы (энергии); тогда Б = Ь'/т и уравнение (6.11) примет вид й<»Я<Я» — — долго+ даз~«Яз+ 2йоаЮ« = — с' (6 12) где г< = дг/дх< и т. д. Так как для интервала (6.3) лоо = — 1, ео" = О, то Яол + д з$„36 = — с'.
Иа релятивистских термодинамических уравнений известно, что в случае сплошной среды энергия, приходящаяся на одну частицу, равна Е = тс' — -ти< = ( — 1 (6 13) 1 до,<а где <с = < + с — релятивистскоетеплосодержание единицы полной массы (включая внутреннюю энергию), с — энтропия и ив число частиц в единице объема. Из (6.12) и (6.13) имеем (6 14) тлс с Так как где Из второго соотношения (6.16), умножая скалярно на р' = = д<»р», сразу будем иметь уравнение <со<со = ф»Я<Я», так как и;и' = — 1, ы дУ дУ / дУ <о дУ дУ соо + ссаэ да< д» (,д* ) даадаэ < а 5'<а р<=тси<=тс —; иа= —; «г ' сз а О= 1»,' 1 — —, и =Р„Р"=Ь'.З »в с а р' — компоненты импульса частиц, то, имея будем иметь <С <с Я<=Р<= — и', О'< а Р<=— с С Рапэ (6.15) в виду, что с' — > <с, ио (6.16) Перейдем к классическому пределу, полагая, что с — > оо.
При этом положим Я = ф — с"С = ср — схе, нс = с + сэ, где классическое теплосодержание. Тогда уравнение (6.14) примет вид — = сР, = — ~ с + —,д»з ф„фз1 = — ) с + — 1 . (6 17) Скалярная функция ф является потенциалом скорости. Уравне- ние Лаграннса (6.7) напишем теперь в виде д(р' — д') ' д(р' — хй ' дФ вЂ” д') 0 618 Так как компоненты д»д не зависят ни от ф, ни от (, а лагранжиан не зависит от ф, а только от производных ф и яс — — фс — сз и так как ссЯс = осфс, а Я„= ср„и, далее, оср = с(ссч, то (6.18) перейдет в уравнение Так как 1 „т дс дс с = — (ср, + —, К"д ф„фа~~; —. = — 1; — —.
= ф" = Д "з фа, то уравнение (6.19) примет вид др Э(рс») д 1и Рс — д дС дх» дх» (6.20) (уравнение неразрывности в кривом 3-пространстве). Так как скорость звука, которую мы обозначим в этом параграфе через ы, определяется соотношением со' = с(рсс(г =- Йсс( 1п р, то перепишем уравнение (6.20) в виде или, поскольку ср" = д зфз, дс дсР дс с Г Сдд» д!п Рс — Ю» фе е»з +ыс фз + Р»з)+Д»з — 1=0. дс дх",) д»» ! Так как дс — „= — ~ф«+ —., а" (ф,ф.) 1, 1 62 мАтемАтическии и теРмодинАмический АппАРАт (гл.
с ГЛАВА 11 ИССЛЕДОВАНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ МЕТОДОМ ХАРАКТЕРИСТИК 5 7. Характеристики уравнений газовой динамики ди йи ди ди 1 др — +и — +и — +и — + —— дг дх ду дг о дх ди ди ди ди 1 др дг + дх ду дг р ду дш дш дш дш 1 др — +и — +и — +и — + —— дс дх ду дг р дг др др др др ( ди ди дш') дг дх ду дг ~ дх ду дгг — -+и — +и — + и — +р( — + — + — ) =О; (7.1) =0; Последнее уравнение вытекает из (1.2г). В неподвижной среде малые возмущения (например, малые изменения давления или плотности) распространяются во все стороны со скоростью звука. Прн этом, если среда неоднородна и скорость звука зависит от координат, то для определения закона движения фронта, распространяющего возмущения, следует В этой главе мы рассмотрим методы исследований уравнений, полученных в предыдущей главе, и продолжим изучение закономерностей движения среды.
Исследование уравнений и рассмотрение точных решений начнем с классического случая адиабатического движения среды в отсутствие поля тяжести. При этом рассмотрим сначала движение идеального газа и укажем некоторые обобщенные методы исследования и решения уравнений, опхсывающих изэнтропические движения плотных сред. Изучение движения идеального газа представляет наибольший интерес в целом ряде как чисто газодинамических исследований, так и в ряде физических наук: в астрофизике и космогонии, в теории взрыва и метеорологии.
Для исследования физических закономерностей движения газа и вообще любой среды наибольшее удобство представляют уравнения, написанные в форме Эйлера. При этом для самых общих исследований предпочтительно пользоваться прямоугольной системой координат. В этой системе координат основные уравнения, характеризующие адиабатическое движение идеального газа, как это показано в главе г, имеют вид э л хАРАктеРистики УРАвнений ГАЭОВОЙ динАмики 65 воспользоваться уравнениями сх Ыу Нг — =хо; — '= рс; — =Тс, сс ' ~й ' нс (7.2) где (7.3) с=с(х;у; г) есть местная скорость звука, и, 'р, 7 — направляющие косинусы скорости в заданной точке поверхности фронта возмущения. Решение этих уравнений при заданной функции с = с(х; у; з) и начальных условиях (при заданной точке воамущения) определяет некоторую гиперповерхность /(х; у; з; с) = О, (7.4) являющуэося поверхностью фронта воамущения.
В более общем случае, когда среда движется и скорость движения в различных местах среды и в рааличные моменты времени раалична, скорость перемещения малых (звуковых) возмущений Р, которые можно назвать также звуковыми волнами, будет в каждой данной точке складываться иа местной скорости движения среды и местной скорости распространения звука; скорость возмущения будет определяться тремя дифференциальными уравнениями: Ых — = и+хс; сс — = э+Рс; дя сг — =и "Тс' ш (7.5) где с(х/дс, с/у/с(с, с(г/М вЂ” проекции скорости Л распространений фронта возмущений на соответствующие координатные оси, а компоненты скорости и, э, ю и с являются в самом общем случае неустановившихся движений среды функциями х, у, г, 8; как и в (7.2) а, р, 7 — направляющие косинусы нормали к поверхности фронта.
Реальное значение имеет проекция скорости перемещения фронта возмущений на направление нормали к фронту в данной точке. Эта величина определяется соотношением Рх эа (7.6) где э„— проекция скорости на то же направление. Величина ско- рости звука с при этом определит скорость распространения фрон- та возмущения от одной частицы среды к другой в этом же на- правлении, [гл. и МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК Решение системы уравнений (6.5) при заданном начальном условии и известном режиме движения среды и определит гиперповерхность /(х; у; г; г) = О, которая явится поверхностью фронта возмущения или поверхностью фронта звуковой волны, распространяющейся от источника возмущения. В том случае, когда движение среды не определено, мы не в состоянии решить систему уравнений (7.5), поскольку не знаем конкретного вида функций и, о, ю и с от х, у, г и г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
