К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В прямоугольной системе координат х, у, г эти уравнения имеют вид ди ди ди ди 1 др — + и — + х — + ис — + —— дС дх ду дг р дх дх дх дх дх 1 др — + и — + х — + ис — + —— дс дх ду дг р ду дв дв дв дв 1 др — + и — + э — + ср — + —— дс дх ду дг р дг др др др др С ди , дг дв — + и — + х — + ис — ' + р ( — + — + — ) дс дх ду дг ( дх ду дг,) дд дЯ дд , дд — + и — + э — -'- ис— дс + дх ' ду ' дг Я = Я(р, р) или р = р (р, Я); =О; ди ди — +и — +э дс дх дх дг — +и — +Р дс дх — +и — +х — + др др др дС ах ду дЯ вЂ” + дс аи 1 ар =О, ду + р дх дг 1 др — + —— ау р ау =О, (2.14) дд дд и — +ив дх ди (2.13) первые три из этих уравнений суть уравнения движения, четвертое — уравнение неразрывности, пятое — уравнение энергии, шестое — уравнение состояния; и, э, ис оаначают проекции скорости Р на оси х, у, г соответственно.
В дальнейшем эти уравнения будут использоваться в различных формах. Полагая в (2 13) ис = О и считая равными нулю все частные производные по г, получим уравнения плоского движения: ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА Приравнивая в этих уравнениях нулю компоненту скорости Р и частные производные по у, придем к трем уравнениям одномерного движения. При решении различных задач членам, выражающим проек- 1 др 1 др 1 др ции градиента давления — — , — — , — †,придают различр дх 'р ду ' р дг' ную форму. При изэнтропическом (политропическом) течении идеального газа по формуле (1.42) имеем — = с гг 1п р = г21, ир Р (2.15) для идеального газа теплосодержание г выражается формулой (1Л8): (2Л6) Используя формулу для скорости звука ггр/с(р = с', можно вырадр вить член — — в следующих видах: р дх 1 др д1 1 с1р др 1 г др з.
д ц р д с а с а 1 и Р ( 2 1 У ) Далее, с помощью формулы (2Л6) можно получить 1 др дг 2 дс р дх дх х — 1 дх (2Л8) — 1п р + и — 1п р + и — 1п р + иг — 1п р + — + — + д д д д ди дс дг дх ду дг ах ау + — =О. дх (2.19) Уравнение неразрывности можно выразить не только через плотность р, но и через скорость звука с, через теплосодержание 1 и через давление р. Используя формулы (2Л5) г(2Л6) и си = —" = др =. оггр"-г, легко получить следующие три формы уравнения неразрывности: дс дс дс дс х — 1 /ди дс дх '1 — +и — +и — +иг — + с( — + + — )=О, дг дх ду дг 2 ~ дх су дг ( (2.20) 1 др 1 др Аналогично могут быть выражены члены — — и — — . р ду р дг Различные формы можно придать также уравнению неразрывности.
Четвертое уравнение системы (2ЛЗ) может быть после деления обеих частей на р выражено в виде 28 мАтемАтическии и термодинАмическии АппАРАт [Гл. с Рис. 1. через ОМ' и вектор т (рис. 1), уравнения газовой динамики име- ют вид х ди + иди хс+юс 1 др О, гвшВ дср + гдВ г р дг х дх юдх их хю с!е В гвшВ др + гдВ г + г Р О. ар рг в[в В дср х дю юаю ию хв с[я В гми а дср гд9 г г + — — =О; 1 др рг да х др юдр [' ди 1 дх ге[Ее дср гдВ + ( дг ~ гв[ЕВ дср + 1 дю 2и ю + — — + — + — с[йЕ) =О; аа дЯ да х да ю да дс + дг ) г вша дср + г да Я = Я (р, р) нли р = р(р, Я); ди аи — + и — -с- дС дг дх ди — +и — + дс дг аю, а дс С дг — +и + др др дс дг О; ! (2.23) дс дс дС ат в/ ди дх дю ! — +и — +Р— +сс — + с'~ — + — + — ) =О, дс дх ду дс ~ дх ду дс,) (2.21) др др др др в / ди дх дю ! — +и — +Р— +ис — +рс'.( — + — + — ) =О.
дС дх ду дс ( дх ду дс,[ (2.22) В сферической системе координат г; ср; В, где г — радиус-вектор, ср — угол в плоскости ху, Π— угол в плоскости, проходящей 29 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 1 21 здесь и; Р; иг — компоненты скорости по направлениям г; ср; О, В цилиндрической системе координат г; ср; г, где г — радиус- вектор в плоскости гср, ср — угол в этой плоскости, г — высота, уравнения газовой динамики имеют вид ди ди и ди ди иг 1 др — -с- и — + — — + ис — — — + — — = О; дс дг г дср дг г р дг дг ди и дг ди ии 1 др — + и — + — — + сд — + — + — = О; дс дг г дФ ' дг г рг дФ дм ди и дм ди 1 др — + и — + — — + ис — + — = О; дс дг г дср дг р дг др , др , и др др ! ди 1 ди дгг — + и — + — — + сд — + р ( — + — — + — + дс дг ' г д~р дг ( дг г дср дг ++)=' дЯ дг и дд дд — + и — + — — + ис — = О; дс дг г дср д Я = Я (р, р) или р = р (р, о'); (2.24) здесь и, Р, ис — проекции скорости на направления г, ср, 2.
В случае одномерных движений, а также движений с осевой (цилиндрической) и центральной (сферической) симметрией все параметры среды зависят от одной пространственной координаты и уравнения газовой динамики имеют вид ди ди 1 др — +и — + — — =О; дс дг р дг др др , ди Асри — -с- и — -с- р — + — = О; дс ' дг дг г дд дд дс дг +и — =О; Я = Я(р; р) или р = р(р; Я), (2.25) где Лг = О для одномерных движений, Лс = 1 для движений с цилиндрической симметрией и Лг = 2 для движений со сферической симметрией.
Эти уравнения могут быть получены иэ (2.23) и (2.24) .. Иногда все три указанных типа течений называют одномерными. В уравнениях (2.23), (2.24) и (2.25) также будут меняться и число измерений, и члены, выражающие проекции градиента давлений. Напишем, например, уравнения плоского движения в полярных координатах. Для этого положим в уравнения (2.24) сл = О; положим также равными нулю все производные по з; далее положим и = и; Р = ис; ср = 8, СО ИАтемАтический и теРмодинАмический АппАРАт 1гл. 1 Члены — и — — возьмем в форме (2.18).
Тогда из 1 др 1 др р дг р де уравнений (2.24) получим ди ии + 2с ар О, аЕ ° + Ь 1 аг и си 2 с др + — + — — — =О; г Сс — 1 г де ди ди ис — +и дс дг дсг дис ю дис — +и — + —— дс дг г де др др сг др — + и — -1- — — -сдс дг г де (2.26) Последнее уравнение можно также написать в виде др1гдд -Ь вЂ” + — ~ — ( р)-à — де (р )1 =О. (2.27) В тех случаях, когда параметры, определяющие движение и состояние среды, зависят от времени, движение среды называется неустановившимся (или нестационарным). В самом общем случае пространственных неустановившихся течений мы имеем систему шести уравнений, определяющих шесть искомых параметров р, р, Б, и, Р, ис как функций трех пространственных координат и времени.
Если зти параметры не зависят от времени, то движение среды называют установившимся (стационарным); при этом производные указанных параметров по времени обращаются в нули и система уравнений, описывающая установившиеся движения, заметно упрощается, поскольку искомые параметры зависят только от трех пространственных координат. Систему шести уравнений, как уже укааывалось, легко свести к системе пяти уравнений, определяющих р, р, и, Р, и или р, Я, и, Р, ис, используя уравнение состояния в той или иной форме. Пользуясь уравнениями движения в прямоугольной системе координат, легко перейти к уравнениям, определяющим движение среды в форме Лагранжа, чему посвящен следующий параграф. Основными начальными и граничными условиями при использовании уравнений газовой динамики в форме Эйлера соответственно являются заданное распределение скоростии параметров среды в начальный момент, т.
е. при с = О, и распределение скорости и параметров среды во времени на заданной поверхности. В частности, на твердой неподвижной стенке нормальная составляющая скорости ги должна быть тождественно равна нулю для любого момента времени. На границе двух неперемешивающихся сред должны быть равными нормальные к границе компоненты скорости и давления для обеих сред.
1 з1 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА $ 3. Основные уравнения газовой динамики в форме Лагранжа ди д'х 1 др да дау 1 др дс дп р дх дс дх ' дС дп р ду дас 1 др дп р дс (3.1) Эти уравнения аналогичны уравнениям Эйлера. При дифференцировании параметры а; Ь; с следует считать постоянными. При наличии поля тяжести в правой части уравнений (3.1) должна стоять величина проекции ускорения у на соответствующую координатную ось. Необходимо заметить, что производная от любой функции координат и времени по времени для заданной частицы равна сср др др др др с'др ) — = — +и — +Р— +ю — =( — ) сСС дС дх ду дс (дС/~за где Р = Р(х, у, з, 1) — любая функция. В частности, например, для функции и(х, у, 1) имеем аси ди ди ди ди с'ди 1 — = — + — и+ — Р+ — и=( — ~ сгс дс дх ду дс ( дс ~а, а,а' Вывод уравнения неразрывности в форме Лагранжа отличен от вывода его в форме Эйлера.
Пусть в начальный момент времени плотность некоторой фиксированной частицы есть р,; тогда масса среды, содержащаяся в элементарном объеме ссур — — Ыа ссЬ с1с этой частицы, есть сст = р, с(а ссЬ ссс; в некоторый момент времени 1 эта же масса будет определяться соотношением Ыт = = р ссх ссу ссз, где р — текущая плотность в окрестности заданной частицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
