К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 3
Текст из файла (страница 3)
При отсутствии источников выделения или поглощения тепла движение среды является адиабатичесхим; если при этом в среде отсутствуют диссипативные явления, то энтропия данной частицы постоянна: г/Я/й = О. В случае постоянного числа частиц имеем 14 ИАтематический и теРмодинамическнй АппАРАт (гл. 1 откуда следует удобное для запоминания и полеаное для ряда выкладок тождество д(Т: д) д(р, ч) связывающее основные термодинамические параметры Т, Я, р, ч. Применян полученные соотношения, выведем тождество, которое будет использовано в дальнейшем.
Будем исходить иа тождества ( ) др ) 'д(р; Т) д(ч;Я) дч (т д(ч;д) д(ч;Т) Раскрывая якобианы и используя соотношение дЯ (дч') (дч )т (др )ч ~( дТ )и и равенство (1.12) придем к соотношени1о Под уравнением состояния среды обычно понимают соотношение, связывающее какие-либо три из четырех неаависимых переменных) р, ч, Т, 8. Уравнение состояния, связывающее р, ч, Я или р, Я, Т, является при постоянном Я уравнением изэнтропы.
Для целей газовой динамики удобно пользоваться уравнением состояния вида р = р(р, Я) или вида Л = Я (р, р), однако мы часто будем испольаовать и уравнение состояния вида р=р(ч,Т) ивидаТ =Т(р, Ю). Зная уравнение состояния вида р = р (ч, Т), легко определить уравнение состояния вида р = р (ч, о) и при 5 = сопзФ уравнение изэнтропы. При этом мы сделаем одно замечание, касающееся условий адиабатичности движения. Среда, в которой отсутствугот теплообмен и источники выделения или поглощения тепла, совершает адиабатические движения, но в случае учета диссипативных сил, например сил вязкости, энтропия каждой частицы среды будет увеличиваться со временем вследствие того, что часть механической энергии среды (энергии ее направленного ! О ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 15 с!Е = с~йТ, где с, постоянно, что и имеет место для строго идеального газа; интегрируя, получим Е = с„Т, (1Л4) при атом из соотношения (1.8) видим, что ,(ар) р = Т)(ч), откуда (1.15) где ~(ч) — произвольная функция удельного объема.
Обычно в более строгом классическом понимании идеальным газом является газ, подчиняющийся уравнению Клапейрона рч =ВТ, (1Л6) т. е. газ, для которого функция )(ч) в уравнении (1Л4) равна В/ч, где (1Л7) В= с„— сч — универсальная газовая постоянная. Для идеального газа, подчиняющегося уравнению Клапейро- на (1.16), имеем движения как целого) перейдет в тепловую энергию хаотического движения молекул, что будет свидетельствовать о необратимости процесса движения среды в целом. Движение среды в этом случае не будет удовлетворять условию постоянства энтропии частицы дЯЯР = О, но, поскольку мы условились не учитывать никаких диссипативных''процессов, действующих в среде, то под адиабатичностью движения будем понимать именно движения, для которых иЯ!!! = О.
Движения, для которых Я = Я, = сопз1, причем постоянная Я, везде одна и та же, мы дальше называем изэптрои ичесеими. Займемся рассмотрением основных видов уравнения состояния для газов, жидких или твердых тел. Рассмотрение начнем для идеального газа.
Идеальным газом называют такую среду, в которой отсутствуют внутренние силы взаимодействия между молекулами и можно пренебречь влиянием собственного объема частиц, т. е. для которой внутренняя энергия не зависит от объема при постоянной температуре: (ОЕ(гсч)т = О; отсюда из (1.7) следует, что 16 ИАтемАтическин и теРмодинАмический АппАРАт [гл. 1 Используя формулы (1 14), (1.16) и (1.17), получим следующее выражение внутренней энергии: Рч а — т (1.18) рч' = о(Я), откуда мы получаем уравнение Пуассона при Я = сопз$, р/рз = о = сопз$. Уравнение состояния, связывающее непосредственно значение энтропии, удобнее написать, пользуясь соотношением 118 = с,,111п Т+ ( — ") 1)ч = — с,й1п Т+ ЛН)пч = с,111прч", (1.19) откуда з-э, — =рчт=е" =5(Я), К (1.20) где Я, — некоторое начальное значение энтропии, функция о = о(Я) выражает некоторое относительное изменение энтропии.
Уравнение адиабатичности (изэнтропичности) движения оЯ11й = 0 при этом примет весьма простой вид — = — О, или р=ор", Ыт д (рч') (1.21) или — (рчз) + и ° дгай (рч") = О. д (1.22) В случае, когда среда не является газом, а по своим свойствам скорее приближается к твердым или жидким телам, уравнение состояния среды можно написать в виде р = Е(ч) + 0(т)((ч), (1.23) где Ф (ч) описывает потен11иальную компоненту давления, возникающую благодаря силам взаимодействия частиц среды, а член О(Т) ) (ч) описывает тепловую компоненту давления, возникаюшую за счет движения частиц.
Для решения ряда задач (в диапазоне давлений до 10ч кг1св' и температуре до 10' градусов) и притом с большой точностью можно принять 0(Т) = Т; тогда уравнение (1.23) принимает более где л = срlсч = 1 + Л/с, есть так называемый показатель степени изэнтропы; при вычислении ( — др!дч)з пользуемся равенством (1.9); поло>кив в этом равенстве СЯ = О, находим (дТ(дч)з, уравнение изэнтропы Пуассона получается интегрированием выраже- ннЯ ( — дР(дч)з = 'ЕР1ч, что Дает 3 !! Основные тегмодинамические соотношвния 17 простой вид р = Ф(ч) + Т1(ч). (1.24) В этом случае ( —,';) =л); /)Е = Т/(Я вЂ” р/(ч = е,/1Т вЂ” р/)ч + Т~ (ч) /Ь = САТ вЂ” Ф (ч) /(ч. Отсюда, считая сч не зависящим от температуры, получаем Е == е, Т вЂ” ~ Ф (ч) Ьч; (1.25) если с, зависит от Т, нужно писать Е = ~ еч/)Т вЂ” ~Ф(ч)/)ч или брать среднее значение с„= с, в данном рассматриваемом интервале температур. Далее ив выражения дифференциала энт- ропии: /18 = ечд(1п Т) + /(ч)Йч имеем Я вЂ” Я, = с„1п Т + ~ /' (ч) /(ч.
Исключая из (1.21) и (1.23) температуру Т: (1.26) Т = " = а (ч) р — (1(ч), где х = 1ф р = Фф придем к уравнению состояния вида ' = 1п (ар — Я + — еч )(ч)/)ч, еч (1.27) которое для дальнейшего использования удобнее написать в виде в-зч ! — — ) / !ч/Еч р ф(ч) +/е чч е ч (1.28) Для большинства типичных жидких и твердых тел (вода, металл) тепловая компонента давления при обычных условиях, т.
е. не очень высоких температурах, значительно меньше, чем потенциальная Т/ (ч)/'Ф(ч) а= 1, и в процессе дви!кения среды температура мало иаменяется, а поэтому, как показывает соотношение (1.26), изменение энтропии в процессе движения среды также не должно быть значительным. В случае совершенно несжимаемых сред энтропия всегда постоянна при постоянной температуре. Это обстоятельство объясняется тем, что, рассматривая несжимаемую среду, находящуюся до начала двин!ения в состоянии теплового равновесия, т. е. имеющую везде одинаковую энтропию, мы не 18 мАтемАтический и теРмодииАмический АппАРАт игл.
1 можем совершить иад ней никакой внешней работы, так как — 1р йч = О, поскольку 3Р = О. Так как при этом Е ~Е(Т), то г1Е = И0 = Т 38 = с, йТ; таким образом, в случае адиабатических движений внутренняя энергия остается везде постоянной, остается постоянной также температура среды и ее энтропия.
Если несжимаемая среда до движения не находилась в тепловом равновесии, то условие адиабатичности движения примет вид Ы дя ЫТ дт — + п.раб Е = 0 или — = —, + и втаб Т = О. й д~ й д~ (1.29) Из этих рассуждений следует, что с большой степенью точности в случае малосжимаемых тел при чисто адиабатических процессах можно пользоваться уравнением состояния вида р —. Ф(ч), (1.30) которое будет одновременно выражать уравнение адиабаты, поскольку Ю = сопз$.
В случае сильно сжатых газов (таких как, например, продукты детонации) и для твердых и н<идких тел при весьма больших давлениях пренебрегать изменением энтропии уже нельзя. Поскольку условие изэнтропического движения мы можем написать в виде ИЯ/В = О, то отсюда следует, что ~ Р— Я В огромном большинстве задач газовой дииамики уравнение состояния можно написать в значительно более простом и удобном для использования виде, чем (1.28), полагая, что (1.32) р = А(Я)г" (ч), где г(ч) обычно задается в виде, рекомендованном еще Тетом: г'(ч) = ч " — ч," = р" — р,"; (1.33) здесь и — показатель политропы, ч — начальный удельный объем среды, рз — ее начальная плотность.
Начальная плотность выбирается так, что при р = р, давление также равно начальному, которое часто принимают за нуль. Поскольку заметное макроскопическое движение среды внутри твердых и жидких тел или весьма плотных газов ввиду их малой сжимаемости может происходить лишь при весьма высоких давлениях, порядка сотен тысяч атмосфер, то вполне допустимо пренебрегать начальными давлениями, порядок которых в обычных условиях не превосходит нескольких ег!См'. Эти сообра- $11 ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ 19 жения применимы, например, к воде на глубине 10 км; даже при давлениях порядка 1000 кгlсм' такое пренебрежение еще вполне допустимо.
Итак, мы в дальнейшем при решении ряда задач будем пользоваться уравнением состояния вида р = А(Я) (р — р",). (1.34) В этом случае условие адиабатичности движения примет сравни- тельно простой вид Р Р Ре = О. (1.35) Уравнение политропы при этом есть А(рч р~~) (1.36) с =~ ) Часто пользуются также величиной причем величина рс = К (1.38) называется акустическим импедапцем. В заключение следует еще отметить соотношение еи = Т дЯ+ т е(р = Т ЫЯ+ сЧ1п р (1.39) при Я = сопзс, е(1' = сег( 1п р, (1.40) где А = сопзФ. Назовем это уравнение уравнением обобщенной иаэнтропы.
Для исследований и преобразований уравнений газовой динамики снова необходимо ввести весьма важнуго величину, позволяющую легко устанавливать физический смысл решений уравнений, а именно местную скорость звука с. Квадрат скорости звука определяется как частная производная давления по плотности при постоянной энтропии: 20 мАтемАтическин и теРмодинАмическин АппАРАт [гл г что для идеального гааа дает следующее выражение теплосодержания: (1.41) Следует также привести полезное для дальнейшего преобразование ИР с дР 0Я 2 сЯЯ Р вЂ” = сЧ1пр+ — — = — сдс —, (1.42) ду р А — с А(Ь вЂ” $)с при этом Я-Яа с' )сс 'с рс-г (1.43) Аналогичные преобразования имеют место и для произвольного уравнения состояния. В дальнейшем по мере надобности мы будем приводить некоторые дополнительные сведения из термодинамики.
5 2. Основные уравнения газовой динамики в форме Зйлера Ряд макроскопических явлений, происходящих при движении какой-либо среды, может быть изучен методами гидродинамики или газовой динамики. При этом данная среда рассматривается как сплошная, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
