К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Следовательно, р, с)а с1Ь с(с = рс)х с(у с)з. (3.2) Уравнения газовой динамики, написанные в форме Лагранжа, выражают движение каждой индивидуальной частицы. Решения этих уравнений определяют координаты и параметры состояния этой частицы для любого момента времени 1, начиная от некоторого начального момента 1„выбранного условно. Обычно в лагранжевом представлении пользуются прямоугольной системой координат (другие системы координат менее удобны) и задают для момента начала движения 1 = О значения начальных координат какой-либо частицы в виде ха = а, уа = Ь, з = с, причем текущие координаты частицы х, у, з будут являться функциями времени С и начальных значений координат а, Ь, с.
Уравнения движения в форме Лагранжа при отсутствии внешних сил имеют следующий вид: 32 мАтемАтический 11 теРмодинАмический АппАРАт [гл. 1 Так как х = х(а, Ь, с, (), у = у(а, Ь, с, с), г = з (а, Ь, с, 1), то с(х = — с(а + — ь(Ь + — с(с + — с(1; да дЬ ~ дс дс аналогично выразятся Ыу и с(з. Заменяя в соотношении (3.2) значения ссх, с(у, сьз с помощью только что написанных выражений, придем к уравнению РА1 = Ро дх Эх дх да дЬ дс ду ду ду ахЫу Ыс д(х, у, г) да дЬ дс дс д. дх да дЬ дс На а(Ь с(с д (а; Ь; с) с((РЬ) ('д(рл) ) с(с ( дс )а,ь,с (3.4) Выполняя дифференцирование, получим р — + Д=О, с(а др с(1 с(1 с(Л ( Нр ( / др др др др — = — — — — Л = — — Л ( — + — и + — с + — ш) = Л с)! ч тс, с(1 р Нс р, дс дх ' ду дс / (3.5) так как с(р!с(1 = — р йт и, что следует из уравнения неразрыв- ности.
Уравнение энергии, которое при сделанных в предыду- щем параграфе предположениях является уравнением, выражаю- щим адиабатичность движения, принимает весьма простой вид (3.6) откуда следует, что Л = Я(а,Ь,с). (3.7) Добавляя к этим уравнениям уравнение состояния вида р = = р(р, Ю) или Я = Я(р, р), приходим снова к системе шести уравнений, позволяющей определить шесть искомых параметров х, у, есть якобиан функций х(а, Ь, с, (), у(а, Ь, с, с), г(а, Ь, с, с). Уравнение (3.3) выражает закон сохранения массы; при этом начальное значение плотности р, зависит от начальных значений координат хс = а; у, = Ь; з, = с, т. е.
р, = рс(а, Ь, с). Дифференцируя уравнение (3.3) по времени, придем к дифференциальному уравнению неразрывности ОснОВнык РРАВКВния В ФОРме лАРРАнжА ;>3 г, р, р, Я; при этом координаты х, у, г определяются как функции а, Ь, с, Ь, а параметры р, р, 5, характеризующие состояние среды,— как функции Ь, х, у, г. Отсюда следует, что при использовании уравнений, написанных в форме Лагранжа, основными начальными и граничными условиями явля>отея следующие условия: для момента времени Ь = О мы должны знать начальные значения координат хс = а; у, = 6; г„= с, а также распределение параметров р, Я, р по начальным значениям координат а, Ь, с. Далее, поскольку компоненты скорости суть дх ад дс (3.8) то можно задавать начальные значения скорости как функции а, 6, с при с = О; можно на некоторой фиксированной поверхности г = г (х, у) аадавать и, Р, и>, р, р, Я как функции времени.
На стенке для любых моментов времени нормальная составляющая скорости Р„= О. На границе раздела двух неперемешивающихся сред должны быть равны давления и нормальные к границе компоненты скорости для обеих сред. Переход от решений, написанных в форме Эйлера, к решениям в форме Лагранжа совершается весьма просто, Для этой цели, зная из решений, написанных в форме Эйлера, величины и = и(х, у, г, Ь), Р = Р (х, у, г, Ь), и> = и> (х, у, г, Ь) (3.9) и решая эту систему обыкновенных дифференциальных уравнений, мы должны принять в качестве постоянных интегрирования (при с = О) величины а, Ь, с, что дает х = х (а, Ь, с, Ь), у = у (а, Ь, с, с), г = г (а, Ь, с, Ь), т. е.
решения в форме Лагранжа. Напротив, дифференцируя по времени эти выражения и исключая из них и из выражений, полученных после дифференцирования, константы а, Ь, с, придем к решениям в форме Эйлера, исходя из решений в форме Лагранжа. Решение обоих уравнений в форме Лагранжа представляет значительно большие трудности, чем решение уравнений в форме Эйлера, поскольку, например, представление производной давления по х через производные по а, Ь, с имеет вид др др др др др да др дЬ др дс да дЬ дс дх да дс + дЬ дх дс дх дх дх дх да дЬ дс что приводит к появлению нелинейных членов в уравнениях дви- жения.
34 ИАтгмАтичвскпй и ткРмодинАмический АппАРАт игл. ! В случае движений, обладающих симметрией и зависящих от одной координаты, уравнения в форме Лагранжа не менее, а при решении некоторых задач даже и более удобны, чем уравнения в форме Эйлера. Мы уже видели, что, исходя из уравнения неразрывности, можно получить тождество — Ь = гх о1т н. Ы дг Выпишем уравнения в форме Лагранжа, характериаующие одномерные течения и течения с цилиндрической и сферической симметрией (Ф = О, 1, 2): д"-г 1 дг д Г Мдг1 — „.
(- — — = 0; — ~ргл — 1 = 0; ) а"- Р дг= а! дл1= (3.10) р = р(р, Я) или Я.=- Я(р; р), где г — текущая координата, Л вЂ” значение г при г = О. Иа уравнения (3.7) очевидно, что Я = Я (Л), т. е. что энтропия зависит только от начального положения заданной частицы и в процессе движения для заданной частицы не изменяется. Отсюда следует, что систему уравнений (3.10) можно заменить двумя уравнениями: ргл — — = р,й = ~(я), дг ЫХ и (3 И) дг йя (Л) (3.12) Укажем на иное представление уравнений в форме Лагранжа для течений, обладающих симметрией. Выберем вместо независимой переменной Л величину Ь, пропорциональную массе среды, содержащейся в момент времени ~ = 0 между сечениями В=О и В=В: й= '))рой «Л=йФ).
(3.13) где в качестве независимого переменного вместо В выбрана энтропия Я = Я(В). В лагранжевых переменных система (3.10) может быть написана следующим образом: 35 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЛАГРАНЖА Очевидно, что для любого момента времени г~э; О й= ~ рГ~Г( =й(гт').
гпм О (3.14) Дифференцируя соотношение (3.14) по й, придем к соотношению (3.15) откуда получаем дифференцированием по времени уравнение не- разрывности в виде — „", (р. —,'„") = о. (3.16) Уравнение Эйлера напишем в виде дг дгг др р —, + — =о; дй др да (3.17) дг поскольку р — „= г ~, уравнение Эйлера принимает вид дР + да ™ О (3.18) Система уравнений (3.16), (3 18) и уравнение Ю = Я (й) являются весьма удобными для исследования; заметим, что, поскольку др др др др ду — = —,— + —— да др да дЯ ЫА то эта система сводится к системе двух уравнений: дг р — г~ =1.
да (3 19) д'г ягдР д !дг Аг~ дР дд1 ди (дч да (,да ) дд Ыа ~ (3.20) В случае одномерных движений (Л~ = 0) это уравнение приобретает весьма простой Вид (3.21) гдех=г, Далее, вводя удельный объем ч = 1/р, эту систему удобно свести к одному уравнению 36 мАтемАтическин 11 теРмодинАмический АппАРАт [Гл. 1 На атом мы закончим рассмотрение основных уравнений газовой динамики; ниже, используя конкретные виды уравнения состояния для идеального газа, твердых или жидких тел, мы значительно упростим вид уравнений, написанных как в форме Лагранжа, так и в форме Эйлера. Для одномерных движений при У = 0 можно прийти к иной форме результирующего уравнения.
Так как из первого уравнения (3.10) и уравнения (3.15) имеем ди дг дх — + — = 0; —.=-ч, а1 аа = ЗА = (3.22) то, дифференцируя последнее уравнение по ~, придем к уравнению (3.23) далее, исключая из первого соотношения (3.22) и из (3.23) и, будем иметь (3.24) Это уравнение справедливо как для изэнтропических, так и для адиабатических движений газа. 4 4. Некоторые общие свойства движения среды арх ар х аре = йга1( <р = — 1 + — у + — й.
дх ду дг Движение в соответствующей области будет безвпхревмв. Движение будет вихревым в той области, в которой гог Р+ О. Рассмотрим в среде так называемый жидкий контур, т. е. некоторый замкнутый контур Г, движущийся вместе со средой и состоящий из одних и тех же частиц. Интеграл С = ~ о Б = ~) и ох + Р Ыу + маг, Выше уже указывалось, что движения среды могут быть установившимися и неустановившимися в зависимости от того, являются ли параметры, характеризующие состояние среды, функциями одних только координат или еще и функциями времени. Движения среды, как установившиеся, так и неустановившиеся, могут быть потенциальными (безвихревыми) или вихревыми в зависимости от того, равен во всей среде вихрь вектора скорости нулю или нет.
Если вихрь вектора скорости равен нулю в какой-либо области, то скорость имеет потенциал 1р(х, у, з; ~) и является градиентом функции 1р(х, у, з; г): некОтОРые ОБщие сВОйстВА дВижения сРеды 37 взятый вдоль этого контура, называется циркуляцией скорости. Преобразуя этот контурный интеграл согласно теореме Стокса, будем иметь С=~О сЬ =)госп й~', (4Л) где стоящий справа интеграл берется по поверхности, охватываемой рассматриваемым замкнутым контуром. Напишем уравнение Эйлера в виде —, + (ОР) н + — бгай р = О. де 1 Р Поскольку иэ векторного аналиаа иэвестно, что 1 (иг) О = — 4тай д' — [ого1О], (4.2) где д = )/и' + Рэ + и~э есть величина полной скорости частицы среды, то уравнение (4.2) можно написать в виде дэ 1 — + 2 огай д' — [и гос О] + — бгай р = О. (4.3) д~ 2 Р Далее, поскольку иэ (1Л) Ж = — Р+ ТЮЯ, Р (4.4) где 1 — теплосодержание среды, уравнение (4.3) окончательно можно написать в виде — + дгай~1+ — ] = [пго1О]+ ТагайЯ.
(4.5) ди г ч ОМй1 + атай 1 = Т Игай Я. (4.6) Рассмотрим полнуго производную от циркуляции С по времени: дс д $ий ~(ээ о + йдг) Так как йп/й = ТдгайЯ вЂ” ягай 1; йз!й = и, то де дг дэ —,.йт + и й — = — йз + — йд'= 1 = Татей Я ~Ь вЂ” игай1 й + — „дгайдэ-йт, Это уравнение для удобства дальнейших выкладок можно также написать в виде 38 млткмАтичкский и твРмодинАмичгский АппАРАт [гл 1 поэтому ЫС Г ! I де%л~ 1 — = у Ткгад Я+ бган ( —, — Р ~~ дз'. гт =$1 (4.7) Так как интеграл от полного дифференциала, взятый по замкну- тому контуру, тождественно равен нулю, то I дт ягас( ( —, — т) дэ' = О; отстода — = ~ Т дгаб Я дг = ') го~ (Т пгад Я) дТ, (4.8) где Х вЂ” поверхность, охватываемая контуром Г.
Рассмотрение движений среды в любом гравитационном поле не внесет изменений в наши выводы, так как у огай ер ° Ыт' — -- у й'.Иг, и, кроме того, потому, что, поскольку в поле тяжести аЧ = ТтьЯ + ч т(р — Ытр, основные уравнения (4.7) и (4.8) не изменятся. Величина производной от циркуляции равна нулю в том случае, когда равен нулю вектор: гот (Т ягай Я) = игам Т х огай Я = О, (4.9) е) Этот результат был получен А. Фридыаном, где косой крест означает векторное произведение. Отсюда следует, что циркуляция скорости вдоль замкнутого контура остается постоянной при его движении в трех случаях: а) когда движение изэнтропично, Я = сопзб и дЯ = О; б) когда температура зависит только от энтропии Т = Т(Я), так как тогда вектор огай Т параллелен вектору огай Я и огай Т Х огай Я = О; в) когда Т и Я зависят только от одной пространственной координаты, вследствие чего огай Т параллелен йгае( Я (одномерные дэнн<ения и движения, обладающие цилиндрической или центральной симметрией) е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
