К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. считается, что любой малый ее объем содержит еще весьма большое количество молекул. Поэтому, говоря о бесконечно малом объеме среды, мы должны считать этот объем достаточно малым только по сравнению со всем объемом, который занимает рассматриваемая среда (или ее конечная часть), но одновременно допускать, что он достаточно велик по сравнению с расстояниями между молекулами, образующими данную среду. В этом же смысле следует рассматривать в гидродинамике понятие частицы; говоря, например, о перемещении какой-либо фиксированной частицы жидкости на некоторое расстояние с течением времени, мы должны понимать, что речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении некоторого фиксированного объема среды, содержащего достаточно много молекул, но весьма малого по сравненизо с объемом, занимаемым средой.
Для математического описания состояния движущейся среды необходимо воспользоваться известными законами сохранения количества движения (импульса), массы и энергии, а также уравнением состояния данной среды. Законы сохранения и уравнения состояния дают возможность в самом общем случае пространственных (трехмерных) движений среды получить шесть основных уравнений гидродинамики (газовой динамики); три (по числу из- ОСНОВНЫВ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 21 мерений), уравнения движения среды дает закон сохранения количества движения и по одному уравнению дают ааконы сохранения массы и энергии, шестым уравнением является уравнение состояния среды.
Указанные шесть основных уравнений определяют шесть искомых величин, характеризующих движение и состояние среды: три компоненты скорости, плотность, давление и энтропию или температуру среды. При этом пространственные движения среды можно изучать двумя методами. Во-первых, принципиально можно для каждого фиксированного момента времени определять распределение шести основных параметров как функций каких-либо трех пространственных координат, т. е, распределение этих параметров в пространстве, или, что равносильно, для каждой заданной точки в пространстве определять аависимость указанных шести параметров от времени (их распределение по времени).
Во-вторых, можно для каждой фиксированной частицы определять ее движение, а также для любого фиксированного момента времени определять плотность, давление и энтропию или температуру для атой частицы. Первый метод носит название метода Эйлера, второй — метода Лагранжа. Перейдем к выводу основных уравнений гидродинамики (газовой динамики) в форме Эйлера и в форме Лагранжа.
При этом уравнения в форме Эйлера мы сначала будем искать в векторной форме, а затем перейдем к обычной координатной форме записи уравнений для прямоугольной, сферической и цилиндрической систем координат. Особое внимание будет обращено на уравнения, определяющие движение и состояние, зависящие от одной пространственной координаты, т. е. на одномерные движения среды, и движения, обладающие цилиндрической и сферической (центральной) симметрией.
Эти уравнения описывают так называемые плоские, цилиндрические и сферические волны. Вывод основных уравнений газовой динамики начнем с уравнения, характеризующего закон сохранения количества движения, Для этой цели используем второй закон Ньютона, считая, что среда не подвергается воздействию внешних сил; рассмотрим некоторый объем среды У; обозначая давление, действующее в среде, черезр, можно силу, действующую на поверхность у выделенного объема среды, написать в виде интеграла — ур сч, взятого по поверхности у рассматриваемого объема *). *) Векторные величины здесь и далее будут обозначаться жирными буквами.
22 мАтемАтический и теРмодинАмический АппАРАт сгл. 1 Теорема Остроградского — Гаусса позволяет заменить этот интеграл интегралом по объему — ~огай рддр. «о 1 — + — огай р = О. «с р (2 1) Здесь производная Ысс/йс — ускорение заданной, передвигающейся в пространстве частицы среды. Для того чтобы определить ускорение частицы среды, находящейся в заданной точке пространства, характеризующейся какими-либо координатами х,. (где 1 =1,2,3), следует представить величину дифференциала йсс в виде 3 йп «с+ Х йх до до дс дх; 1=1 Далее, очевидно, 3 «о до ч3 до «хс «С аС ~3 ахс «С Первый член правой части этого выражения определяет изменение скорости в данной точке пространствапо времени, второй — изменение скорости при переходе от данной точки пространства к точке, удаленной от нее на расстояние йз', пройденное за время «С рассматриваемой частицей.
Поскольку ,5, '— йхс = (йтр) и и ~~~~ — — ' = ~~ — 7) сс до ао «с /« дхс дхс «с ~ «с 1=1 $ 1=1 и так как производная Ыт/йс = и, то окончательно можно написать «о до — = — + (п7) 31. «с дс Последнее выражение показывает, что на каждый элемент объема среды ЫЧ действует со стороны среды, его окружающей, сила — огай р «Р, отсюда на единицу объема среды действует сила — ягай р, а на единицу массы среды — сила — (1/р) ягайр, где р — плотность. Величину данной силы мы вправе приравнять значению ускорения этой единичной массы, равного йтс/«С, где сс — скорость, с — время; таким образом, можно утверждать, что 23 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 2 21 Следовательно, уравнение (2Л) представляется в виде — + (В7) В+ — огай Р = О. де дс Р (2.2) Уравнение (2.2) является искомым уравнением движения жидкой среды; оно называется также уравнением Эйлера.
Это уравнение, если написать его в координатной форме, что будет сделано ниже, дает три уравнения движения соответственно трем пространственным координатам. В том случае, когда среда подвергается воздействию внешних сил, например находится в поле тяжести, на каждую единицу массы действует сила тяжести д; эта величина должна быть прибавлена при определении силы, действующей в среде, к величине — Ир рай р, поэтому в данном случае уравнение (2.2) примет вид — + (В'у) В + — дгаб р = д. де 1 д2 Р (2.3) При выводе уравнения движения (2.2) мы не учитывали диссипативные силы — силы вязкости, которые могут действовать в движущейся среде; в ряде случаев при движении газов или жидкостей (и дая2е среды внутри твердых тел) влияние этих сил может быть действительно несущественным.
Классическая газовая динамика занимается изучением таких движений газовой среды, в которых можно пренебречь диссипативными процессами, свяаанными с действием сил вязкости и теплообмена в газе. Последующие уравнения мы также будем выполнять без учета этих сил. Перейдем к выводу уравнения, выражающего закон сохранения массы. Рассмотрим снова некоторый объем пространства У. Масса среды в этом объеме есть )р Оу', где интеграл берется по ч всему объему У.
Через элемент ф' поверхности ~, ограничивающей этот объем, за единицу времени протекает масса среды От = = рп Ыу'„причем вектор Ы~ равен по величине площади элемента поверхности ф и направлен по внешней нормали к атой поверхности, а знак указывает, что произведение векторов В и Ы~ является скалярным. Отсюда следует, что величина Олг положительна, если среда вытекает из объема, и отрицательна, если среда втекает в него. Полная масса жидкости, вытекающая из объемаУ за единицу времени, равна $рп Ы~, где интеграл берется по всей поверхности ~, ограничивающей объем У.
24 мАтемАтическки и теРмодинАмическии АппАРАт !гл. ! То же изменение (уменьшение) массы среды в рассматриваемом объеме за единицу времени иначе можно выразить в виде Приравнивая оба выражения, определяющие секундный расход среды через поверхность ~, придем к соотношению д, )РД +1 В=О Интеграл по поверхности ка основании теоремы Остроградского— Гаусса преобразуется в интеграл по объему )йгч ртт Яг; поэтому мы приходим к следующему уравнению, выражающему закон сохранения массы: ( — + йггчрт!) !се = О. др ш 1 Так как это выражение имеет место для любого произвольно заданного объема У, то подыктегральиое выражение должиоравияться нулю, т. е.
— + с!!!грет = — О. (2.4) Мы получили так называемое уравнение неразрывности. Величика ртт =,у носит название плотности потока среды. Остается вывести уравнение сохранения энергии. В этом параграфе будет рассмотрен простейший случай, когда в среде отсутствуют источники выделения или поглощения тепла вследствие протекания каких-либо химических реакций в рассматриваемой среде.
Заметим также, что мы пренебрегаем теплообмеком между отдельными частями среды и соприкасающимися с ней телами. Отсутствие источников выделения или поглощения тепла и отсутствие теплообмена означают, что движение среды происходит адиабатически, т. е. энтропия Я каждой частицы жидкости при ее движении остается постоянной е), что в данном случае и будет выражать закон сохранения энергии. Обозначая энтропию, отнесенную к единице массы среды, через Я, выразим условие адиабатичкости движения в виде (2.5) где !т — количество тепла, Т вЂ” температура. Здесь, как уже указывалось, полная производная энтропии по времени обозна- ") Как уже указывалось ранее, в т $, мы пренебрегаем также действием диссипативных сил.( 25 ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА чает изменение энтропии данной перемещающейся в пространстве частицы.
Поскольку сСЯ дЯ дл сСхс ду + — — = — + тс вегас) Я, дс = дс ' д с дс дс условие адиабатичности двнскения в форме Эйлера можно написать в виде — + тс ягас) Я = О. дЯ дс (2.6) Это уравнение, испольауя уравнение неразрывности (2.4), можно написать в виде -', †(рЬ) + сП (р,УВ) = О, (2.7) гДе пРоиавеДение Р8В = Ус носит название плотности потока энтропии. При изучении движения среды в газовой динамике весьма большой теоретический и прикладной интерес представляют такие случаи, когда в некоторый начальный момент энтропия была одинакова для всех частиц.
Тогда при условии адиабатичности процесса она останется постоянной в течение дальнейшего движения среды и (2.8) Я = Оэ = СОПЭФ, где Яэ — начальное значение энтропии. Связывая давление, плотность и энтропию с помощью уравнения состояния вида р = р(р, т), (2.9) или равносильного ему уравнения состояния (2.10) Р=Р(Р ~) придем к замкнутой системе уравнений д, +(тсу)тс+ — Огас(Р= О, д, +с2счРН=О, де дд (2. с с) — + а с)8=О Р=Р(Р О) определяющей при ааданных начальных и граничных условиях параметры тс, р, р и Я, характеризующие движение и состояние газа как функции от г и с.
26 мАтемАтический и термодинАмический АппАРАт сгл. с Поскольку на основании (2 10) можно написать ар ар егас) р = — дгаб р + — вегас( Я, ар то система уравнений (2.11) сводится к трем уравнениям, определяющим три параметра: сс, р и Б. Аналогично с помощью уравнения состояния вида ~ = б'(р, р) (2.12) можно исключить энтропию из уравнений (2.11) и прийти к системе трех уравнений, определяющих сс, р и р. Перейдем теперь от векторной формы уравнений гааовой динамики, которая удобна для краткого написания этих уравнений, к координатной форме, удобной для их исследования и решения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
