К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 8
Текст из файла (страница 8)
При постоянном давлении и температуре химический потенциал оказывается равным термодинамическому потенциалу Ф, отнесенному к одной молекуле: р = ФсЛс. (Величина р может быть найдена для каждой заданной среды.) Тождество (5.6) показывает, что в случае переменного числа частиц внутренняя энергия как бы изменяется за счет совершения работы — рйч и изменения некоторого количества тепла й~* = Т йЯ + рйЛс, происходящего вследствие выделения или поглощения тепла в уже существующих частицах, что характеризует член й(с = ТйЯ, положительный в случае выделения тепла, и при образовании новых частиц, что характеризует член й~> = р йЛс. Заметим, что может быть и йсс ( ТйЯ благодаря неоднократным процессам, происходящим в среде при различного рода реакциях.
Тогда величина йссз характеризует некоторое фиктивное количество тепла и вводится просто для целей удобства написания уравнений. Таким образом, термодинамическое тождество мы имеем право написать в виде (5.7) Ф3' = йЕ + р йч где й~з определяет полное количество выделенного (или поглощенного) тепла. Далее, поскольку из (1.7) мы имеем йЕ = с йТ + Т ~ А~ ) й т — рйт, то й0' = с, йТ + Т ( дР ) й деля это уравнение на Ж, придем к дифференциальному уравнению, выражающему закон сохранения энергии: ~Ц" йл НАс ЫГ / др 1 сЬ вЂ” = Т вЂ” '+ р — = с, — + Т ~ — ) — .
(5.9) йс йс йс " йс ~„дт )с йс 5 51 осноВныг УРАВнениЯ ДлЯ спеЦиАльных слУНАВВ 47 В случае идеального газа зто уравнение принимает вид (5.10) Необходимо указать, что скорость химической реакции, например реакции горения, зависит от р, т и Т, причем обычно наиболее сильно от Т.
Для ряда типичных химических реакций в газах скорость реакции ю пропорциональна величине (5.11) или в других случаях для твердых тел (5.12) где и, = совет и аз = совет. Для того чтобы сделать систему уравнений замкнутой (полной), к ней необходимо добавить уравнения химической кинетики, причем в большинстве задач достаточно добавить два уравнения, определяющих зависимость числа образующихся за единицу времени частиц другой фазы от р, у и Т (например, зависимость массы обрааующегося газа при горении пороха) и зависимость интенсивности выделяемого тепла от тех же параметров за единицу времени. Обычно эти уравнения устанавливаются полуэмпирически. Иногда, когда количество выделяющейся энергии пропорционально количеству вещества, перешедшего в новую фазу, достаточно одного уравнения химической кинетики. Полная система уравнений будет содержать восемь уравнений (три уравнения движения, уравнение неразрывности, уравнение энергии, уравнение состояния и два уравнения химической кинетики), определяющих восемь параметров (и, Р, ю, р, р, Т (или 8), ~), т) как функции х, у, з, 1.
В некоторых конкретных случаях воаможны упрощения системы указанных уравнений. Например, при горении пороха количество выделяемого тепла ~ считается просто пропорциональным количеству образующегося газа (считается, что основная часть реакции горения заканчивается в твердой фазе): (А = то; рассчитывая ~ на единицу массы, получим просто 0=а (5.13) где д — иавестный потенциал пороха (количество энергии, выделяемой при сгорании 1 г пороха)„а и> — скорость горения— определяется как и> =Вр, (5 14) 43 мАтемАтическии и теРмодинАмичеснии А!шАРАт 1гл. 1 где В и а — известные из опыта константы для данного пороха. Тогда К1 (5Л5) где Я = сопзс — площадь сгорающего пороха, зависящая от его структуры, р — его начальная плотность, В, = сопз1.
При этом уравнение иераарывности в кредставлении Лагранжа принимает простой вид я' Йй , (Р ) „ — 1Р , (5Л6) отсюда легко перейти и к зйлеровой форме уравнения неразрывности — + и ягай р + р йч и = р —, эр р" а1 )'р" Л1' Далее, как известно, из экспериментов (и может быть доказано теоретически), при горении пороха в полузамкнутом объеме температура горения остается почти постоянной в продолжение всего горения, поэтому состояние продуктов сгорания меняется изотермически, т. е. можно считать, что рч = ВТ„ (5Л7) (Й вЂ” 1) — = Йр — + ч —. кЕ Ы1 (5ЛВ) В заключение этого раздела отметим, что особый практический интерес представляют одномерные движения рассмотренных процессов, что значительно упрощает задачу интегрирования системы уравнений, описывающих эти процессы.
Решению некоторых интересных задач в этой области мы посвящаем специальный раздел нашей работы. где Т, = сопзг есть температура горения. Уравнение (5Л7) заменяет в таком случае уравнение энергии, что значительно упрощает задачу решения основных уравнений. Можно также принять, что последнее уравнение энергии для рассматриваемого случая имеет вид г1Е = с1Д вЂ” рЫ = ст йТ, рч = ВТ; считая Т переменным и полагая, что любая частица сгорает мгновенно, будем иметь Ы~ =- 0 и рчз = сопз1, где й для пороха близко к единице.
Таким образом, число уравнений сводится к пяти. В другом случае, когда происходит горение газовых смесей, масса газа остается постоянной и уравнение непрерывности принимает обычный вид. Уравнение сохранения энергии сохраняет форму (5.9), если считать ~* = ~. Принимая газовую смесь за идеальный газ„ мы это уравнение теперь запишем в виде 1 м основнык гглвнвния для спкцилльных слгчлкв 49 Б.
Движение в гравитационном поле Изучение закономерностей движения газа в поле тяжести представляет большой интерес для ряда астрофизических и космогонических задач, например, для изучения солнечных протуберанцев, для изучения взрывов звезд в теории новых звезд и т. д. Здесь мы дадим основные уравнения теории, а ниже, в главе ХП1, применим их к решению ряда конкретных задач. Уравнение движения газа в поле тяжести имеет вид —, + (вр) в + — атас) р = д, дх 1 (5.19) где д — ускорение силы тяжести.
Могут представиться три случая: движение в постоянном поле тяжести, когда д постоянно; движение во внешнем переменном поле тяжести, когда (5.20) где М вЂ” масса внешнего относительно среды тела, создающего гравитационное поле, и движение во внутреннем поле тяжести, когда является справедливым уравнение Пуассона 4яр0 = — йт д, (5.21) где сх — гравитационная постоянная: С = 6,667.10 ' сзсз!г секс.
Уравнение Пуассона связывает ускорение силы тяжести с плотностью гравитационной среды. Рассмотрим более подробно эти три случая. Когда д постоянно, то соответствующие уравнения Эйлера, отнесенные к какой-либо координатной системе, будут в правой части содержать проекции д на соответствующие оси. Мы эти проекции будем обозначать как д,. (с =1, 2, 3) или соответственно д„, д„, д,. В форме Лагранжа уравнение (5.20) можно записать в виде — + — — = д; — + — — = д,.
(5.22) дх 1 др дх 1 др дс р ду "' дс р- дс ди 1 др — + — — =д.; дс р дх Всегда можно выбрать такую систему координат, в которой одна из осей, например ось 7, будет направлена по линии действия силы тяжести; тогда д„= я„= О, д, = д, (5.23) и уравнении (5.22) примут вид ди 1 др ди 1 др дх 1 др + — =0; + =0; — + — =д.
(5.24) дс р дх ' дс р ду ' дс р дс Аналогичный вид будут иметь и уравнения Эйлера в этой же сис- теме координат. 50 мАтвмАтический и теРмодис!Амнческий АппАРАт сгл. В случае, когдад = -СМЕТ(г', гдеМ вЂ” массагравитирующего тела, уравнение Эйлера имеет вид: ди 1 СМс — + (тср) тс + — бгас) р = — — .
дс Р „с В форме Лагранжа в прямоугольной координатной системе это уравнение напишется так: СсСХх ди 1 др С.11у г' ' дс р ду гс др САХс р дс с.с ди 1 др дс р дх дис — + дс (5.26) ди ди 1 др С АХ вЂ” +и — + — — = — —, дС дг р дг гс (5.27) б) в форме Лаграняса ди 1 др САХ + дс р дг гс (5.28) Весьма большой астрофиаическнй интерес представляет последний (самый общий) случай, когда среда движется во внутреннем (собственном) поле тяжести.
Поскольку д = ягас( ср, (5.29) где ср — потенциал поля тяжести, то уравнение Пуассона (5.21) и уравнение (5.!9) примут вид Ьср = — 4я!" р, (5.30) —, + (с!а) тс + — ягас) р = ягас) ср, дх (5.3$) где сАср =- д'ср(дх' + д'ср(дср' + дсср(дг'. Применяя к обеим частям уравнения (5.31) операцию с)!т, придем, исключая ссср с помощью уравнения Пуассона, к такому уравнению: Йч( — + (тср)тс+ — дгасср!+4ПСр = О. (5.32) где г = )с х' + у' + гс, а х(г, у(г, г(г являются направляющими косинусами радиуса-вектора г. В сферической системе координат в представлении Эйлера в уравнении (5.25), дающем проекцию на г, справа войдет член — 6М(г', другие уравнения не претерпят иеменений по сравнению с выведенными нами ранее (без учета поля тяжести). Таким образом, уравнения, описывающие симметричные течения, могут быть написаны в следующих формах: а) в форме Эйлера 1 51 ОснОВные УРАвнения для специАльных слУЧАСВ 51 Легко представить это уравнение в координатной форме; уравнения (5.31) в прямоугольной системе координат можно написать в виде ди 1 др дсу сСх 1 др дсу дм 1 др дсу — + — — =- —; — + — — = —; — + — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
