К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Решение задачи для многомерных течений связано со значительными трудностями. Рассмотрим теперь случай чисто иззнтропического движения Я =- сопзс. Тогда, поскольку (7.32) = — г( 1п р =- сЧ 1п р = г(1, !г Аг,ь мы придем к таким основным уравнениям, выполняющимся вдоль характеристической поверхности: ~l(йь)ь + (дг)ь + (г(ог)г + сг( 1п р О (7.33) Далее, поскольку са'(1пр) = 1Гр)г г~пдр = 1г — гьрг)т = г(гур, то соотношение 11 (г(и)' + (г(Р)' + (йо)з + с!1 1п р = О, удобно написать в виде )г(йь)з + (й)' + (йг)ь +- 1/ — г)рг(т = О, (7.34) где не предрешается выбор независимой переменной р или ч, или в виде с)г (гьи)з + (гЬ)з + (г1кг)' -г- У = О. (7.35) В случае идеального газа на основании формул (1.40) и (1.41 получаем г( 1п г = (гг — 1)г( 1п р = 2г( 1п с, откуда г(1пр = ь ! г(1пс и у'(г(гг)з+(г(Р)з+ (г(ю)'"'+ „— г(с=О, что после интегрирования дает ) (Й!1)'+ (г(Р)'+ (йг)'-+ Ь" ь с = сопзС.
(7.36) Если скорость меняется только по величине, а по направлению не меняется, то (йь)'+ (гЬ)' + (ЙР)' = й7' и мы имеем д -4- — с = сопз1. 2 (7.37) Таким образом, чисто иззнтропическое течение приводит к значительно более простым характеристическим соотношениям, чем адиабатическое, сзс ХАРАктеРистики с двгмя незАвисимыми переменными 75 $ 8. Характеристики уравнений с двумя независимыми переменными Одномерное течение гава Начнем рассмотрение с общего случая неадиабатических одномерных движений.
Система основных уравнений при этом имеет вид — +и — + — —, = — О; — +и — +р — =О; ди ди 1 др др др ди дС дх р д. ' дС д; ' д, ИА сСсс их с сСр 8 сСр сс,тс ~ др ) (,ю~,сс ) ~,дТ )х (8Л) причем последнее уравнение есть термодинамическое уравнение сохранения энергии (5.49). Мы рассмотрим среду, подчиняющуюся уравнению состояния вида р = Ф (р) + тр (р) (8.2) При этом уравнение сохранения энергии примет вид (8.3) мы считаем, 'что фУнкциЯ с~с = с',Сс (х, С) может быть пРоизвольно задана.
Для получения характеристических соотношений напишем систему основных уравнений в виде др ди ди — +и — + дс дх — +и — + др др дс дх р дх с ди рс— дх Р (р) дс;с (8.4) с ссс дО сс Рассмотрение характеристик уравнений с двумя независимыми переменными представляет аначительный интерес. К числу подобного рода уравнений в газовой динамике относятся уравнения, описывающие неустановившиеся одномерные движения или не- установившиеся движения, обладающие осевой и центральной симметрией, а также установившиеся безвихревые течения, зависящие от двух пространственных координат (плоские и осесимметричные течения среды). Типичными задачами такого рода являются разлет столба газа, детонация и т.
п. Здесь мы будем рассматривать только случаи неустановившнхся движений среды. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК [ГЛ. 11 Второе соотношение в системе уравнений (8.4) получается из вто- рого уравнения (8.1) при использовании зависимости д 1 Ьр ~ (р) — — с д1 д1 с а 7' (х, !) = О, (8.5) тогда условия вдоль характеристики, аналогичные условиям, вы- раженным уравнениями (7Л2), будут иметь вид 1р чти + — — = О, д/ Ыр дх р — рс ии+ 1рдр = — — и!; д/ Р дО дх й ТЬБ = с(ч. (8.6) Здесь р = д7/д!+ и д//дх. Отсюда следует, что вдоль этой ли- нии будет выполняться следующее соотношение: а! р дх рс— , а! дх Это соотношение приводит к уравнению ср = — + и — = + с —, д/ д/ д/ д1 дх — дх (8.7) причем на характеристике ср = О, откуда д7/д! + (и'~ с) д//дх = О, или —, = и-+с.
(8.8) Используя условие (8.7), мы сможем условие (8.6) написать в виде др ~; рс ди = — с(/); Р ч Тс1Я = й(1; (8.9) поскольку ЙЯ/й = сч/г Ыр/й — с'Ыр/й), где сср/й = др/дг + и др/дх; др/й =- др/д! + и др/дх. На основании общего метода, разобранного в предыдущем параграфе, можно написать уравнение характеристической линии в виде 8 8) хАРАктеРистики с дВУмЯ неЗАВисимыми ПВРеменными 77 то последнее уравнение системы (8.9) можно написать также в виде Др ссДр Дд (8.10) сч Полученные результаты можно интерпретировать следующим образом: вдоль линии с(х/Й = и+ с имеет место соотношение 1ср + рс с/и = — 11(/, р сч а вдоль линии с/х/Й = и — с имеем 1ср — рссси = — с1/. р сч (8.11) Далее очевидно, что вдоль линии с/х/Й = и, соответствующей скорости переноса энтропийного возмущения, выполняется соотношение 1(р — ссс)р = — сс(/ = — Т 115.
р р (8 12) сч сч вдоль линии с/х/Й = и -)- с соотношение ар+ рсс1и = 0 или сэс/р + рсс/и+ +с/Б= 0*), дх а вдоль линии — = и — с — соотношение Й вЂ” Нр+ рссси = 0 или — ссср+ рссси — р ссЯ = О, ар дд Нх наконец, вдоль линии — = и — соотношение д1 сИ = 0 или с(р = сэйр. (8.13) «) Так как ар= — др+ — ЫЯ = ссдр+ — сЮ. др ар ар др дБ дд Это условие вытекает непосредственно иэ рассмотрения уравнения (8.3). Таким образом, при одномерном движении среды мы имеем три характеристических направления, вдоль которых выполняются три соотношения.
Так как мы имеем множество состояний и; с; Я, то вдоль этих трех направлений и определяются три семейства характеристик. Указанное обстоятельство используется при численном решении основной системы уравнений. В том случае, когда движение газа происходит адиабатически, характеристические уравнения (8 1) и (8.12) значительно упрощаются; поскольку Н(с = О, мы будем иметь: МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК 1гл.
и Соотношениям ~- до + рс ии = О можно придать вид .+ у' — дрдт + ди = О, откуда после интегрирования получаем и 4- 1 у' — с/р йч = а, и — ) у' — дрдч=6, (8.14) где а и р — постоянные. Для идеального газа, поскольку на основании (1Л2) и уравнения Клапейрона имеем (др/д8), = р/с„выражение рс ди ~ ~ (сЧр + (др/дЯ) иЯ = О принимает вид дх вдоль линии — = и + с — соотношение ш д/+ сди = О, Ых вдоль линии — = и — с — соотношение дс — й+сйи=О, (8.15) т. е. будем иметь два семейства характеристик. В данном случае мы видим, что двум семействам характеристик в плоскости (х, ~), определяемым уравнениями Нх/ог = и ~ с, соответствует два семейства характеристик в плоскости (и, с): с ди'-/- Ж = О, или, учитывая выражение теплосодержания по формуле (782), этн семейства характеристик можно выразить так: и -4- ~ с с1 1п р =а, и — ~сс(1п р =8, (8Л6) где а и () — постоянные. Причем эти два семейства характеристик в плоскости (и, с) являются так нааываемыми изображениями двух семейств характеристик плоскости (х, /), причем это отображение может не быть взаимно однозначным.
Для среды, подчиняющейся уравнению изэнтропы вида р = А (р" — ро) (8Л7) В случае наэнтропическнх течений гааа (о = сопз1) характеристи- ческие уравнения еще более упрощаются; в общем случае для произвольной среды мы будем иметь: $ 31 хАРАктеРистики с дВумя незАВисимыми пеРеменными 79 на основании формул (1.41) и (1.43) имеем о/ = Ап/(и — 1) Ыри-~ = 1/(и — 1) ос', поэтому Нх вдоль линии —, = и + с имеем Ф и+ с = сопзь, 2 их а вдоль линии †, = и — с И1 (8Л8) 2 и — с = сопзс.
и — 1 В том случае, когда и = 3, уравнения (8Л8) принимают наиболее простой вид: вдоль линии ох/Й = и+ с имеет место соотношение и -)- с = и = сопзь и вдоль линии Йх/Й/ = и — с: и — с = 3 = сопзс. (8.19) Случай и = 3 имеет значение при изучении детонации. Очевидно, что при и = 3 дх/й = сопзг, где постоянная имеет два значения соответственно значениям величин а и р. Следовательно, фронты возмущений (характеристик) распространяются по законам х= а/+ х,; х=8/+х„ где х, и х, — константы, т. е. эти характеристики в плоскости характеристик представляют собой прямые линии.
Выражения 2 н+ гс —— и 2 и — — с=р, п — 1 йр + рс й~ = — с/~ и Т ЕЯ = Ы9 ( др — с' др = — И0) Р з с„ определяют характеристики в характеристическом пространстве (р, р, и), выражая с через р и р, называемые икаариантами Римана, представляют собой характеристики основной системы уравнений в плоскости (и, с) при Я = = сопз$ уравнений иаэнтропы (8.17), причем в этой системе за независимые переменные приняты и; с, а за зависимые х; Г. Эти характеристики при любом значении и представляют собой в плоскости и; с параллельные прямые линии (рис. 2).
В случае неадиабатических течений соотношения 80 (гл. ы мвтод хАРАктегистик Проанализируем теперь общие физические свойства характеристик для изэнтропических течений какой-либо произвольной среды. Рассмотрим трубу, заполненную нестационарно движущейся в положительном направлении оси х средой, причем параметры, характеризующие свойства среды (р, з) и скорость ее движения и, аависят в этом самом общем случае от (х, ~).
Допустим, что в каком- либо сечении трубы мы слабо возмутили движение газа, например, сообщили газу незначительную дополнительную скорость Ыи, причем давление и плотность или удельс ный объем такя<е изменились на бесконечно малые величины ор;Ит. Тогда от сечения, в котором было Ркс. 2 приложено возмущающее воздействие направо по течению и налево против течения среды, начнут распространяться две элементарные звуковые волны возмущения.
Метод численного решения уравнений с использованием этих свойств характеристик носит название метода характеристик. Пусть причиной возмущений является бесконечно тонкий невесомый поршень, который до момента начала возмущений (г = 0) двигался вместе со средой, а затем при ~ = 0 начал плавно изменять скорость своего движения в сравнении со скоростью среды, например увеличивать ее (ускорение поршня по отношению к среде при г = 0 равно нулю). Очевидно, прк плавном изменении скорости поршня в каждый момент времени от его поверхности будут излучаться все новые н новые элементарные звуковые волны, возмущающие движение среды. При этом вправо по течению скорость и давление будут увеличиваться, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
