К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Однако, поскольку уравнения нелинейны, эта попытка может привести к новым уравнениям, не менее, а возможно и более сложным, чем исходные. Аналиаируя результаты ряда частных решений и устанавливая их физическую сущность, можно предвидеть поведение газа з случае более общих и сложных движений, не прибегая к непосредственному решению исходных уравнений.
Таким образом, автомодельные решения как бы позволяют производить не математическое, а, так сказать, физическое варьирование и обобщение результатов. Перейдем к физической интерпретации найденного класса авто- модельных движений. Определяя, например, а1-1 и = са -с Зт (г) = г ' т)т(г), мы выясняем распределение и = и (г) для какого-либо фиксированного момента времени. Очевидно, что для другого фиксированного момента времени вид функции и = и (г), т.
е. характер зависимости между и и г, останется прежним, но определенным образом изменятся масштабы и и г со временем; масштаб и изменится пропорционально са -' и масштаб г — пропорционально с" . Точно так же, рассматривая в фиксированной точке пространства (при фиксированном г) и = и (с), можно сделать вывод, что в другой точке пространства (при другом значении г) характер распределения и = и (~) останется неизменным, но при этом масштаб и изменится -> -с>а1, а масштаб т гва. Аналогичные выводы можно сделать и при выяснении зависимости других параметров от г при постоянных т и от т' при постоянных г. Рассмотрим еще один класс автомодельных движений, обладающих центральной симметрией *.
Для этой цели снова воспользуемся системой уравнений (9.5), написанной в безразмерных переменных величинах. Положим, что хсс и р' усс являются функцией одной безразмерной независимой переменной г = ге-а,с (9.14) где ад — — сопзС, т. е. что хсс = х, (г); у>се = у, (г); для того чтобы г и 1 не входили явно в уравнения при указанных подстановках, необходимо положить р — еа,сй (г) (9.15) а Этот класс решений бил найден авторов в 1944 т. 1 91 ДВИЖЕНИЯ ГАЗА С ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ 93 где аг = соне(. Поскольку с(хс а1 ".1..)' д1п с дх с(ус 1 — а,1— с( [п г!' (9Л6) д1пр Ы!~ьЦ дг с([пг то система уравнений (9.5) при сделанных предположениях примет вид (9Л7) — '(х, — аг) + (сс — 1) х, + (ссс (сс — 1) + (сг + 1) ) х,=О, ус где, например, хг'= с(х Ы1п г. Как мы видим, в эту систему г и 1 явно не входят, а следовательно, автомодельные движения подобного типа действительно могут существовать. Исключая из первых двух уравнений системы (9Л7) (9.18) мы сможем эту систему уравнений написать в виде с( 1п ус (ас — хс) 1 — (Сс — 1) (ас — хс)г — уг с(хс [сУ (Сс — 1) + Сс + 1[хс Г вас + аг ус С а + (АС+1)хс ) — х (ас — хс) (ЭЛ9) Поскольку время 1 определяется с точностью до проиэвольной константы т, то решение системы уравнений (9Л8) и (9Л9) будет зависеть от шести проиэвольных констант а„а,; т; с,; с,; с, (где с,; с,; с, — постоянные интегрирования).
Решение этой системы уравнений во всем аналогично решению системы уравнений для автомодельных движений вида г = гс'1", при этом эа неэависимый параметр снова удобнее всего выбрать параметр хс. д1пг ду д1пс ду д1пг д1пр д 1п с с (хс+ д[', ) =1 (хс— дхс с(хс д1пг ас1пг ,,ду,, ду, д1пг д1пг а' 1п б 1 — 1~ — а,+а,— у с( 1п х, (хг — а,) + х, + — ~уг + 2ус -с- у, — з[ = О; — (хс — а,) + ах+ х,.+ (с"гг-с-1) х, = О; х + (сУ + 1) хс+ аг — с(1п$ = с[1пг, 94 [гл.
гп Автомодельныв двнзвтння сгкды Из равенств (9 13) имеем х, = х/з = и/г, уз = у/зз = сз/гз, откуда и = гх, (г), с = г7 уз (г), (9.20) что определяет также и и с в виде и = е'Я, (г), с = е'1Яз (г), где $з = гх,, $з = г Г/у,. Далее, зв р = е з$ (г) = г 'Ч (г); Ы1+а Р = е<зз'+'><4з(г) = г з Чз(г) зз,— <з — П з„ Чз (г). (9.21) (9.22) и = /' <З (г), р = <з,Ч(г) о — зз,й(г) (9.23) где г = г<-', а, = 2 (а, — 1) — (й — 1) а,; вводя, далее, вместо переменной $ переменную <р = а,г — $, мы сможем написать систему уравнения (9 1) в виде <р (2а, — 1 — <р') = а, (а, — 1) г + ОЧз-з (й — + — <; Ч' б<, а/ <р' + Л' — + <р — = а, + (зз'+ 1) а,; <р з Ч (9.24) <р — = а,= 2 (аз — 1) — (й — 1) а, в На основании найденных решений можно заключить, что масштаб распределения, например, параметра и = и (г) меняется со временем пропорционально е", при атом масштаб г меняется таки<о пропорционально е''.
Масштаб распределения и = и (з) меняется пропорционально г, при атом масштаб времени меняется пропорционально 1п г. Полученные уравнения для двух типов автомодельных движений допускают частные интегралы в различных частных случаях. Эти интегралы мы будем искать при решениях конкретных задач. Дадим вывод уравнений автомодельных движений другим методом. Это приведет нас еще к одной форме уравнений, описывающих автомодельные движения.
Необходимые выкладки мы подробно произведем для случая г = г//з; при г = ге-" выкладки совершенно аналогичны, и мы их не будем здесь приводить, а дадим прямо окончательный результат. Обратимся снова к исходной системе уравнений (9 1) и, считая х и у функциями одной переменной г на основании (9.4), (9.6), положим 1 9> движения РАЭА с центРАльнои симметРией 95 где производные берутся по г.
Исключив из первых двух уравнений этой системы с помощью третьего дифференциал е (9.25) получим Е 1 / а1> аэ< /2а,— 1 а1 ', ае (9.26) — + — +У==а —, где аа + (У + 1) а1 аа + (У + 1) а1 аа 2(а1 — 1) — (й — 1) а1 ' Последнее выражение непосредственно интегрируется 1 9)<рг<96 ' = а,А ' ' = соп91. (9.27) Квадратура (9.27) является первым интегралом исходной системы уравнений. В основных переменных она может быть написана в виде (9.29) + АО~Й й $+ аа = (2а, — 1) аз() — а,(а1 — 1). (9.30) Здесь 2 1+(й-1) а ' А< (й-1)+(й+1) У (й — 1) -)-(й -(- 1) 2 (а1 — 1) — (й — 1) аа 1 е<й — 1>+<1+1> ~% О (П (,) =а)ЕЕ= ' (9.31) 11а (а, — х) = (а1 — — ) = ', .
(9.28) Поскольку из (9.4) и (9.23) следует, что р = йОг 'т)1-1, то первый интеграл можно написать в виде 1 (а — х) = а Ай '( ~ ) заа-<"+1><) (<" Н а+'> что дает первый интеграл в переменных х; у; з и 1. Произведя ряд довольно длинных преобразований, можно свести систему уравнений (9.26) к одному уравнению: а, ДП9 — (Л (й — 4) + й+ 1) 69 (() — б) а„о 1 (- <)1 (й<(й 1) ( й+1) Е,(<) Ь) й и<а <) 96 дгл. гы Автомодельнык движвния сгеды Решая это уравнение, определяем П = (е (О,) и (е = й (О,), после чего находим Н9т/тт 1п о = О, = н= О, (1е — Ь), что определяет = о (О,) и = ° (О,).
Определение прочих параметров уже не представляет труда: т ат Нг А атэа ЕО за О ' т) т (932) и в ег где аз = 2а, — аз (й — 1), и, вводя ~р = а,з — $, мы, воспользовавшись системой уравнений (9.1), сможем написать ее в виде ~р (2а, — тр') = азз + т)т-т О [й ~ + — 1; <р' + гт' ~ + ~р — = ае + (Л" + 1) а,; (9.34) в (р — = аз = 2а, — а, (й — 1); в= здесь производные берутся по з. Первый интеграл этой системы будет иметь вид т птрздтО = а,А " ' = солзд, (9.35) где а = (аз + (Лт + 1) ат)!аз, что в основных переменных можно написать в виде т ( т — т а и 'т етА а„— — ~ = Г I Ргл+1 Окончательное дифференциальное уравнение будет иметь вид ат [(ет — ((й — 1) Х + й + 1) О, — (Я вЂ” Ь)~ + ит (тд т) А + д + АОтП'(йа + 1 й + 1] От — (тт — д) йла)= = 2а,азй — ат, (9.36) Мы видим, что приведенные здесь преобразования позволяют определить решения основной системы уравнений для данного типа автомодельных движений с помощью решения одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка и только одной квадратуры, вторую квадратуру мы имеем возможность вычислить в общем виде (см.
уравнение (9.27)). Решение по-прежнему будет зависеть от шести констант. В случае автомодельных движений, когда х = ге- ', положим, что и = е"% (г), р = е 'т) (з), Я = е"иО (з), (9.33) 1 91 двипткния ГАЗА с цкнтРАльнои спмметРИГЙ 97 где х =- х(г), у = у(г), р =1 Е(г), 6 Ь и= —, с=— г ' Т (9.37) Система уравнений (9.8) при этом примет вид х х +.т, — х + — (2у+ у'+ у — ) = 0; 9 ь( х — + а, + г' + (ттг + 1) х = 0; х "— + ()9 — 1) х' + [Лг()9 — 1) -(- й + 4] х — 2 = О, где проиаводные берутся по 1п г. Исключаем т( 1п$: х' + (Ф + 1) х + аг х Н1пг ь Нх — (х — + а — 1) а')п у хт — Л (9.38) ах (У (а — 1) + а + 11 х — 2, ~а — 2 )ь (9.39) Положим теперь, что а,-ь- оо и зь =- г(-ь; это будет означать, что з = а (1), х = х (1), у = у (1), (9.40) р = гхт)(1), и = гт)т(1), с = гт) (1), где а = сопз(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
