К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 18
Текст из файла (страница 18)
) ПУсть и = гхвН, и = гхвИ, ГР = гхвГ1, с = г )Г УГ1, Р = Г 1в$, где х„х„у, $ являются функциями одной независимой переменной (И.З) г = ги1рств — х, + хвф+ах, + Ухи) + х1+ хв+ — „+ + а(а+2+а — ) — х, + х, (р+ ах, + ухв) + 2т,х, + — „(у' + у — ) т. Х~ ~с Ь + — (р+ ахт+ рв) +(2+а) т + ах, +тх, + + (х,+х,с1дЕ) =О (И.4) =О; 2 (х, — 1) + —" (р + ах, + ухв)— Г 1' — (Ь вЂ” 1) ~ — (~) + атв+ амтв) + Ь+ атв1 = О.
Здесь мы вводим четыре независимые константы а; Ь; а/у; р/у, но выражение для г пишем именно в виде (И.З) исключительно для удобства анализа уравнений, к которым мы сейчас придем. Обозначая, как и раньше, производные по 1п г штрихом над соответствующей переменной, например х,' = с)Х,И )п г, мы после сравнительно простых преобразований придем к такой системе уравнений, описывающих автомодельные движения: 112 (ГЛ. П2 Автомодельные дВижения сРеды Ех, Ь + (2 + а) х2+ (х2+ х2 с(Е 0) + — ' 2))пс Е )пГ, те (11 5) Е)их ЫО Х2 мы придем к уравнениям 2 2 2(х2 а+2 — х,+х,— х,+хг — + у=О; ЕО Ь ЕХ2 Еч х, — — хг+2х,х,+ — — + (О Ь вЂ” ( 2(О и (2(х2 — 1) Ь+ах2 ~ 2 Г(Ь вЂ” ()х2 х2 хз — О' + 2 (йх, — 1) +(й — 1) ( ЕО + (х,+ хгсгй 6)1= О.
Е)пи ГЫх2 (11.6) Условие потенциальности течения можно записать для рассмат- риваемого случая осесимметричных движений в виде (11.7) и2 = ГК2„+ й, что для автомодельных движений дает 7 ' -= а ' + 2х, (ух„= ах, + 2х,); (11.8) при а = О, у = 1 это условие принимает вид ЕХ2 — = 2х,. еО (11.9) Легко убедиться в том, что условие (11.9) совместно с уравнениями (11.6), а следовательно, могут существовать автомодельные осесимметричные безвихревые течения газа. Вихревые автомодельные осесимметричные движения газа существовать не могут. Перейдем к рассмотрению плоских движений. Поскольку в уравнении системы (11.4) г не входит явно, а лищь как 2( )п г, то, при- Автомодельные движения искомого типа, обладающие осевой симметрией, могут существовать лишь при а = О, р = О, когда г = е"', в противном случае величина 6 не будет являться независимой переменной, входя явно в уравнения неразрывности, как сад 6. Если а + О, (2 + О, то могут существовать только плоские авто- модельные движения искомого типа, так как в этом случае член х2 + х, с(я 6 отсутствует.
Исследуем сначала случай а = О, () = — О, при этом примем у = 1. Исключая из уравнений (11.4) величину 1 111 ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИЗ нимая снова у=-О и исключая из этой системы 2( (1в 0)/е(х„получим л)аа лха а'1В 5 (Ь + (2 + а) х2) — + и +— (И.10) лх, э+ах2+ .* остальные уравнения мы сможем написать в виде а Й~ — — +)3+ ах2+ ха ИХ2 2 2+ а+ й .1 (х2 — 1) — (Ь+ ахй у у+ах~+ ха лю Ы*д Е' й 1+(У+-*+").ы 2 й — 1 (х' 1) — (Ь+ ах2) 2,,—,+ „"+ах +, р+ ах, + х* / Ыха + (й — 1) 1 — — а) 21х2 у е, 2 (йх2 — 1) В случае плоских движений условие безвихренности движения (И.8) совместно с уравнением (И.4) только при у = О, что соот- ветствует г = (г/гз/а)', х, = О, и1 = О, т.
е. мы в атом случае будем иметь автомодельные движения с цилиндрической симмет- рией, уже изученные нами. Иных безвихревых плоских автомо- дельных течений не существует. Рассмотрим еще один тип автомодельных движений, когда и = гх„1с = гх„с = г)/у, р = гаеь $, (И.12) где х,, х„ у, $ суть функции одной независимой переменной а(1+ — '2) г = 1 "ЕР'ЕХ' = ГаЕ (И.18) (Здесь а; Ь; а/у; р/у — четыре независимые константы.) Система основных уравнений (И.2) при этом примет вид х,(у+ ах, + уха)+ х, — х, + — + — '(а+ 2+ а — / = О; 2 2 ау' и / Г '1 й( ~! х,(()+ ах, + уха) + 2х х, + — (у'+у — ~ = О; т /~ Ь,') 1! 4Р Ь + — (р -(- ат, + ухг) + (2 + а) х, + ах1 + )х, + + (х + хзс(88) = О; 2х, -(- —" (() + ах1 + ухг)— у 4Р— (й — 1) ~ Ь + — ((3+ ах, + ух2) + ах1~ = О.
(И 14) 114 ~гл. гп лвтомодвльныв двпжвнпя саиды В случае сс=О, р=О Г с Г с и= — х„и= — хм и= — хю с= — 1 у, р=г'Еь~, (11Л 5) где х„хм х„у, з являются функциями углов ф и О, мы действительно придем к уравнениям с двумя независимыми переменными, в чем можно убедиться путем элементарных, но громоадких вычислений. Написав уравнения в прямоугольных координатах и вводя в качестве независимых переменных величины (11.16) мы придем к системе уравнений с тремя независимыми перемен- ными, причем в качестве зависимых переменных мы должны будем взять величины й, в, ю, с и р, определяемые соотношениями и=1-'й, э=са 'в, ш еа,-1ю, с=г -'с, р=г р.
Аналогично„положив (11Л7) Х = е""х, 1 Х, = е"'у Х,. = е' 'з, с еаеэ ц> еаец> еаес, р = еалр и саки (11Л8) э = е"' (7 = 1) и воаможны автомодельные осесимметричные движения. Условие безвихренности движения имеет вид (11.8) В случае и === О, р = 0 этоусловие оказывается совместным с уравнениями (11Л4), что еще раз дает возможность заключить о существовании только безвихревых автомодельных осесимметричных движений. Плоские безвихревые движения этого типа возможны лишь при у = О, что снова приводит к выводу о возможности только безвихревых автомодельных цилиндрических течений. В самом общем случае пространственных движений, зависящих от трех координат и времени, нельзя найти автомодельных движений, зависящих от одной независимой переменной.
Можно, однако, искать такой тип автомодельных движений, когда число независимых переменных уменьшается на один или два параметра, Написав, например, основные уравнения в сферических координатах и вводя 2 !1! плоские и ИРостРАнственные движения мы также придем к системе уравнений с тремя независимыми переменньмш, которые будут описывать определенный тип пространственных автомодельных движений.
Некоторые тины установившихся автомодельных движений. Хотя изучение стационарных движений среды и не входит в задачу данной книги, мы все же вкратце исследуем несколько интересных типов плоских и осесимметричных автомодельных установившихся движений газа, методы исследования которых совершенно аналогичны тем, которыми мы уже пользовались. Уравнения установившихся осеснмметрнчных течений могут быть написаны в виде (11 1), если исключить из этих уравнений частные производные по времени. Введем величину с' = /ср/р и выразим члены (1/р) др/дг и (1/рг) др/д9 в виде (2.17).
Тогда система уравнений примет вид (11.2) без частных производных по времени. Положим и= с'х„ш= ! х„с= ! )/у, р=! 4, (11.19) где х„х„у„е — функции одной независимой переменной г = г*эе». (11.20) В результате придем к системе уравнений, описывающей авто- модельные установив!Ииеся движения газа: 2 ' ' 2 У Г рФ а,х, + а,х,х, + х»х, — х, + — ~2а1+ а, 1- ໠— 1+ а( ч Г,' ц' (1 + а,) х,х»+ а,хдх»+ х,х, '— — )- — = 0; х1 (1 + а1 + а») + а»хд + х» + — (а»х1 -р х«) + (11.21) + (х, + х» с!а 9) = 0; (а,х, + х») + (2 — /с) а,х, — (й — 1) —" Х у Ч х (а»х, + х») = О.
Здесь, например, Вх! х'= „ (11.22) В случае а» = 0 г=ев (11.23) и система (11.21) имеет решения в предполагаемом «автомодельном» виде. Если а, + О, то искомые решения могут иметь место лишь для плоских движений газа, когда исчезает член х, + х» с«я 9, 1гл. Рн Автомодельные дВижения сРеды ах+тх — х+ ( + ' =О; 1х1 х331 х3 В ч 2 — х х1 (1+а)хг +тххх+ а 1+ а А 1 а3р — =О; (11.24) ах1 Здесь, например, х, = —. Отсюда легко находится решение Буземана, являющееся обобщением решения Прандтля — Майера. (Решение Буэемана относится к изучению конических течений.) Положим, что а, = а, = а, = О.
Тогда все параметры и; и1; с; р являются функциями лишь полярного угла О и уравнения (11.24) примут вид:, первое уравнение и'= 1а, (11.25) второе уравнение 2 113 + ю3+ — с' = А3 = сопвИ (11. 26) полученное равенство является уравнением Бернулли; третье уравнение ~3 (и+ й)~ — м — 1~ =(и+и'сья0).
(11.27) ( х — 1 А' — (и3+ и'~) Можно убедиться в том, что для этих движений Я = сопв1. Б случае плоских движений член и = и' с1я О исчезает, и мы приходим к решению Прандтля — Майера, описывающему, например, /а — 1 эадачу об обтекании угла: и' = 3Ь' (А' — и3), что дает г' а+1 и = А Мп 1Г„"1' (О+ О,), г а+1 (11.28) где 03 = сопв1. поскольку в противном случае 0 явно входит в уравнения, решения которых согласно условию автомодельности не должно эависеть О.
Исследуем сначала случай а, = О. Если исключить $'/$, то система (11.21) может быть приведена к виду В общем случае для автомодельных плоских движений, когда аз = О, мы будем иметь, исходя из уравнений (11.23), после ис- ключения з хз (1 + аз + аз) + авх + х (11.29) авхв+ хв соотношения з в азу' авхв + азх хв -(- хвх, — хз -(- й — 1 2 — й хв ~ у + (2ав+ аз+ авав -( — '„= О; (1+ а,) х,х,+ а,х,х, + х х, +, + (11.3О) 2 — й хзу + й — 1 з й(авхз+ хв) з Очевидно, что задача сначала может быть сведена к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка, а затем даже к одному уравнению первого порядка (поскольку уравнения однородны).
Эти уравнения имеют вид авуз +* + И)ав ахв у 2 — й азазхв авхв(аз — 1) + й ) 2ав + ав + й — 1 а х х ~ (а + хз) хз + й аахз+ Ю у' в+"'+ 1— (11.31) хз '(1 + аз + й 1 ) 2 — й авюу (1 + аз) х з+ й 1 й (, '+ х ) где х' = дхвЯх„у' = дуй(хз. в з. Введем новые величины вз и 1а: х, = взх,; у = й(ахз, уравнения (11.31) при етом примут вид з( )в хз М1 Мз з(аз Мз, Л', ' (11.32) 1м) ПЛОСКИЕ И з1РОСтРАЙСтВЕННЫЕ ДвижЕЙИЯ 117 118 1гл. Рн АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ где /т', = ~1 + а, + — )~ аз + ы + †) — — (аз+ ы) х аа ~1 Эаазй: а + 1 Ь вЂ” 1)' ' Š— 1/ Ь вЂ” 1 Š— 1,/е ) /уз= ~1 + а, + — ) ((аз + о) в + — „)— — — (а, + <о) ~(1+ а,) а + — „(1) (11/33) Йа1 Ыаа — =- а, — + х, (1 + а,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
