К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если искать авто- модельные движения вида г = гсС", то для того, чтобы удовлетворить эти уравнения, необходимо допустить а, = 2, иначе 104 [гл. гп Автоссодельные двс!жвния сткдьс то для симметричных движений это уравнение примет вид — (йгк) = — 4лСрг". д дг (10.10) Умножая почлеяно первое уравнение системы (9.3) с правой ча- стью у на с~, мы придем к такому уравнению: г" ~~ — + — ~ -г — ~ — + с' — ()п р)1( + 4лС ~ рг"с(г = О.
(10.19) Обозначая 4л6 ~ ргкиг = О+ т(С), откуда 4лбрги = д0/дг, мы при- дем к следующей основной системе уравнений: д% ди ди 1 де~ с дг~ У, Π— + и — + — — +с' —,— — + — =0; дс дг Сс дг дд г ~ ' гсс дг дгй дг'" ди + и — + — = — 0; дэ дг дг д% дг дс дд дас дс' — + и — +(/с— дс дг (10.20) 1) с'( — + — ) = О. Положим, как и прежде, г = —,, и = — х(з), с = — ~/у (з), с' с с р = С'*$ (г) и 0 = С'ьф (г). (10.21) в уравнения, описывающие указанный класс движений, войдет в явном аиде время В случае движений вида г = гс" необходимо положить а„ =- = О, иначе с явно войдет в уравнение.
Таким образом, в системах уравнений, описывающих указанные классы движений, мы должны положить: в уравнении (9.10) а, = 2 и в уравнении (9.19) а, = О, что и дает возможность преобразовать систему уравнений (10.17) к виду, описывающему авто- модельные движения. При этом в первом уравнении системы (9 10) справа вместо 0 будет стоять член д/з (во втором случае при а, = =. 0 з =- г). Когда д = СЛХ/гс, то для движений обоих классов г = г/с" и з = гс-"' мы должны положить а, = 0 и прибавить к знаменателям правых частей первых уравнений (9.10), (9.19) величины СЛсх/гс и 6Мх,/г' соответственно (здесь также з = г).
Перейдем к более подробному рассмотрению наиболее сложного случая автомодельных движений во внутреннем (собственном) поле тяжести среды. Поскольку с)сге д =- — 4лбр, х' (х — ас) + х (х — 1) + — ~2у + у' + у ( =— — (ЛГ + 1))] + 4/12+'™Ю'+11С 2 О'+11 Г = (х — а,) +аз+ х 42 (х — а ) + (й — 1)х' + [Лс(/с — 1) + /с + 1) — 2 У где =0; (10.22) =0; =О, Заметим, что поскольку уравнениенепрерывности можно написать в виде — (ргл) + — (ирг~) == О, д . д дс а« то, подставляя сюда ргст = Ог/4лб, получим д (дО/д/ + и д0/дг)/дг = = О, откуда а, +иа — — 0 аэ аэ (10.24) (произвольную функцию времени, появляющуюся при интегрировании, без ограничения общности можно получить равной нулю). Для автомодельных движений уравнение (10.24) примет вид (х — а,) = + а, = О.
4 (10.25) Для того чтобы первое уравнение системы (10.22) не содержало явно /, необходимо положить а2 + 2 = ас (Лс + 1), (10.26) тогда /2+и -аКСа+Цз — СХ+1)— ХС-1 (10,27) Исключая из первого уравнения системы (10.22) с помощью вто- рого уравнения атой же системы величину ас + х' (10.28) х — ас 5 10! симметРичные дВижения для специальных слРЧАИВ 105 Тогда система уравнений (10.20) примет вид 1 ~ю) симмктгнчнык двнжкния для спкцнальных слтчлкв 107 Совершенно аналогично можно рассмотреть автомодельные движения во внутреннем поле тяжести в том случае, когда г = гес"а и = гх, (з), с = г ) у, (г), О = е" $~ (я).
Основные характеризующие задачу уравнения при этом примут вид Ы1в и~ (а — х~) ' — (а — 1) Их~ Ы1вг И1ал а~ — х~ а(х~ ах~ (У + 1) хю (/Ч (а — 1) + Ь + 1) х, (а~ — х~)' — 1/ (10.32) +(я/+1) „,' — х,(аю — .)+Ч(а — хд /заг где 4 = я~'~г), а,' = а, (Аг + 1) = а, + а, (Аг + 1), откуда аю == О, а следовательно, р =- $().
(10.33) В.Автомодельные одномерные движения в трубе переменного сечения Адиабатичесхие течения. Система уравнений (2.25) для данного типа движений может быть написана в виде ди ди 1 Г дса а д — + и — + — ( — + са — (!и р) ~ = 0; дг д Ь ( д. д. — (1п р) + и — (1п р) + — + и — = 0; д д да Ы!п/ дс д. дг Фг д.а даа гди Ы1в/ч — + и — + (й — 1) с'~ — + и ~ = О, д1 дг ~ дг Ыг ! (10.34) где роль координаты х играет г, / — площадь поперечного сечения. Уравнение неразрывности взято здесь в виде (2.19). Могут существовать типы автомодельных движений, когда: а) / = Аг" и б) / = Ае"ге. (10.35) При этом в случае одномерных движений независимую перемен- ную можно выбирать в одном из видов г з= — а=ге ' е=(еаа га, (10.35) В тех случаях, когда а, = 0 или а, а- оо и з = г или з = 1, мы приходим к вырожденному типу автомодельных движений, которые являются частными случаями рассмотренных здесь общих авто- модельных движений.
108 АВтоыойельные движкния с гиды Исследование начнем со случая ГЛ. 111 г г г- г з= —, и=х —, с=[у —, ~а г ' с р = ~":$, / = Аг (10.37) Система уравнений (10.34) примет вид х'(х — а,)+ х(х — 1)+ — [2у+ у'+у — ~ =0; — (х — а,) + аз+ х'+ (а+ 1) з = 0; à — (х — а ) + 2 (х — 1) + (а — 1)[х' + (а + 1)х[ = О, (10.38) где проиаводпые берутся по 1п з. Мы видим, что система полученных уравнений во всем одинакова с системой уравнений (9.8), описывающих автомодельные движения, обладающие симметрией, если вместо величины Х подставить величину а, которая может принимать любые значения (см.' уравнения (9.9) и (9ЛО)). В том случае, когда для данного типа автомодельных движений функция ~ имеет вид ~ — Ае«гз тогда — = рагз. а' 1п/ Ы1вг Для того чтобы система (10.37) описывала автомодельные движения, необходимо положить г = г, что возможно при а, = О. Исследуем другой тип автомодельных движений, когда з = ге-"', и = гхы с = гну„1 р = е"е$, причем г= Аг".
! (10.39) Очевидно, система результирующих уравнений также будет во всем подобна уравнениям, описывающим симметричные движения газа, если вместо Ж подставить а [см. уравнения (9Л8) и (9.19)[. В том случае, когда ~ = Ае""а, вместо величины ах, в уравнении неразрывности будет стоять величина рах,га. Для того чтобы удовлетворить требованиям автомодельности, необходимо положить г = г, т.
е. а, = О. Неадиабатические течения. В случае неадвабатических течений мы вправе воспользоваться уравнениями (10.10)'и (10Л5), описывающими симметричные движения газа для случаев з = гй" и г «01 симметгичпЬ«е ДВижениЯ ДлЯ специАльных слУчАБВ 100 х = ге-'", заменяя в них «г«на ««, - когда / = Агх, и на ()ага, когда / = Аег"Э, полагая при этом а, = О. Рассмотрим еще один тип автомодельных одномерных движений газа, когда е = е"и«/е (неодномерные автомодельные симметричные движения газа при этом не существуют, поскольку г будет входить явно в уравнения в члене Лги/г). Если положить то система основных уравнений для этого случая примет следую- щий вид: хг (хг — аг) — а,х, + — (у, + уг — ) = 0; ~Ф «/1о / — (хг — аг) + агаг+ х, -1- а,хг = 0; «/г (10.41) Уг г ° а'1о/1 — '' (х, — а,) — 2а,(й — 1) ~хг+ а,х, Уг «/г ! а(а 1),.«Е а« ' где, например, хг = «1хг/«11п х.
В том случае, когда / = Аг", Ы 1п//«)г = а/г, и мы, для того чтобы удовлетворить уравнению (10.41), должны положить е = х (г), т. е. а, = О. При этом, вводя х = х', поскольку Ы 1п г= (1/а,) «1 1п е, мы из уравнений (10.41) должны будем вычеркнуть члены вида а,х,', аД'/$, а,у;. В том случае, когда / = Ае""е, А 1и//«(г = аргзы, мы должны или снова положить при произвольном значении р а, = О, или положить и «1 1п /Яг = а.
Поскольку а«',)/й = дфде + и дфдг, то необходимо положить С/ = Чг + д (з)//г, тогда аг/г „~ = д'(х — а,) — 2уаг /д' = ~ ) . (10.42) Систему уравнений (10.41) в самом общем случае можно привести к виду а'1п« «/ 1В ~ *«+ ег (х~«Р+ "~) «/х, ( «/хг хг — аг 10.43) (гл. м! Автомодельные дВижениЯ среды где о) 1а! о)г д)о ев ав — хв др д) вв (ав — хв) — (й — 1) — й (й — 1)— хв Ув хв 21) ав ~(й — 1) хор — 2+ й(й — 1) — ~ рв! ($0.44) ив — хв Й~ (ав — х,)в — Рв — (й — 1) в .Ев дх, авчв Вав — (2 (1 + ~рхв) — йврхв) — авхв (ав — хй — — д ()о — 1) вгв На этом мы закончим рассмотрение автомодельных движений специального вида. $ 11. Плоские и пространственные автомодельные движения Эти задачи были исследованы в общем виде автором [58).
Мы здесь будем рассматривать плоские и пространственные автомодельные движения в случае адиабатического течения газа. Изучение начнем с движений, обладающих осевой симметрией, и плоских движений. Общие уравнения для этих обоих случаев имеют вид (2.24), если положить в уравнениях (2.24) р = ив; «р = 8: ди ди ю ди ,юв 1 др д! + дг г дд г р дг дю дю ю дво ию 1 др — + и — + — — + — + — — =0; д. дг г дэ г р дд др др ю др (ди 1 дю и — '-)- и — + — — '+ р~ — + — — + — + д! дг г дд ~ дг г дА г + и+""'1 = О г да" дд ю дд — + и — + — — =О.
д! дг г дд (И.4) Здесь г — радиус-вектор, 8 — угол между осью, совпадающей с движением газа, и радиусом-вектором, и — проекция скорости на радиус-вектор Л, и — проекция скорости на перпендикуляр к г. Член (1/г) (и + иг с(н 8) характеризует осесимметричность движения; в случае плоских движений этот член из уравнений исчезает. Введем величину с' = йр/р; поскольку 3 — зв — = а = — р-(в-вв, рй й 1 111 плоские и пРостРАнственные ЛВижения И1 то уравнения (И.1) мы напишем в нижеследующем, удобном для дальнейших исследований виде: ди ди Гс ди Гсв 1 Гдсв св др1 — +и — + — — — — + — ~ — + — — 1 дс д г дз г а 'тдг р д 1 ди диГ Гс дГс ии — + и — + — — + — + дс дг г дз г =О; ди и 1 дГс + — + — + — — + дг г г дЭ и + Гс с1Е О г / 1 др и др — (Ь вЂ” 1) — — + —— р дс р дг =О; 1 др и др Гс др — — + — — + —— р дв р дг гр дд (И.2) 1 дси и дсв + + св дс св дг ш дсв гсв дз =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
