К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 21
Текст из файла (страница 21)
(13.10) Определяя при заданных начальных и граничных условиях Р, и Р„а затем и а и р как функции от х и 1 или, обратно, х; 1 как функции а и 6, найдем 129 з Ы! ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ УРАВНЕНИЙ независимо друг от друга. На это указывает и то обстоятельство, что определение величины и + с = сз в уравнениях (13.10) происходит при заданных граничных и начальных условиях независимо от определения величины и — с = р. Эти решения также показывают, что при заданных величинах и + с = сз, и — с = р закон их распространения в плоскости (х, 1) изображается прямыми линиями, что уже было установлено ранее при изучении характеристик уравнений, описывающих одномерные изэнтропические движения среды. Факт независимости распространения величин и + с = зз и и — с = р в случае п = 3 позволяет аналитически просто решать самые разнообразные задачи в области одномерного изэнтропического движения среды.
При выводе решений (13.8) мы использовали обобщенную изэнтропу (8.17). В ряде случаев эту изэнтропу или изэнтропу р = азрз можно заменить изэнтропой 1(,з 3) (13.12) не теряя сильно в точности результата при целесообразном выборе коэффициента Аз для самых различных значений показателей п и /с. Указанный прием — замена одной изантропы другой, более удобной для интегрирования уравнений,— давно уже применяется в газовой динамике. Еще С. А. Чаплыгин для удобства интегрирования уравнений, описывающих плоские установившиеся изэнтропические движения газа, предложил заменить обычную изэнтропу вида Р = Озр аппроксимирующей изэнтропой А р= — — = — Ач, Р (13А3) что позволило ему весьма просто проинтегрировать соответствующую указанным движениям систему уравнений. Надо заметить, что предложенная здесь нами аппроксимация вида (13.12) значительно удобнее аппроксимации вида (13.13).
Последняя может в системе координат (ри) представлять или касательную к некоторой точке истинной иаэнтропы, или секущую и поэтому будет аначительно хуже ее аппроксимировать, чем обобщенная изэнтропа (13.12), кривиана которой (в области аппроксимации) одного знака с кривизной истинной изэнтропы. Так дело обстоит с формальной стороны. С физической точки зрения аппроксимация (13.13) такх<е значительно менее удобна, чем аппроксил1ацня (13.12).
Б самом деле, из (13.0) при я == — 1 получаем 130 Рвшенив угавнгний для одномкгных двнжгнйй ~гл. 1т систему уравнений характеристик в виде (13.7) — (и -~- с) + (и+- с) — (и +- с) = О. д д (13.14) Анализ этих уравнений показывает, что заданное состояние, определяемое величиной и+ с = а, распространяется против течения среды со скоростью и — с = (), а состояние, определяемое величиной и — с = р, распространяется по направлению течения среды со скоростью и + с =- а, что, вообще говоря, для реальных газов, а также для типичных несжимаемых жидкостей и твердых тел физически абсурдно. Целесообразно применять уравнение состояния (13.12), прн которых получаются простые решения. $14.
Особые решения В предыдущем параграфе мы вывели соотношения, позволяющие изучить распространение заданных состояний среды. Мы установили, что существуют волны двух противоположных направлений, которые в общем случае влияют друг на друга. Только в частном случае, когда уравнение изэнтропы имеет внд (13.5) и и = 3, волны обоих направлений распространяются независимо. Для получения особых решений уравнений одномерных иээнтропических движений будем исходить из соотношений (13.4), установленных нами для общего случая, когда уравнение изэнтропы имеет вид р = р (р).
Как уже указывалось, из этого уравнения вытекает, что состояния и+ ) сс( 1п р = а, и — ~сН1п р = 3 распространяются соответственно по течению и против течения со скоростями и + с и и — с, взаимодействуя между собой. Так как значения а = а, или р = р, при подстановке их в систему (13.4) обращают эту систему тождественно в нуль, то эти значения аэ или рз и будут являться решениями — первыми интегралами системы (13.4) Исследуем сначала подробно случай, когда а = а„при этом и = аэ — )сй1п р.
Подставляя это значение во второе уравнение (13.4), мы получим д — (1пр)+(и — с) — (1пр) = О. д Подставляя сюда Ы 1п р = — с(и/с, придем к уравнению ди ди — + (и — с) — = О. дс дх (14.1) 131 $ ы! ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ х = (и — с) г + Р (и), (14.2) гДе и+ 1с111ИР =аз.
Решение (14.2) определено вдоль характеристики и+ ~ сд 1п р = = аю так как задаваемым состояниям (и, с) соответствовали точки этой характеристики. В случае обобщенного уравнения изэнтропы (8 17) второе уравнение этой системы имеет вид 2 и+ — с=а. э 1 О (14„3) Аналогично пРи Р = Рю исключаЯ и = 'Ре+ ~ сс(1п Р или с11 1п Р из второго уравнения системы (13.4), мы придем к уравнениям а1 +(и+ с) — = О или — +(и+с) — = О. (14.4) Решения этих уравнений можно написать в виде (14.5) х = (и+ с) г+ Р(и), где и — ~ сд 1п р = 3е; при законе обобщенной (8.17) изэнтропы вто- рое уравнение системы (14.5) примет вид 2 и — — с= ре. и — 1 В случае и = 1 решения, как это видно из (13.4), принимают вид х = (и+-со)1+ Р(и)' и = +.
се1п Р + соы1 Ро (14.6) ИЛИ 1 = ~иС + СОПЗФ, ГДЕ Се = СОПЗ1. В случае и = 3 имеем х = (и+ с) 1 + Р (и); и =+.с+ сопзс, (14.7) При нахождении решения этого уравнения мы должны помнить о непосредственной сяаи между и, с. Пусть задана одна иэ величин, и или с, тогда будет иавестной и другая нз этвх величин на основании уравнения и+ ~ сд 1п р = аз, являющегося уравнением характеристики. Выбранная совокупность величин и, с соответствует некоторой точке на характеристике. Этой точке соответствует такое решение уравнения (14.1): 132 Решение УРАВн[н[ни для одномеРных дВижении [Гл. Рч В случае п = — 1 х = (и-+с) [+ Р(и); и+с = сопя[. (14.8) Решения (14.2) и (14.8) зависят от одной произвольной функции и от одной константы. Общие решения двух дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка должны зависеть от двух произвольных функций. Таки» образом, особые решения не могут описывать произвольные процессы неустановившихся движений газа; они в состоянии описать только некоторые частные процессы, характер которых мы сейчас выясним.
Первый интеграл основной системы уравнений вида и-'; ~ сд 1п р = сопз[ х = (и + с) [ + Р, (и); и — ~ сд 1и р = !),; х = (и — с) [+ Рз (и); и+ ~ с[1 1п р = ию где Р, + О и Р, + О, соответствующие прямолинейные характеристики в плоскости (х, [) начинаются на некоторой линии х = = хз ([), являющейся границей рассматриваемой волны. Напри- является характеристикой в плоскости (и, с). Следовательно, в особом решении уравнений движение среды может быть определено только вдоль одной характеристики.
Отсюда следует, что возмущения среды, описываемые особым решением, могут распространяться только в одном направлении и, следовательно, будут описывать волну одного направления, так называемую бегущую или простую (римановскую) волну. В случае общих решений, как мы уже показали (см. (8.16)), существует два семейства характеристик в плоскости (и, с): и+ + ~ сд!и р = сопз[, и — ~ с[1 1п р = сопз[, которые при изэнтропическом уравнении прямолинейны. Им соответствует вообще два криволинейных семейства характеристик в плоскости (х, [), являющихся решениями уравнений Нх/г[г = и + с; Их/й = и — с. В случае особых решений одно нз семейств характеристик в плоскости (й х), например [[х/Ы[ = и + с, отображается на одну характеристику в плоскости (и, с): и+ ~с[!!пр = сопз[, а характеристики другого семейства в плоскости ([, х): дх/Ы[ = и — с— на некоторые ее точки.
В том случае, когда особые решения основных уравнений определяются общими выражениями (14.5) и (14.2): 1 1Ы ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ мер, при произвольном плавном движении поршня этой границей является сам поршень, и уравнение х = х (1) будет описывать закон его движения. В некоторых частных случаях произвольные функции г', или го могут равняться нулю, тогда уравнения (14.3) и (14.5) примут соответственно вид х 1 2 и+с = —; и — ~сд1пр=(~о или и — — с= Цо; (14,9) и — с = —; и + 1 сй 1п Р = а, или и + — с = ао. 1 ' 1 в — 1 2 * п — 1 в — 11 х + ро' с = ~ — ро) и+1 1 в+1 ' и+1(, 1 или 2 х в — 1 и= — — + — а; в+1 1 и+1 с= — "(а, — — '). (14.1О) и+1~, о 1 Соотношения (14.9) показывают, что характеристики х = (й + с) 1 (14 11) или соответственно х = (й — с) 1 (14 12) выходят из одной точки х = О, 1 = О; такие характеристики и волны, ими описываемые, называются центрирсвакмыми.
Так как в уравнении газовой динамики описывающие одномерные движения х и 1 входят только под знаком дифференциала, то, вычитая из х и Г произвольные константы х, и ею мы получим следующий наиболее общий вид центрированных волн: 2 при и — — с = Ц 1 = о -~ . ) х хо — = и — с.
с — и (14 13) 2 при и+ =с = ао п — 1 Характеристики для данных решений будут начинаться в точке а=хо 1=1о Полученные здесь результаты, как мы убедились, принципиально справедливы для любого уравнения изэнтропы. Как мы видим, в данном случае движения среды оказывается авто- модельными, поскольку и и с являются функциями лишь одной независимой переменной з, равной отношению а/д т. е. мы имеем дело с уже рассмотренным ранее классом автомодельных двия1ений з = х/1в, где а, = 1. В случае обобщенной изэнтропы соотношения (14.9) дают соответственно 134 Решение уРАВнений для ОднОмеРных движений 1гл, су Характерной особенностью особых решений является тот факт, что при любом уравнении иаэнтропы и = и (с) или и = и (р). В классической теории особых решений одномерных движений, данной Ирншоу, особые решения определялись именно, исходя из того, что и = и (р).
В этом случае основным уравнениям (13Л) можно придать вид др др др с с)1а р — +и — + — с — =О; дС дх дх с)и др др др ди (14Л4) — Р+и — Р+ — Р— = О. ) дс дх дх с)1вр сС 1п р з сСи Оба уравнения будут совместны, если — с' = — , откуда слесСи с) 1в р ' дует, что ди = ~сс1 1п р = )~ — — др ду, ('Р) =О. д(с, х) (14.15) Это условие дает ди др ди др дс дх дх дс ' Написав основную систему уравнений (13.1) в виде ди ди сс др — +и — + — — =О; дс дх р дх др др ди — +и — +р — =О дс дх дх (14.16) что и подтверждает справедливость доказываемого положения. Дадим теперь формальный вывод особых решений так, как это принято в настоящее время в теории дифференциальных уравнений. Прежде всего ааметим (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
