К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Полагая в случае уравнения изэнтропы вида (8.17) Ц1 — 11 и-1 'Аи дс' и — 1 и — 1 определим теплосодержание не в виде га = (с' — сс'у(и — 1) = = сЧ(к — 1) (1 — рс/р)" ', а как величину, определяему1о выра- Я1ЕНИЕМ сс и — 1 Назовем 1 эффективным теплосодэржанием. Введение величины 1 = сЧ(и — 1) сейчас является более удобным для производства дальнейших выкладок.
Переход к истинному аначению теплосодержания, которое мы здесь обозначим как 1и, не представляет затруднений; 1и = 1 — 15, где 15= с~!(и — 1) есть эффективное теплосодерясание при р = О. В случае уравнения изэнтропы р = пор" оба значения теплосодержания — истинного и эффективного — совпадают, поскольку р, = О, с, = О и 15 = О. Для удобства дальнейших преобразований напишем теперь уравнение (15.7) в двух видах, выражая все или через 1 и и, или с и и.
Первый вид уравнения очевиден: дс д' дс ' . д'т д$ дскб (15.9) Второй вид мы получим, определяя тогда Если вместо с ввести новую независимую переменную 1о = = 2с!(и — 1), то это уравнение можно переписать так: дскб 3 — и 1 дф д'5д — + дшс и — 1 и дш дис Примем теперь за независимые переменные величины сс и р: 2 2' 55=и+ — с=и+в, — (э=и — с=и — и, 142 гвшвннв тгавнвннй для одномвгных двнжвний ргл. ~ч откуда и — 6 и+а И =— 2 ' 2 И=в Такая форма уравнения называется канонической.
В случае в = 1 мы имеем с = с = )/А + сопз1, й = си. д )п р; вводя новую переменную р р ю=1п — = — —,, ии мы приведем уравнение (15.8) к виду дЬР дф а д'ф — + — = с„—. дв~ да ди~ ' (15Л 3) Снова вводя переменные а и р; 4а = и/си + ю; — 4р = и/си — ю, придем к каноническому уравнению Римана =+=+= = О. ачр ар аФ а ар аи ар (15Л4) Решение етого уравнения выражается гипергеометрическим рядом (или бесселевыми функциями). Дифференцируя почленно соотношение (15.9) по /, придем к такому результату: (и — 1) Р—. + —,(в — 1+ 1) = —, .
аьр, ар, дьр1 ан ш дии ' где фт = дф/д/; поскольку мы имеем дф/д/ = /, то зто соотношение является уравнением, определяющим г: . ан ас дн (л — 1) / —. + и —. = — . ды дР дии ' (15Л5) Заменив производные по 1 производными по с и учитывая, что (и — 1)1 = си, придем к уравнению (15.16) Величины и и р в теории дифференциальных уравнений называются инвариантами Римана. Легко убедиться, что уравнение (15Л1) в переменных и и р примет вид ар ар д'1Р и — 3 да + дд (15,12) дадр 2(а — 1) и+ д 148 $1ы ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ Продифференцировав соотношение (15.9) г раз по 1, мы получим д"+зг[г д"+115 О""~ 1(п — 1) — г+ [г(п — 1) + 1[ дг" 61 "+1 д!г д2и Интегрируя г раз по 1 зто же выражение, будем иметь (л — 1) 1 — „~ 5,, ) + [ — г (и — 1) + 1) — „( д,, ) = —,, ( д,), где д — г[ Результаты дифференцирования и интегрирования мы сможем, объединив их, написать так: (и — 1) 1 — ( —., ) + [ х г (и — 1) + 1 [ — ~ —.) = — Я .
(15 17) Перейдем снова от независимых переменных 1, и к переменным 1д, и, тогда (15.14) мы напишем в виде д, ( —,)-à — г ( )[„Г2)= г, ( — ). 115151 Соответствующее каноническое уравнение примет вид (15.19) 3 — о *2г+ 3 Полоисив, ) ~ г = О, определил1 и =,",, где г = О, 1, 2, 3,, оо; тогда уравнения (15.18) и (15.19) напишутся так: 'д-г ' д — д '[ —..г,) = О, (1о.20) д 15г~д ,. „— ~ ( ) + ~ (Я (15.21) т. е. станут обычными волновыми уравнениями.
Общим решением волнового уравнения, как известно, является [44 гкшкнлле Углвнкнпи для одномегнык движкнии 1гл. гу при этом знаку минус соответствует дг г знаку плюс соответствует что можно объединить выражением дь" дгг" (15.22) +2г+3 прн условии и — —,3 —; —, г г+1 Решение (15.22) является (15.1). Поскольку — 0,1,2,3,..., общим решением системы уравнений 2 и=и+ю=и+ с=и+21/— а — 1 1/ (15.23) / — 3=и — и — — и — — с=и — 2]г и — 1 У а — 1 то, заменяя и через г, придем к таким выражениям: и = и+ ., = и+ ф'2(2г+1)1, (15.24) — [л = и — ' = и — ]Г2 (2г -]- 1) л.
2г+ 1 2г+3 Значение и = соответствует реальным значениям показг+ 1 зателя политропы, (Здесь надо помнить, что корень имеет знак +.) Теперь общее решение (15 18) мы смолкем написать в виде л]~ = —,. (]гл []/2 (2г + 1) л + и] + Рл [)Г2 (2г + 1) л — и]) (15.25) 2г+ 3 для и = —.-, где г = О, 1, 2, 3, ..., о, чему соответствуют значения и = 3, 513, 7!5, ..., 1, причем х = и1 — —, дФ ди (15.26) 145 1 ж) ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ Решение вида д" гр = — „[/гг()/2 (1 — 2г) г + и) + Рг( 1/2 (1 — 2г) г — и)) (15 27) будет соответствовать значениям индекса и, равным 3 — 2г п=1 гдедляг=0,1,2,3,...,о значенияправнып=3,— 1;1/3, 3/5, ..., 1, что, за исключением случаев г = О и г = оо, приводит к нереальным значениям показателя изэнтропы и. Определенный интерес может представлять случай г = 1, когда и = — 1 (для ряда аппроксимаций).
Очевидно, что )/2(1 — 2г) / = — ',, т. е. 1 — зг' является действительной величиной, поскольку при г ~ 1 г — сг( О. Общее решение, написанное в виде (15.22), ногино преобрааовать также к виду, содержащему производные по а и р. Так как а — () а+и / г . и — 1/и+Д и то производная от какой-либо функции г (1) по / определится вы- ражением дг 4 1 / дг дг ' + дг и — 1а+(1(да д(1/ ' таким образом, в случае г = 1 дд, дл, д Р + . 4 да д() /г(а) + /г(5) дг г г и — 1 а+5 а+и где /, (гг) и /, (()) — две новые произвольные функции 4 дяг 4 д/гг /г= — — / = — —.
и — 1да' и — 1 до Поскольку при г = 2 /д/, д/,1 д /д+/г 4 (а+(') (,да +дз/ (/'+/г) дг а+(1 и — 1 (а+а)г 4 (д /г д /г и — 1 ( да (а + Яг дд (а + Яг ~ ' 146 гвшвник гглвнвний для одномкгных движвний ~гл. ду то, используя метод полной индукции, можно показать, что при произвольном г Укажем для полноты изложения, что введенные здесь производные функции ~д (а) и 7д (а) связаны с произвольными функциями Р, (а) и Р, (а) соотношениями! — ~д(а) зт-д 1 (3) — ( ) (1)) — „, „+ имеет значение г = — 1, О, 1, 2, ..., сю. При этом надо помнить, что д и х определяются с точностью до констант, которые мы в решения не вводим.
В случае г = О, п = 3 др = Рд (и + с) + Р, (и — с) = = ~~,(а) йа+ ~/~(3)д(() = Р,(а) + Р,(Щ, (15.29) при этом 1 +)д а+3 (15.30) г' — Р (и+с) ()д + (и — с) х = и1 — (Р, + Рз)— Поставленная нами задача отыскания общих решений завершена. Как и следовало ожидать, общее решение двух уравпеыий в частных производных первого порядка зависит от двух произвольных функций. Произвольные функции Р, (и), Р, ()1) или /д (а), /д (р) являются функциями от характеристических соотношений в плоскостях (и, с) и (и, д).
Решения, написанные в форме (15.28), определяются производными, взятыми по характеристическим соотношениям (ипвариантам Римана) обоих семейств. При решении конкретных задач различного типа из соображений удобства польауются либо решениями вида (15.25), либо решениями вида (15.28). Выпишем теперь решения обоих видов в форме, удобной для использования, когда показатель изэнтропы и может принимать реальные значения и = — 1, 3, 5/3, 7!5, ..., 1, т.
е. когда значение г в редпениях вида 147 1 15) ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ Соотношение (15.30) можно также написать в виде с( = Р1 — Рг~ и8 = х + Рг + Рг откуда х = (и + с) 1 — 2Р1 = (и + с) 1 + Ф, (и + с), х = (и — с) 1 — 2Рг = (и — с) 1+ Фг (и — с), д" г(1 = — „( Р, Д«2 (2г + 1) 1 + и) + Рг (')«2 (2г + 1) 1 — и) ) = дг" дг«-1 ( д)« ~ дд«-1 ( ( ())« ' (15.32) Иногда выраягение (15.32) для гр бывает полезно представить в виде производной, порядок которой на единицу меньше: д" ' 7 (У2(2«+1) '+и)+Рг(У2(2«+1)1 — и) (15 33) «Н«-1 где 71 и Р, — новые произвольные функции.
Отсюда д" [71(1 2(2г+1) 1+ и) + Р«(1«2(2г+ 1) 1 — и)) дг" у7 = †„„,(Р,(')« 2 (2г + 1) 1 + и) + Р ()г 2 (2г + 1) 1 — и)] = (15.34) = 2 (2, + 1) д 6 (") д" 1 Р) ди«(и + Д«+1 дд«(и + 2)«+1 д«д 2г+3 х=и( — —; и=, ди ' 2г+1 ' Определим теперь общее выражение для производной дг(«1'ди. Первое представление дф«'ди имеет вид д«(«д ) д 1 д'1( Г«2(2«+1)(+ и]+ Рг(У2(2«+1)1 — и) ди ди ( д;«-1 )«'Г = — (Р, ( )«'2 (21.
+ 1) 1+ и) т Рг ( уг2 (2г + 1) 1 — и)!, (15.35) где знак ' означает производную от функций Р1 и Р, по их аргументам. Второе представление дф!ди, выражаемое производными по инвариантам римана, также легко получить, поскольку т. е. мы пришли к угке известным решениям в случае п = 3. В общем случае, когда г есть произвольное целое (положительное или отрицательное) число, как мы видели, 148 гкшкннз ггхвнвний для одномвгных движвннй [гл. 1ч дф дф дф — = — — ' поэтому ди ди д2 ' дф д" /1(и) д" /, (д) ди ди' (и ) Д)" дд" (и ( д)" д" ' /1(а) да" 1 (и+ 3)» е д" /Я(д) 1 (15 30) дз~-1 („+ а)~-1 Мы получили, таким образом, общие решения для ряда значений показателей изэнтроп ы п = — 1, 3, 5/3, 7/5, ..., 1.
и = +- — с + сопзВ = -+ ю + сопзВ, 2 функция ф может принимать или заданное значение фг (и), или значение ф, ((). Поскольку особое решение имеет вид л = (и +- с)( + + Г (и), а с другой стороны, в общем решении мы записывали х в виде х = и/ — дф/ди, ( = дф/д(, то из сравнения этих соотношений следует, что д + д, +Р(и)=0. дф дф (15. 37) Так как при этом с)и = +- сс( )п р = + й/с, что определяет -+с = ЫИи, то — + — —,+г'(и) =0 дф д1 дф ди Ыи д( Поясним, какой смысл имеют н когда могут при отыскании общих решений употребляться эти показатели. Случай п = — 1 имеет главным образом формальное аппроксимационное значение, и только для некоторых деформируемь|х твердых тел и = — 1 может иметь реальное значение.
Случай и = 3 отвечает плотным газам, например продуктам детонации, и, как будет показано ни1ке, также может быть использован при описании движения вообще плотных сред. Кроме того, вследствие исключительной простоты решений мы часто будем пользоваться значением и = 3 для аппроксимации ряда изэнтропических законов в случае обычных гааов. ' Случаи и = 5/3 и 7/5 отвечают одноатомному и двухатомному газу при обычных температурах. Случаи и = 9/7, 11/9, ... и т. д. отвечают нагретым газам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
