К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Если движение, характеризуемое общим решением, начинается у стенки, то следует полагать на стенке и = О. Если волна разделена от других особым разрывом или ограничена движущейся стенкой (поршнем), то необходимо знать закон движения особого разрыва или аакон движения стенки (поршня). ГЛАВА Ч ОДНОМЕРНЫЕ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ 3 18. Основные закономерности установившихся изэитропических потоков (18.1) который носит название уравнения Бернулли; здесь г, — тепло- содержание покоящейся среды. Между установившимися и неустановившимися движениями среды существует ряд существенных отличий.
Так, при заданных кинетической энергии и массе движущейся среды ее количество движения, как будет показано в $25, при установившемся движении максимально, а для различных неустановившихся движений различно. Скорости движения среды под влиянием разности давления также различны в установившихся и неустановившихся потоках. Предельные скорости истечения раареженной среды в пустоту в случае неустановившихся движений в несколько раз превышают соответствующие скорости истечения в установившемся потоке.
Для плотных сред может наблюдаться обратная картина. Основное отличие между этими двумя видами движения среды ааключается в том, что в неустановившемся потоке некоторые частицы движущейся среды имеют энергию ббльшую, чем средняя энергия, а некоторые — меньшую, тогда как в случае установившегося изэнтропнческого потока энергия всех его частиц одинакова. В процессе движения в неустановнвшихся потоках происходит непрерывное перераспределение энергии по массам движущегося вещества. Для того чтобы мы могли сравнивать аакономерности движения среды в ряде неустановившихся потоков с соответствующими закономерностями установившегося движения среды, целесообразно сначала вкратце рассмотреть основные свойства установившегося потока. Рассмотрение проведем для одномерного потока, движущегося в трубе переменного сечения.
Уравнение движения для установившихся одномерных потоков, как это следует из первого уравнения (13.1), сразу допускает первый интеграл цг г + — = г„= сопзг, — н— 18У ОснОВные зАкОномегности устАнОВиВшихся пОтОкОВ 167 Уравнение неразрывности при этом принимает также весьма простой вид уу=риу=т, (18.2) где у — плотность потока, у — сечение трубы, т — масса среды, протекающая через любое поперечное сечение в одну секунду (секундный расход среды). При истечении среды в пустоту, т. е.
при неограниченном увеличении у, когда р — О и 1 -+-О [или р — р и у возрастает, но ограниченно в случае закона изэнтропы р = А (р" — р,")), мы имеем и = ивах = 21<У<в (18.3) где и,»,„— максимально возможная скорость движения среды при заданном теплосодержании покоящейся среды 1». Рассмотрим поток, движущийся в сопле, которое сначала плавно сужается, а затем расширяется (сопло Лаваля).
Очевидно, что в минимальном сечении у = у„величина плотности потока у = ри достигает максимума. Это значит, что <Уу = и <Ур + р <Уи = О. (18.4) Посколы<у уравнение Бернулли мои<но представить в дифференциальном виде — 'Р = <(1 = с' — Р = — и <(и, (18.5) Р Р то, определяя из (18.4) <УРУр = <УиУи и подставляя в (18.5), мы при- дем к соотношениям и' = с', откуда (18.6) »-1 (сй с ) — < сн '[ 1 ( ) » — 1 (18.7) что в случае газа, когда р, = О, и = й, дает Х вЂ” 1 их = — сй ~1 — ( — ) (18.8) что показывает на достия<ение в минимальном сечении сопла звукового режима течения. Это сечение называется критическим и значение величины и„= са — также критическим.
Б случае закона обобщенной изэнтропы уравнение Бернулли принимает вид 168 одномвгнык изэнтгопичзскив движения сеиды /гл. ч В случае неснаимаемой среды (жидкости) х 2 и' = — (р„— р). Рн (18.9) Выражая максимальную скорость истечения через сн, где с„— скорость звука в покоящейся среде, из формулы (18.7) при с — ~ О, мы придем к известному соотношению „/ 2 иааах = ),' 1 сн. (18.10) Выражая также критическую скорость их = с„через сн (для чего необходимо в формулу (18.1) вставить значение теплосодержания 1 а ю. 1.= /н+ (с' — сн)' затем, полагая с = и = с„, найти с„), прин — 1 дем к такому классическому соотношению: / 2 ин = сх — — ь — с„= сопз1.
и+1 (18.11) Из соотношений (18.7) и (18.11) можно получить выражение и'. — с = (и' — с') л+1 (18.12) которое будет справедливо и для пространственных течений газа, если вместо скорости и подставить полную скорость. Уравнение (18.12) показывает, что если в заданном сечении и < с„, то и и< с, если и) сю то и и >с, поскольку с„= $/2/(и + 1)с„является везде в текущем газе постоянной величиной. Продифференцировав и поделив на ри/ уравнение (18.2), получим — + — -~- — = 0; а/Э ~~ а// и / поскольку иа равенства (18.5) получаем аначение величины др/р, равное Ыр/р = — (их/сх) (с/и/и), то окончательно имеем (18.13) Иа этого равенства следует, что в случае дозвукового потока, когда и < с, будут выполняться условия с/и ) 0 при ф < 0 и ди < 0 при с// ) О, т.
е. дозвуковой поток тормозится в расширяющейся трубе и ускоряется в сужающейся. В случае сверхзвукового потока, когда и ) с, Ыи ) 0 при ф ) 0 и Ыи < 0 при с/7'< О, т. е. сверхзвуковой поток ускоряется в расширяющейся трубе и тормозится в сужающейся. В обоих случаях в критическом ~ 1»! основныв зхкономкгностн установившихся потоков 169 сечении, когда и) = О, достигается критическая скорость течения, / 2 т. е.
и„= + с„= "ь' гю Указанные здесь закономерности двн— У и+1 жения установившихся потоков обобщаются на неодномерные адиабатические движения. При этом под и следует понимать полную скорость движения среды (э), а величина ~„будет постоянна только для данной линии тока, изменяясь от одной линии тока к другой. В случае пространственных движений величина площади сечения 7 будет иметь некоторое условное значение; можно рассмотреть ряд линий тока и, выбирая некоторую поверхность, образованную заданными линиями тока, рассматривать ее сечение так, чтобы эти сечения были перпендикулярны ко всем линиям тока, лежащим внутри указанной поверхности; тогда наши выводы относительно критической скорости в случае изэнтропических дви)пений оказались бы верными. Для адиабатических двияюний указанная поверхность должна содержать достаточно малое количество линий тока, для того чтобы наши выводы относительно критической скорости также оказались верными.
Продолжим рассмотрение одномерных движений. В тех случаях, когда среда истекает через сопло Лаваля не в пустоту, а в другую среду, давление которой р„в критическом сечении сопла не обязательно может быть достигнут критический режим движения, определяемый условием и„= с„= )Г2!и + 1 с„. Если противодавление внешней среды р» определяется из соотношения и .1 из = т с„= 1 с~~ ~1 — ( ) ~, (18.14) то это означает, что в критическом сечении достигается как раз режим критического истечения при условии, что внешнее противо- давление равно Хотя при повышении противодавления до величины р,) р» скорость истечения среды через сопло по-прежнему будет подчиняться уравнениям (18.1) или (18.7), это истечение всегда будет дозвуковым.
Пусть теперь р,(ра, тогда всегда можно рассчитать выходное сечение сопла 7', так, чтобы на выходе давление в истекающей 170 одномвгныв изэнтгопичвскив движвния спелы [гл. ч среде было бы р„при этом и+1 11~"-П ( Аро + Рк '(" (н — 1) (18.16) Это соотношение определяет также любое сечение сопла ~„ если в него подставить вместо величины р, текущую величину р,. Если для сопла заданной формы повышать противодавление внешней среды, то на выходе возникнет ударная волна, которая будет входить в глубь сопла, пока не достигнет критического сечения; после этого секундный расход среды через сопло, который определяется формулой 2 ', 1(и — 0 т = ркск1к = рнснЛ~ ( „+, ) (18.17) начнет уменьшаться.
Секундное количество движения (тяга) опре- деляется соотношением и — 1 Х=ти=тсн ~/ — ~1 — ( ~к+Р ) ~. (1818) Ари+ рн В случае истечения гааа, когда р, = О, п = й, соотношения (18.15), (18.16), (18.17) и (18.18) примут соответственно вид з-Н 1аи ( 2 '1 Кк — П крн1к и =(а+1/ сн э Рк ! 2 111 р, ( а+27' З+1 / 1' 2 )Кк П („=(з+~! „Г и — 1 К К+1 ( (рн) (рн) ) 1 (18.16) $181 ОснОВные зАкономегности УстАнОВиВшихсЯ потокОВ 171 В случае <е = 1, т. е.
при изотермическом процессе, и» = 2с» 1п рн,<р; при этом в случае истечения в пустоту скорость истечения будет неограниченно возрастать. Соответствующие этому случаю формулы, определяющие Дн, т, 1, будут иметь вид (в Рн )к р )Ре (18.20) е ==»Е 1П вЂ”, РВ1н - Рн 1ге 1< Рд и Рн<н где е — основание натуральных логарифмов, т = <1тlй, Х = <11'Ю. При рассмотрении истечения среды из большого резервуара в пространство можно сделать вывод,.что критическая скорость истечения в случае р» ) рн достигается непосредственно на выходе из резервуара, и поэтому выходное сечение будет являться критическим сечением. В несжимаемой среде скорость звука с» = е<р/йр = со, так как р = сопз1, и поэтому всякое истечение среды является доавуковым.
Отсюда в несжимаемой среде секундный расход ее через какое-либо сечение определяется просто соотношением Г в(Р,— Р,) т = ре)<и = Р,Р1 1 е = /1 )< 2ре (рн — р ) (18 21) причем скорость истечения определяется формулой и 2 (рн рн) Ре (18.22) Р Р + Ра (18.23) и скорость движения среды — соотношением и< и=— Р,1 (18.24) секундное количество движения среды в сечении, где р = р„ выран<ается соотношением 1 = ти = 2(1 (рн рн) (18.25) где /1 — площадь такого сечения трубы, в котором достигается режим движения р = р . Поэтому в произвольном сечении трубы Р' давление определяется соотношением 172 ОднОмеРные изэнтРОпические движения среды ргл.
ч Целый ряд полученных здесь результатов мы используем при изучении стационарных ударных волн (что в дальнейшем позволит нам изучать неустановившиеся адиабатические движения среды, в которой могут возникать нестационарные волны). В заключение этого раздела следует указать, что выражение секундного импульса в случае газа на выходе из сопла можно написать, используя формулы (18.19), также в виде 1 1.= ти = — /,ри ~( — ') — — '1 .
(18.26) й 19. Интегрирование уравнений плоских изэнтропических течений газа Основные уравнения, описывающие плоские установивпшеся изэнтропнческие течения газа [см. (2.13)), имеют вид ди й др +Р— + —— ду р дх дх 'й др +и — +— ду р ду а <р.) а (р.) д.й ду ди и— дх =О, ах и— дх (19Л) ий+ хй 2 +й =рой (19.2) причем дйр Ю = —, ду ар и=— дх ' (19.3) где йр — потенциал скорости. Решение последнего уравнения системы (19Л) можно представить через функцию тока йр (х, у): д ' 1 + д (19.4) Введем обоаначение для модуля полной скорости а = — )/ ий -(-Рй и угла 0 между направлением полной скорости и осью х, тогда и = а соз О, Р = а з(п 0, и уравнения (19.3) и (19.4) после простых преобразований примут вид (уравнения Чаплыгина) р — =а —, ра — =( — — 1) —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
