К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Из (21.20) будем иметь (21.22) с„с (2г)( В(΄— и~)" с„(2г)((Π— и~)" / О„ 2м+1 (М)~О 2 Аналогично, используя третью формулу (21.14), найдем, что х= иг. (21.23) ' то можно написать, что 1 О * = [(2г+1) с„)'"" [ — '1 = [(2г+1)с,]'"" Р ~~ —,) Рв Обозначая постоянный множитель формулы (21. 22): (2г) (/(г! )'2'" = В, найдем, что —;"' =В(1 — —,, ) ® =В(1 — — „' ) ( — ',"), откуда (21.24) что дает распределение плотности по скорости при ( — ~ оо. Это следует из того обстоятельства, что порядок величины дф/ди соответствует порядку величины О дф/)/0„00 20/у'Оа.
Займемся преобразованием формулы (21.22). Поскольку 1 О„= (2г+ 1)'сз, и = (2г+ 1)(с„— с), с р +', 187 1 гы ОТРАясение ВОлны РА3Режения / с согю Г 2г+ 1 1 х 1ог+с с ) рн~ 2(г+1) 2(г+1) снс ~ при С -~ со р -~ О, откуда х/( = (2г + 1) сн = 2сн/(/с — 1) = и„,н. Масса газа на интервале Лх определяется интегралом ЛМ = ~ р с(х, х, где согласно (21.17) и (21 18) ) 'с г+ хо = (2г + 1) сн( хс = хо — 2 (г + 1) с„( ( —,, ) Отсюда следует, что хг ЛМ = рнсно 1 (з. — З)'"" (з, [2 (г + 1)! н+х 11 где г С ~ г+г — зо — — 2с.
+ 1, з, = 2г + 1 — 2 (г + 1) ~ — ) снс ' с снс/ Интегрирование дает I е то С х ЛМ= рнсн( ( — ) =р 1 — = М— оно/ со нсо' где р„( = Мн есть полная начальная масса газа. Отсюда видно, что при г — ~ оо ЛМ- О. Для определения полного импульса, действующего на стенку, воспользуемся выражением у = ~ риссх. -с (21.25) При г - ао зта формула переходит в г"= ~ рных. о (21.26) Покажем теперь, что действительно в интервале особого решения масса газа стремится к нулю. Поскольку р = р (с), то, используя (21.15), найдем, что плотность в интервале особого решения определяется формулой 188 одномеРные изэнтРопические движения сРеды [гл.
ъ Формула (21.24) дает, поскольку и = х/1 = скз = (й — 1)и,з з/2 = якшах/(2г + 1), следующее значение импульса /: г~ МгсвВ Подставив сюда величину В, будем иметь (2г + 1)! (2г + 1) 2згг'г[(г -, '— 1)[ (21.27) Поскольку с'„//г (й — 1) = е„, где е — энергия покоящегося в сосуде газа, рассчитанная на единицу массы, то с = 1/2 (2 г+ 3) е„/(2г+ + 1). Вводя полную энергию газа Е„= М„е, приводим формулу (21.27) к виду где $ = У 2г+ 3,„(, )' . При й = 1, г — ~- оо по формуле Стир(2г + 1)! 2зг' 1г[ (г + 1)[ ' линга имеем м„г„ В таком виде формула, определяющая импульс, особенно удобна для практического использования в ряде аадач современной газо- вой динамики. Значение 9 для различных й и г удобно задать табличкой 3 ~ 5/3 7/5 ~ 9/7 ~ П/9 0 3 ~ 4 0,865 ~0,839 ~ 0,825 0,818 ~ 0,816 0,796 /Д 3 (8 — В)" (21.29) 2 [ 30г (/.Е Как мы видим, величина з мало зависит от значения й или г.
Вычислим теперь давление рг у стенки после прихода волны разрежения. Для этого момента 1( 1/са, р = р„. При 1:Р //с„, поскольку на стенке и ии О, из второго уравнения (21.14) имеем $21] ОТРАЖЕНИЕ ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ Вводя переменную придем к выражению, определяющему давление р;! снс ( нг (2 ()г ( 2 (г — а)! (2а)! г 2«+1 г(,! г )г- 22г Х ((г — а)! а!)~ «=-0 Отсюда следует также формула для определения импульса о Рн с" ~ = Рн — + ~ Р1«~ = Ун — + ~ Р1( — ~ (с(Р1 = ~ ( )Р1 (21 ЗО) сн 1 Рн о сн сн Очевидно, внеинтегральный член после интегрирования по частям дает после подстановки пределов импульс для простой волны: — рн1/сн.
Таким образом, получаем следующее выражение импуль- са: Рн 2л4.1 о о Рн« 2(с'+1 — сс! сн ( с'..2 2(г+( — а) ( Рн о «=о (21.31) Здесь 2 (г — а)! (2«)! Ф=Ф(г,а) = ((г — а)! «ЦО масса газа, имеем 1= 2 +1 М с,У, 2( ))(2 )! . (21.32) 22г+1 " " ((г — а)! а)Р(г+( — а) =о Вводя полную энергию (2г+()2 .=2(г+3) ей придем к выражению а О Рнсн 2г+ 1 2 Отсюда, поскольку рн = — =, рвсн и (рн = Мнс где ̄— а 2г+3 Произведя суммирование, получим уже известное по формуле (21.28) выражение для импульса Х = 1г 2 (2г + 3) М„Е В случае )е = 1 (г = оо) сумма в формуле (21.33) равна г ОФ 1 1 д 2(г — а)! (2г)! ! ~д 1 1 (' 1(3 2'" „, ((г ")' г!)', г !)(1 — !)) " з '1'!)(1 — 3) где )) = а/г; аналогично соотношение (21.30) сводится к е (21.34) что в свою очередь выражается через функцию Бесселя нулевого порядка Х, от чисто мнимого аргумента.
Вводя переменную у: (1 = —, придем к выражению 1+я 2 евг 1 ~/ Р„~ ем" е(З 1 ~/ Рв -1 где У=У(т)= ~ — 1 Р т= —,1п —, Дифференцируя Х (т) дважды по параметру т, имеем Х' (л1) ~ реещ — 1 Х" (т) = ~ уее'"е " = У вЂ” ~ е'"е уг1 — уее(у.
)/! Ре -1 — 1 Беря последний интеграл по частям, приходим к уравнению Х" (т) + — Х'(т) = У(т); (21.35) решением этого уравнения и является функция Бесселя нулевого порядка от чисто мнимого аргумента Х = Хз (т)! (21.36) 190 ОднОмеРные изэнтРОпические движения сРеды [гл. ч 192 ОднОмеРные изэнтРОпическиг движения сРеды сгл. зс В табличке, приводимой пиксе, даны значения отношения р,/р, для различных й. 9/7 ~ 1с/9 /с 3 ) 5/3 ~ 7/5 Табличка показывает в данном случае (при / = с,), что в отраженной волне давление и скорость звука мало зависят от координаты (рис.
7). Следует заи с метить, что изменение давления со временем в отраи женной волне, напротив, весьма значительно. Таким образом, график местной //с /д/ скорости звука с на участке от стенки (х = — /) до начала координат (х = х О), являющийся отрезком прямой, с течением Рис. 7. времени опускается вниз со значительной скоростью, оставаясь почти параллельным оси х. В случае /с = 3 (г = О) р = р, = р, на всем интервале отраженной волны. В самом деле,при и = 3 ив формулы (21.15) имеем р= г(и+с — г„); отсюда х=и/ — — =и/ — 1 дс(с ди с другой стороны, из формул (21.7) и (21.8) при /с = 3 имеем х = с,с — 2/, и = с„ — с; из этих равенств следует Х+С С Р / С (21.41) С ' с' Р„(сас) Таким образом, р и с являются в случае /с = 3 функциями только времени и вовсе не аависят от х.
Мы уже говорили о том, что при неограниченном расширении среды и, в частности, газа давление и плотность в отраженной волне должны сравнительно сильно меняться со временем и мало зависеть от координаты. На основании (21.23) и (21.24) мы получили следующие асимптотические формулы, характеризующие распределение скорости и плотности в отраженной от стенки вол- с 21) ОтРАжение ВОлны РАВРежения не по прошествии достаточно большого интервала времени после отражения: х и= —, с с рн2сг с нг~(2г+1) ( ) Поскольку вблиаи стенки и = О при с- сю, то плотность харак- теризуется следующей простой формулой: 1 (2г)! р = рн, С 2нг(м), (21. 43) К этим формулам можно прийти непосредственно, исходя из основ- ных исходных уравнений, если положить в них давление равным нулю; тогда решения этих уравнений принимают вид х=и1, р=— Ф (н) (21.44) (21.45) Рн где )сг и 7 — неизвестные пока константы (1(с„( 1.-.
Оо). Для их определения поступим следующим образом: вычислим для данной аппроксимации полный импульс, действующий на стенку при истечении газа в пустоту в бесконечно длинной трубе: с Сгнг ь,+ — ' ~= 1 р«= —,, сн о (21.46) Первая формула сразу дает и = хй и вторая определяет, что р зависит не только от 8, но и от х/8 = и, однако вид этой функции определить без сопряжения с простой волной невозможно. Как мы видим, решение для отраженной от стенки волны является весьма сложным и неудобным в ряде преобразований. Однако, учитывая малую аависимость давления и плотности от координаты х, можно найти приближенное, весьма простое решение для этой волны, дающее хорошую точность.
Для этой цели аппроксимируем давление, действующее на стенку в отраженной волне, как функцию времени соотношением 194 одномвгныв иззнтгопичвскив движкния сеиды [гл. т Поскольку р„//с„= М„с„/й, где й = ср/с„, а с„= )/й (й — 1)Е„/,11„, то сн~ Х = 7/2М„Е„~I — „ Точное выра>кение, определяющее 7, имеет вид 7 = 7/2М„Е„с (21.48) где У 2г + 3 (2г + 1)! (21.49) г)( + 1)' Значение е для различных й и г мы задали таблицей. Сравнивая значения 1, определяемые формулами (21.47) и (21.48), придем к следующей связи между й, и с„7Д: с„7 — = 1, „", Ц (й, — 1) — /7. (21.50) Далее с целью определения второй зависимости между /сд и с„7/7 вычислим аяачение производной с(1п р/Ы!п1 у стенки (при х = — 7) в момент начала отражения г = //с„.
Уравнение неразрывности, если его написать в виде (21.51) а значение скорости у стенки представить в виде х+ 1 и=о —, с (21.52) дает И 1з р — —, =/са. Й1В 1 (21.53) Займемся определениями величины а в падающей особой волне (21.54) Фронт отраженной волны при х = — 7, г = — будет двигаться по си закону — = — =и+с=си. ох Ых ьс лс (21.55) Подставляя в соотношение (21.54) значение и из соотношения 195 ОтРАжение ВОлны РАВРежения (21.52), придем к такому результату: х (/с + 1) а/2 — х = = сна — (/с + 1) а1/2; отсюда сн (21.56) Нс А+4 — а — 1 2 сравнивая выражения (21.55) и (21.56), определяем а= — и — — = 4 41ВР 4Ь и+1 н!вс и+1 (21.57) Сравнивая теперь выражения (21.57) и (21.58), — 61ЕР/с(1п т пРи 4=1/сн в сечении х = — 1, пРиДем определяющему вторую связь между е, и с 7/й снс ь, а+1 й 4 определяющие к выражению, (21.59) Далее, сопоставляя результат определения с„7/1 по формулам (21.50) и (21.59), находим (21.60) сн' И 1 А+1 Г зь с„с Следующая табличка дает значения /с, и —" для различных /с.
Далее, дифференцируя давление в соотношении (21.45) по времени и вставляя в полученную производную значение 4 = 1/сн, найдем, что (21.58) снС 196 одномкгные изэнтгопические ДВижениЯ сгвды 1гл. ъ Как видим, подобный приближенный метод определения параметров отраженной волны значительно проще, чем точный. Введение эффективного показателя изэнтропы йт и величины 7 облегчит в дальнейшем решение ряда более сложных аадач. $22.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
