К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 32
Текст из файла (страница 32)
(23.6) Значение О, определяется условием 1 = Лдф/дО при и = с. Когда отраженная от открытого конца волна дойдет до стенки, то, поскольку на стенке и — = О, мы на основании (23.5) и (23.4) придем к соотношениям с1 2г Р1 / 2г ' зг+з со 2г + 1 ' Ро ~ Зг + 1 / Для вычисления времени прихода волны к стенке воспользуемся В момент времени 1 = го, который определяется из (23.3) при х = 1„фронт отраженной волны дойдет до открытого конца; поскольку прн этом и) с, то новой отраженной волны не возникнет. Однако с течением времени, поскольку скорость газа в отрав<энной волне в любом заданном сечении будет падать быстрее скорости звука, наступит момент, когда при х = (о будет и = с. х 1 В самом деле, в пределе при 1 — со в заданном сечении и с с' к-з з-з 1 р — —,, с р з 1 ', т. е. при й (3 скорость газа действительно убывает быстрее, чем скорость звука.
Вычисляя ф при и = с = у'9/(2г+ 1) и исключая из 1 = Лдф/99; х = и1— — дф/ди и и О, найдем линию Г" (х, 1) = О, вдоль которой и = с, что при х = 1, определяет момент времени 1 = т„когда на открытом конце будет и = с. При 1 = го возникнет отраженная от открытого конца волна, которая будет распространяться налево, причем на ее фронте будет выполняться условие и — 2с/(й — 1) = = сопз1 или и — уг9 = сопэ1, откуда 204 ОднОмеРные иээнтРОпические движения сРеды (гл.
ч известным выражением (21.30) йа+1 ын!! 1 ч! 2 (г — а))(2а)! ( Ры ) 1!+з ! 21! ~! ((г — а)! а!)1 ~ Р! / а=з (23.8) При этом возникнет новая отраженная от стенки волна, которая пойдет к открытому концу; процесс возникновения новых волн и их отражения пойдет далее, возникнет сложная (г-1- оо) система волн, интенсивность которых безгранично убывает; эту систему волн весьма затруднительно описать аналитически. Приведем выражение для подсчета величины импульса, действующего на стенку в случае трубы конечной длины.
В случае истечения в пустоту при бесконечно длинной трубе искомый импульс может быть выражен формулой (21.31) Ры (23.9) где р, — давление на стенке. В исследуемом случае (23.10) где р1 — значение давления на стенку в момент прихода первой волны, отраженной от открытого конца, ра — значение давления в момент прихода второй отраженной от открытого конца волны; функция р = р (() для каждой волны своя. Выражение (23.10) можно представить в виде, аналогичном виду формулы (21.31): Рн Р! (23.11) или, вводя Х, можно выражение (23.11) написать в виде Р! Р! Х =Х вЂ” ~ (др+ ~ )1)р+..., (23.12) о р где функция 1 = 1 (р) для каждой волны своя; значение функции 1 = 8 (р) для первого интеграла дано выражением (23.8).
Очевидно, что величина импульса при конечной трубе меньше, чем величина импульса при бесконечной трубе. Это объясняется тем, что часть внутренней энергии переходит в кинетическую уже вне трубы. Наибольшая разность ЛХ = Х вЂ” Х будет при (э = О, ИСТЕЧЕНИЕ РАЗА ИЗ ТРУБЫ В ПУСТОТУ 205 % 221 с увеличением 1с Ы уменьшается, при /е-с- оо ЛХ- О. В момент прихода волны, отраженной от открытого конца, к стенке импульс определяется формулой Р Х = 1 — ~ 1 с1р + р21м с (23.13) Рассмотрим предельный случай Цс = О, при этом ис = с, =- =- 2 с„/(/с + 1); далее, из (23.4) имеем 1+1 т+1 ( ск1с) ( сс)20-П (7с+1)20-П Затем из формулы (23.7), учитывая, что й = — (2г + 3) /(2г+ 1), получаем с,/с, = (й + 1)с,/2с„=- (3 — й) /2; отсюда Р~ с 1089 Р~1 121 256 ' 22 с 1827' р1 121 7 295 ) Рс1 35 /1 535 18 27 18 27 6) с„16 ~ 25515/ 35 РР1 Х= — — ' 16 сс с„ц Таким образом, ~ — — 1 — 25515 — — 1 — 0,21 = 0,79.
Следовательно, мы видим, что основная часть импульса создается, во-первых, невозмущенным газом до прихода первой римановской волны и, во-вторых,при действии первой отраженной от стенки Уравнение (23.8) определяет с„1,/1, т. е. момент прихода к стенке волны, отраженной от открытого конца.
(Заметим, что в случае /с = 3 мы не получим 1, так как волна, отраженная от открытого конца, не возникает ни при каком 1,, и остается справедливым при любом 1 Р 1/с„решение для волны, отраженной от стенки.) В случае /с = 3 р,/р„= О, в случае /с = 1 отношение давлений р,/рв = 1/ес = 0,136 (е — основание натуральных логарифмов).
В момент прихода волны, отраженной от открытого конца, к стенке импульс определяется формулой (23.13). Вычислим в случае 1, = О, /с =- 7/5 величину Х: 206 одномвгныв иээнтеопнчвскнв движвния сеиды [глл' волны; последующие волны создают лишь 0,21 импульса. Вычислим теперь величину Х в случае п = 7/5 (г = 2) для проиэвольного /о. При этом на основании (23.2) функция ор имеет вид 8 ~1ОИ вЂ” Г,~+ +За У1ОПо 40 до У'10в Значения 4 и л =- 1, при и„= с„= 1/10о/5 имеют вид: = — ~69+ —,+44( — ") +75( — ") 1, 1о=с1 ~13 + ( ) 1 исключая 1, приходим к выражению — = — ~24 ( — ") + 75 ( — ") — (190 + —,)1.
Отсюда [ —,") — [ — ';)' = —,', [оор оо-,,"+ — о|. Поскольку из формулы (23.7) — = ( — ), то Ро ~,5/ 2'о1 (18 ~/1+ —.„—,' —,1) где ц = 10у'1 + 251/241 — 1. Далее, вычислим р, исходя иэ формулы (23.8), заменяя в этой формуле отношения р,/Р„череэ о1 согласно предыдущему равенству: 1Г3 — 1 — 3 г з $ — =-~;8Ч +-Ч + — 8Ч 1 8ьв 4 38 Отсюда рвоГ48 8 31 Рггг = [ — + — + — 1 ° Зо„ [ Ч* Ч* Ч 1 ' Далее определяем сперва через р,/Р„, затем через о1 интеграл 207 ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ ТРУБЫ В ПУСТОТУ Таким образом, Рнг(4 3 15т с)сХ = ~ саар — р гт — — — С,— + — + — С .
с„ т Чт тСт 4д С ' 0 Отсюда следует, что 1 16/4 3 151 — =1 — — — + — + — . 1 35 1 тСт т1сс 4д) ' (23.14) Результаты вычислений ааданы табличкой 10 Т 5 10 Из таблички видно, что величина ЛХ = 1 — Х быстро падает при увеличении 10Д. Представляется интересным произвести приближенную оценку импульса, создаваемого последующими волнами при 1 ) 1,. С этой целью, полагая, (23.15) йХ=~ р)1 = — „ Рт Сс Сс — 1 ' (23.16) с, и полный импульс равен 1 = Х + ЛХ.
(23.17) Значение сст можно вычислить, исходя из таких условий: на выходе иа трубы (1 = О) полный расход газа определяется формулой с. 00 Ма — ~ рис(1 + ~ рис11; 0 Сс (23.18) здесь М вЂ” полная масса газа, М„= р„1; значение р в первом интеграле определяется из условия и„= с„= 2с„/(сс + 1) где 1ст = сопз1, найдем, что остаточная величина импульса вы- ражается так: $ 241 слУчАи неУстАновившеГосЯ истечениЯ ГА3А 209 Таким образом, различие в импульсах оказывается незначительным.
Полученное приближение, как мы указывали, будет достаточно точным, поскольку при малых /в вначение Й,меняется мало, при больших /е, несмотря на то, что мы пользуемся неточным значением й„разность (1 — 11)/1 весьма мала. Нахождение проиавольпых функций Р, и Р„описывающих волну разрежения, отраженную от открытого конца, несмотря на простоту граничных условий, представляет, за исключением случая, когда /с = 3, большие трудности. В случае й = 3, поскольку волны и + с и и — с распространяются независимо и никакого отражения волны от открытого конца не будет происходить, весь процесс истечения газа из трубы конечной длины в пустоту описывается двумя решениями (двумя волнами) — особым решением, характеризующим простую волну, и общим решением, характеризующим отраженную от стенки волну.
В самом деле, в начале настоящего параграфа мы видели, что при и = 3 и при ~- со имеем и 1/Г и с 1/~, следовательно, вне трубы и) с, и отражение особой волны от открытого конца внутрь трубы невозможно. 5 24. Некоторые случаи иеуетановившегося истечения газа Рассмотрим такую задачу. Пусть газ находится в трубе, закрытой с одного из ее концов (левого)и ограниченной в некотором сечении поршнем. В этом сечении мы поместим начало координат — авв — — —,к и будем считать, что в момент времени ~ = 0 лж-~ а=с поршень начинает внезапно или плавно дви- Ркс.
9. гаться. Длину трубы между начальным положением поршня и левой стенкой, как и прежде, обозначим через ( (рис. 9). Рассмотрим сначала плавное движение поршня (начальная скорость поршня равна нулю), причем будем считать, что поршень выдвигается вправо и объем, аанимаемый газом, воарастает, так что в газе обраауется волна разрежения; поскольку ранее газ покоился, то волна, идущая по этому газу, будет простой волной в). ~) В системе отсчета, в которой поршень покоится, а движется гаэ, вта задача имеет квтересвый смысл; в частном случае, когда скорость першвя постоянна, ока авалогкчва задаче о движении стацвоварвего потека газа, в котором вдруг вставили преграду для тов части газа, которая будет отходить от преграДы. Заметим, что в слУчае, когда скоРость потока и ~ 2св/(А — 1), у преграды образуется пустота.
210 одномкгнык изэнтгопичкскик движпния сгвды ~гл.ч Для описания этой волны мы воспользуемся уравнениями х = (и — с) 1 + Р (и), 2 и = (с„— с), ь — т (24 1) где с„ — начальная скорость звука в покоящемся газе. Произвольная функция г"(и) может быть легко определена, если известен закон движения поршня, который для атой цели удобно задать в виде ~ = ~„ (и,), х = х„ (и ), (24.2) причем дх„/й = хв = и„, где и„— скорость поршня.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
