К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 35
Текст из файла (страница 35)
ч При х, = О и произвольном х, (25.12) М = 1Ь ~ х Нх = — (ха — х,), [ь х~ 2 ха+ х,ха+ х,' Мза хз+ хаха+ хаха+ ха Ез =— 4 ха+ ха отсюда Минимальное значение 1 достигается при х, = О 1 = — )1МЕ„. (25 13) Аналогично можно исследовать и другие более сложные случаи. Мы остановимся еще лишь на одном. Пусть р = ро + Ьх, и = и, + ах. Тогда ха Ь М вЂ” У) (Ро+ Ьх) ~х — У(ха ха) (Ро+ 2 (ха+ ха)) . х3 Если положить х, = О, т.
е. искать минимальное значение 1, то Ьха 2 [Роохз М=1роха+~ 2', Х = 2 Мах, — —, е Мхах а Е„= — ' 4 1Роох~ Отсюда Х= — (4 — ~~') 1/ ЗМ (25,14) что соответствует минимуму количества движения. Максимальное значение количества движения будет, как легко убедиться, при х, = х„что в пределе соответствует стационарному движению бесконечно малой массы. Пусть теперь р = Ьх, и = ах, где Ь = сопз$, тогда в случае нестационарного потока 5 25! 3АкономеРности нестАционАРнОГО истечения ГА3А 223 В случае р, = О приходим к соотношению (25.13), в случае р = = сопзс — к соотношению (25.12). Преобразовав соотношение (25.14), придем к выражению «(2+ 3 ) (+)(7+) При Ьхз = — р, величина р = О для х = х,; в этом случае имеем предельное распределение энергии по массе, когда минимальная плотность (р «- О) соответствует максимальной скорости.
При этом У=),' —,' МЕ„. (25 15) 1 = 03/ 2МЕ,. (25 16) Очевидно, что при самых раанообразных законах распределения плотности по скорости величина 0 будет мало отличаться от единицьц будучи всегда меньше нее. В заключение остановимся на втором способе определения массы, количества движения и энергии нестационарного потока.
С этой целью в фиксированном сечении для интервала времени 1„15 определим следующие величины: М = /~рий1, 1 = ~~ри" Й~ Е« =. ~ ~ри й Можно также написать уравнение для потенциальной энергии Е«: поскольку плотность потенциальной энергии в единице объема Как нетрудно убедиться из приведенных примеров, при самых различных случаях распределения р = р (х) и и = и (х) величина количества движения нестационарного потока несущественно меньше, чем при стационарном движении.
Этот вывод имеет весьма важное практическое значение. Попытаемся теперь в общем случае установить свяаь между количествами движения стационарного и нестационарного потоков. ) ий« Поскольку 1 = Мй, где й = —, а Е„= —,Ми', то, устанавливая связь между средним значением квадрата скорости из и квадратом средней скорости (й)' в виде (й)' = 0«и«, таким образом, 0 = й/7 (и'), придем к соотношению 224 одномкгнык иззнтгопнчкскик двнжкння сгкды для идеального газа ргхсс, то с1 сгх и —,. =сг Еа=«~ ~ ий, Импульс «р, действующий на какую-либо преграду, в случае нестационарного движения определяется очевидной формулой се у„= «~рй, (25Л 7) если с другой стороны преграды действует противодавление р, = = р, (г).
В частном случае, когда с другой стороны стенки действует атмосферное давление, импульс, действующий на стенку за время г, — г„ будет равен « — « ~рсгг — «р. (г — гг). ь Поскольку в теории нестационарных движений газа обычно давление (а также плотность и скорость) не выражается явно через время г (за исключением простых, римановских волн), а, напротив, г может быть явно выражено череа р, то соотношение (25Л7) удобно написать в виде 1„= «) рй = «(рг (рЦ„'*, — « ~ г гр. (25ЛЗ) сс~ Закон перераспределения энергии и импульса нри нестационарном истечении имеет и важное принципиальное значение, и чисто технические использования. й 26.
Волны сжатия одного направления Как уже было показано выше, в плоскости характеристик (х, г) пересечения фронтов злементарных волн сжатия характеризуются пересечением характеристик. Формально, рассматривая огибающую данного семейства характеристик, проведенную через крайние точки пересечения характеристик, можно считать, что зта огибающая является фронтом образующейся ударной волны. (Заметим, что, как правило, образуются две огибающие, имеющие начальную угловую точку.) На самом же деле необходимо учесть, что при пересечении каких-либо двух характеристик от точки пересечения отойдут но- ВОЛНЫ СЖАТИЯ ОДНОГО НАПРАВЛЕНИЯ 225 $261 вая характеристика другого семейства и линия особого разрыва; пересечение этих характеристик в более поздние моменты времени с новыми характеристиками изменит их направление; даже для простой волны характеристики уже перестанут быть прямолинейными, а поэтому огибающая, которая является фронтом образующейся ударной волны, для искаженных характеристик будет отличаться от огибающей первоначального семейства характеристик.
Для определенности рассмотрим следующую задачу. Бесконечно длинная труба, заполненная покоящимся газом, ограничена поршнем. Движение поршня слева направо начинается при 1 = О в сечении х =- О, в процессе движения ускорение поршня не убывает.
При г =- О ускорение поршня равно нулю. Тогда бегущая от поршня простая волна опишется уравнениями х = (и + с) 1 + Р (и), 2 и = — с + сопз1. =Ь вЂ” 1 (26.1) Прежде всего найдем значение постоянной. Поскольку при и = О с =- с, где с, — начальная скорость звука в газе, не возмущенном движением, то постоянная равна 2с,~()с — 1) и и = ~ 1 (с — с„). 2 (26,2) Значение произвольной функции Р (и) определится из закона движения поршня, который удобно задать.в виде Х = Хп (ип) Г = Гп (ип), (26.3) Считая, что в начальной стадии образования ударной волны иду- щие от нее возмущения мало влияют на характеристики (28.5) х = хп + (и + с) (1 — Гп), мы легко определим уравнение огибающей.
Поскольку хп и сп являются функциями ип, то, продифференцировав по ип выражение х — хп — (и + с) (1 — 1п) = О, придем к уравнению где их„!Ж = ип. Тогда Р (и) = хп — (и + с)~„и первое уравнение (26.1) примет вид =и+с. (26.4) и 226 одномвгныв нзэнтгопнчвскив движения сггды (гл. ч Поскольку с(ип — = и с(с„»п с(»п Отсюда (и+с) спи» спиС дс((»+с) и(п(»+с) (26.8) Если мы не знаем уравнения изэнтропы, то величину 1 + с)с/с)и на основании (17.7) можно представить в виде Ис р'с' йсс 1+ — = —,' —, и» 2 сирс Уравнения (26.7) и (26.8) и представляют искомую огибающую в параметрическом виде, причем и = ис является параметром.
Этим уравнениям можно придать более простой внд; вычислим частную производную по и от выражения (26.9) — х + (и + с)/ + Р (и + с) = О; приравнивая ее нулю, получим с((и+ с) с(с" с((» + с) Ии и (и+ с)»и отсюда ЫР Ы(и+с) (26 10) и х = Р— (и + с)Р . (26.11) Уравнения (26.10) и (26.11) снова представляют огибающую в па раметрическом виде. Будем искать минимальное время, когда образуется ударная волна; для этой цели необходимо приравнять проиаводную дМ (и + с) нулю; отсюда Р) Р О' (26.12) Найдем теперь частные производные дх/ди и д'х/ди'; очевидно, они пропорциональны производным дх/д (и + с) и д'х/д (и + с)'. где я = Ии /с)с есть ускорение поршня, то уравнение (26 6) принимает вид ( — /и = —" — '„. (26.7) г (+'с 227 $26) Волны сжАтия ОднОГО нАпРАВления Из уравнения (26.9) имеем дх г, дхх д (и + с) ' ' д (и + с)с (26ЛЗ) Из условия, что на огибающей « = — г"', вытекает, что на атой огибающей дх!д (и + с) = 0; отсюда имеем (26Л4) (26Л5) что покааывает на перегиб линии х = х (и) или и = и (х) у места образования ударной волны.
Из уравнений (26ЛО), (26.11) и (26Л2) можно определить три неизвестные величины х, «„, и + с, характеризующие место и момент образования ударной волны, а также скорость газа плюс скорость звука в месте ее образования. При определении Р (и + с) необходимо знать, конечно, связь между и и с, например, в общем виде для произвольного уравнения изэнтропы и = ~ сс«)п р + сопз(. (26.16) Однако не всегда вдоль ударной волны вторая производная равна нулю.
В самом деле, пусть например, г" = А, + А, (и + с) + + Аз (и + с)', тогда Р' = А, + 2А, (и + с), Р" = 2А2 ~ О. В том случае, когда г" + О, необходимо найти характеристику х = — (и + с) «+ Р (и) с максимальным наклоном к оси х в плоскости (х, «) (т. е. с минимальным значением и, а также с), которая пересекает огибающую. Точка пересечения и определит координаты начала огибающей, т. е.
ударной волны. От места образования ударной волны пойдет криволинейная характеристика, определяемая уравнением |«х — = и — с. «« (26.17) Ее уравнение может быть найдено без труда, поскольку и и с в волне известны; линия особого (знтропийного) разрыва опре- целится из уравнения с«х — = и. с«« (26.18) что подтверждает наше предположение относительно огибающей как фронта ударной волны.
Далее, поскольку для « = «,„Г" = =- О, то дзх/д (и + с)' = О, следовательно, 228 Одномвгные изэнтгопичвскив движения сгвды [гл.ч В области между линиями, описываемыми уравнениями (26.17) и (26Л8), движение газа будет изэнтропическим и может, вообще говоря, быть определено сравнительно просто. В области между линией особого разрыва движение уже не будет изэнтропическим, так как энтропия при образовании ударной волны возрастает. Это движение можно также определить сравнительно просто, полагая, что образующаяся ударная волна слабая, и пренебрегая поэтому ростом энтропии. Нормальное решение задачи после Рвс. 12. ип и з~п (26Л9) и — 2Х ~ и— отсюда следует, что и" и' ис и» х = (и + с) (» — — ) + —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
