К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 39
Текст из файла (страница 39)
30) Очевидно, что наименьшая возможная величина у„если др,/дТ ) О, достигается при %2~/Т2 = О. Эта величина 2с Ус = Уссыс = У2 ар, дТ (28.31) (28. 32) дтс/„ очевидно, величина дз/Тс уже не может быть равной нулю, поскольку при этом Ус ) Ум рс ~ рг, что не может иметь места для ударных волн сжатия, когда (д'р/дтз)В ) О.
Необходимо предположить, что величина О. (у2 — тс) (с — с~~) дус Величина усспс, вообще говоря, не равна нулю. Таким образом, предельная плотность на фронте ударной волны может оставаться ограниченной величиной. То же будет иметь место при (дср/др')В ( С 0 для ударной волны разрежения. Итак, мы провели подробный анализ свойств ударной адиабаты и показали, что в случае (дср/дуз)В~~О ударным волнам соответствует часть ударной адиабаты, лежащая над точкой (рм Уг).
Легко убедиться в том, что часть ударной адиабаты, лежащая ниже точки (р„у,), нереальна, поскольку, обращая наши рассуждения, можно показать, что для нее энтропия будет падать по сравнению со своим начальным значением, соответствующим точке (рм Ут). Эта часть ударной адиабаты будет при (д'р/дчз)э ( 0 соответствовать волне разрежения. До сих пор мы предполагали, что (дрс/дТ2)„) 0 и вообще (др/дТ) ) О. Разберем теперь случай, когда (др/дТ), ( О. Тогда имеем 248 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ.Ч1 Поскольку величина Э,~Т» при (др»~дТ») )0 стремится к нулю, если р, -«оо и величина ч, -«Ргм1„+ О, то для того, чтобы У,~Т, не стРемилось к нУлю, нУжно пРеДположить, что чз -«О, т. е. что р -«со.
Таким образом, условие Одр(дТ)» ( 0 приводит к тому, что предельная плотность на фронте ударной волны стремится к бесконечности. Но при этом, поскольку энтропия падает при росте давления (при р = сопз1), в тех областях адиабаты Гюгонио, где (б'равд»э)э ( О, могут существовать ударные волны разрежения, где (б'р~дчз)з ) 0 — ударные волны сжатия. Если величина У~~Т» = О, то, поскольку ч,) »1, могут существовать только ударные волны разрежения.
В тех случаях, когда (др»!дВ»)», = = Т~с, (др,/дТ,)», = О, величина Р~, не обращается в нуль, в противном случае в волне сжатия ч, будет неограниченно возрастать, т. е. плотность р, -«О, что противоречит основным условиям, которые должны выполняться на фронте волны сжатия. Очевидно, что при этом К, — 2ТЫ тогда для определения ч, получаем выражение ч, = »1+ ОЮ. Если давление не зависит от энтропии (или температуры), а только от плотности, то ни ударнъ|е волны сжатия, ни ударные волны разрежения вообще не могут существовать, поскольку г(Я = 0 и и1 = с, = и, = с„т. е. ударные волны вырождаются в обычные волны сжатия или разрежения (за исключением среды, для которой справедливо уравнение состояния р = — Ач + В, где А и  — константы, когда может существовать ударная волна разрежения с предельной плотностью на фронте, равной нулю).
Для реальных волн разрежения реальна нижняя часть ударной адиабаты (под точкой (р„ч,)1. Верхняя часть нереальна„так как для нее 118 ( О, что противоречит второму началу термодинамики. Исследуем вопрос о предельной плотности в случае ударных волн разрежения. Очевидно, что наименьшее давление, которое при этом возможно, равно нулю, т. е. р, =- О, при этом Еэ = О. Следовательно, уравнение Гюгонио (28.4) принимает вид Е1 = = р1 (чз — »1)!2, отсюда 2Е~ Ч, = Ч, + Р1 Так как величина 2Е1(р1 конечна, то и значение ч, =- ч»мю = = ч, + 2ВР/р1 также конечно. Определим величину ~71 из равенства (28А2); Поскольку (Й) (~ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛН ТО ч, = ч, + —." (2 — — '~.
(~р,~ (28. 34) Очевидно, что максимальное значение ч, будет при Кд=О. Таким образом, Йс,, (28.35) гдЕ 1 Гдя 1 Поскольку (дЕ(дБ), = Т, ( — дЕ!дч)з = р, то Е, — Е, = Т,(Ял — Я ) + р,(ч, — чл) — —,~ — ) (ч, — чл) + ! /; (ч ч)3 (28. 37) С другой стороны, Е, — Е, = (рл + р,)12 (чл — ч,).
Разложим теперь в ряд по степеням ч, — ч, и Ял — Ял значение рл — р, вблизи той же точки; очевидно, в отношении членов Значение Кл = О достигается при дЯл!С(чл — ~ оо, т. е. для сильной ударной волны разрежения. На основании того, что при рл — ~ оо чл о„выражается формулой (28.30) и при р, = О ч,,„выражается формулой (28.35), ладж- ллем в, но сделать вывод, что ударная адиабата над точкой (р„ ч,) лежит выше иззнтропы Пуассона, а под точкой (рл, чл) — ниже ее (рис.
15). Нам теперь остается исследовать свойства ударной адиабаты о О=Рщь 3 Р=Ъа в окрестности точки (рл, ч,). Из соотношения (28.5) видно, что при рл = р„ч, = ч, имеем Рвс. 15. дд = О. Разложим значение Е,— Е„ вблизи точки (р„юл) в ряд по степеням Я, — Ял и ч, — чл, причем разложение по степеням ч, — ч„проведем до членов третьего порядка, а в отношении членов со степенями Ял — Ял ограничимся только одним членом. 250 элементАРнАя теория удАРных Волн 1гл.
ч1 с ч, — ч, разложение достаточно вести до членов второго порядка: + ® (О, — о,). (28.38) Пользуясь теперь формулой (28.37) и исключая К, — Еы получим (д»р, 8» ~1 — 1з »др»1 — ч» 11Т1 д»з ( з а) ° (28.39) ~ дУ7» 3 Ю1 Поскольку 8, — д, ) 0 и в случае ударной волны ч, ) ч„ то должно быть (д'р!дч')з ) О. Аналогично, используя уравнение (28.3) 1, — 1А = (р, — рг)(2 (чг + ч,), можно показать, что 1 з /д~~ 12Т1 ,др»~з~ (28.40) 1др 1 д»р иг — — и, — и, = )» — (р, — рг)(ч, — ч,) =~l — (~ + 2 д»ЬЧ~ Х др Рд1д»( "=й-Р "+ —. —., - ("") У д» первые два члена в этом разложении имеют тот же внд, что и для т.
е. энтропия в случае малого скачка является малой величиной третьего порядка, а следовательно, аднабата Гюгонио и изэнтропа имеют в точке (р„, ч,) не только общую касательную, но и соприкосновение второго рода. Так как вблизи точки (ры ч,) при (д'р/дч')з ) 0 существует ударная волна сжатия, то и всюду, где р, ) О, прн этом условии также могут существовать ударные волны. Аналнанруя соотношения (28.39), можно сделать вывод, что посколькУ Оз — Яг (ч, — ч,)', то Разложение давлениЯ по степеням плотностей или удельных объемов в точке (ры чз) для ударной адиабаты с точностью до членов второго порядка включительно совпадает с соответствующим разложением для иээнтропы. Точно так же покажем, что с точностью до членов второго порядка включительно совпадает величина скорости и, — и, для обеих адиабат. В самом деле, поскольку для ударной адиабаты $29! чдлгнык волны для изэнтропнчкских срвд 25$ изэнтропы, то отсюда непосредственно вытекает справедливость нашего утверждения *).
Для инвариантов Римана на основании сделанных разложений можно заклгочить, что их изменения на фронте ударной волны, так же как иаменение энтропии, являются величинами третьего порядка малости относительно Лч или Лр. В самом деле, так как бсср бсср и„+ ~ — = иа — иг .+ ~ —, иа — и, = ')с — Лр Лч, то ( д~)ч (дча~з ~сс) )п р — )I — ЛрЛч = — (Лг)а ' ~'(- — ';).
Анализ рааложения величины Л8 по Лч или по Лр показывает, что возрастание энтропии для ударной волны сжатия, когда Лр) ) О, происходит только при (дар!дча)з)О. Напротив, для ударной волны разрежения, когда Лр ( О, энтропия возрастает при (дар~дча)з ( О, что лишний раз подтверждает ранее сделанные нами выводы. Вопрос о физических причинах возрастания энтропии и о потерях свободной энергии, происходящих при ударных процессах, мы рассмотрим дальше. $29. Ударные волны для иээнтропических (политропических) еред Рассмотрим основные соотношения, которые имеют место при переходе среды через ударный фронт в тех случаях, когда уравнение изэнтропы среды можно написать в виде (29Л) Р = нр ° Для этой цели нам необходимо прежде всего вычислить значения внутренних энергий Е, и Е,.
При атом необходимо помнить, что энтропия среды после прохождения через ударный фронт повышается, а поэтому величина о для среды перед фронтом и за «) Для иаэатропы ка (8Л4) кмеем I др ./ Лр э — и| = ь — Йрдч = р' — — дч = ь' — —. Лч = д-'р / Ыр дча Лча — дч Лч+ — ~— дч 252 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН [ГЛ. У1 фронтом ударной волны имеет различное значение, а именно 111 ) О1.
Так как и перед фронтом ударной волны и аа фронтом ударной волны состояние среды меняется изэнтропически с(О' = О, то из ((.4) имеем с)Е = — р~Ь = — р —; отсюда низ (29.1) следует, что с(р с Е1 Рстс Ез =- (29.2) Значения показателей изэнтропы й1 и й, в случае ударной волны произвольной силы (при произвольной величине р,) должны быть различны, поскольку различны температуры по обе стороны от поверхности разрыва. Подставляя найденные значения Е, и Е, в уравнение энергии (28.4) и производя элементарные преобразования, придем к выражениям йс+ 1 рс рс йс — 1 рс й,+1 Р, — — +1 рс Ус йс — 1 Рс (29.З) й, + 1 р, йс — 1 рс рс Ус йс+ 1 Рс й,— 1+ р, Принимая й, =- й, =- й, получим 29.4 Рс (й+ 1) рс — (й — 1 )рс рс ус (й+ 1) рс+ (й — 1) Рс рс (й+1) рс — (й — 1)рс ' рс тс (й+1) рс+(й — 1) рс' В таком виде эти уравнения носят названия ударных адиабат Гюгонио для политропических сред.
Укажем другой, весьма иаящный и простой вывод этих же формул. Поскольку скорость звука в идеальном газе (скорость распространения фронта малых возмущений) определяется фор- мулой с = ),сс — „= ~/ —, Рс Рс ЕР1+ Рс, Рс — Рс Рс + Рс (29.5) из этого равенства и получаются формулы (29.4). Если р, стремится к бесконечности (или просто велико по сравнению с р,), то величиной р, можно пренебречь, и тогда для предельного аначения рэсрс найдем р йс+1 р, то для случая больших возмущений газа (для случая ударной волны) напишем это выражение в виде Лрс'Лр = йр!р, где р и р— средние значения р и р„а величина й считается постоянной. От- сюда находим УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ДЛЯ ИЗЭНТРОПИЧЕСКИХ СРЕД 253 $ 221 2 2Р2 Р1 2 2 »1 — 1'2 2 2Р2 — Р1.
и, = », »1 — »2 ' ит = и2 — и2 = 'У' (Р, — Р ) (»1 — »,); (29.7) Е Я Р2»2 Р1»1 Р2 + Р1 1 А~ — 1 Ь1 — 1 3 (» — »,), где и = из — и1 есть скорость газа за фронтом ударной волны относительно самого фронта. Исходя иа этих уравнений, можно выразить величины ит — и2 = и„Р2 — Р2, »2 — », Отсюда, например, при 722 = 7!5 (двухатомный газ) имеем р2~Р1 .= 8. Часто делается вывод о том, что при возрастании давления плотность двухатомного гааа не моя2ет возрасти более чем в шесть раз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
