К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Обозначим угол между направлением движения потока среды за фронтом ударной волны и поверхностью фронта через гг. Тогда очевидны такие соотношения: и, = д,е1пср, Рг = дг соз сР, (31.2) Рис. 19. и, = ага(псе; Р, = дгСОЗиг, где дс и д, — величины скоростей потоков до фронта и аа ним: дс — — ис + Рс, сгг — ~4 + Рг.
(31.3) Из соотношений (31.2) имеем сс с — == ~асР ис иг — =- ~Ям; иг посколькУ Рс = Р,; Р,иг — — Р,и„то иг Рс Уг Фд гг (31.4) ис Рг тс Ф~са Так как иг ( п„то 1я в ( 1я ср, в ( ср, отсюда видно, что угол между направлением движения потока и фронтом волны после прохождения через фронт косой ударной волны уменьшается по сравнению с начальным углом, т, е, поток как бы приближается г67 $ Э11 КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА к фронту ударной волны. Угол поворота потока (угол между направлением его движения до фронта и за фронтом) есть 8= 1р — ю. (31.5) Иэ уравнений (31.1) имеем Ря — Р, — Р,и1 — Р2и~ = р и1( 1 — ) ) Р1 Рз (31.6) 11 — 1, == Г',Ю (У, + У,,) == ~' Ю (1 + Р' ).
(31.7) Зная, далее, для заданного уравнения состояния из уравнения Фроно1 удпоной Рвс. 20. энергии (31.7) связь между рз!р1 и рз!Р1, мы, исключив из уравнений (31.4) и (31.6) величины р,/р1 и рз/р„придем к уравнению вида г' (1р, р„р„ид, и) = О, (31.8) определя1ощему зависимость между углами 1Р, ю и начальными параметрами потока р„р„и,.
Это дает возмон1ность сразу же определить величины рю и, и аатем величину р„что полностью решает задачу об определении параметров потока за фронтом ударной волны (если величины р„ р„ и„ 1р заданы). Так как направление движения потока перед и за фронтом ударной волны прямолинейно, то подобное явление может произойти при обтекании потоком среды, движущейся с определенной сверхзвуковой скоростью какого-либо вогнутого угла (я — 8) (рис. 20). Образование косой ударной волны при обтекании подобного угла, как мы уже знаем, может иметь место лишь при выполнении 268 элементАРнАя теОРия уДАРных ВОЛН (гл. т! условия и, ) с,. При этом всегда д1 ) с„поскольку Р1 ) О.
При д, ( с, ни косая, ни прямая ударные волны не обраауются. Рассматривая задачу обтекания угла сверхзвуковым потоком, мы должны считать заданными параметры р„р„д1 и угол поворота потока О = ф — о1. Тогда соотношение (31.4) удобнее написать в виде р, га (ф — э) (31.9) и, Р1 Гяф и соотношение (31.6) в виде (31.10) Зная р,/р1 =- 1 (ри!р1), мы сможем исключить из этих соотношений р1/р„рз/р1 и найти связь между ф, р„р„д„после чего определяется р„и„и, и рм что полностью решает задачу об определении движения среды при обтекании угла.
За фронтом ударной волны должно быть и, ( с„но отсюда не следует, что обязательно оз( с„т. е. при косом отражении ударной волны скорость после отражения может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой. Ваяв соответственную систему координат, начало которой скользит с определенной скоростью по линии фронта ударной волны, можно по произволу сделать дз) с, или 91( сз. Итак, в косой ударной волне приходящий поток всегда сверхзвуковой, а уходящий может быть и дозвуковым и сверхзвуковым. Перейдем к более подробному рассмотрению свойства косых волн для политропического (изэнтропического) закона (31.11) р = ар'. При этом отметим снова, что энтропия и величина о перед фронтом ударной волны имеют значение 8, и о„а за фронтом 8, и аз, причем оэ ) о,. Поскольку для этого закона отношения давлений рз/р1 и плотностей рз!р1 выражаются формулами (29.3), то из формул (31.10) и (29.3) получаем а,— т — .,",1 р, — р, = р191~ з1пи ф — — — ~ .
(31.12) 1+1 Р— Р Ь д 1 При й, = й1 = й уравнение (28.14) принимает более простой вид Р, — Р, = Р1о1 Э1п'ф —— а+1 ' ( д11' (31.13) 1 Определим теперь связь мея<ду углами ф и 6. Для этой цели воспользуемся соотношениями (31.9), (31.10) и (31.12). Соотношение 1 зв1 269 КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА (31ЛО) при исключении рв/рв из (31Л2) дает 2йв 2йв рв йв — 1 йв — 1 рв йыв . „Ф рв' = — з1пв вр (1 — — ); — — 1 Рв йв + 1 ав Рв 1 Рв йв — 1 (31Л4) подставляя сюда значение рв/рв иа (31.9), приходим к соотношению 2 ( й, й,— 11а(~р — Е)1 — ~®'Р ) ) (31 15) з1пв йр ~1— й +11а(вр — Е>, ' ~ 1а р — 1 1 йв — 1 1а вр В случае й, = й, = й уравнение (31.15) принимает вид Ч .
Рй+1 га(йв — В) — = — впв вр ~— — -11. й — 1 Р' (й — 1 1ар 1 (31 Л6) ивв в+ 2 (31Л7) где 1; и р, — теплосодержанне и давление воздуха в точке 0'. Отсюда следует, что (31 ЛЗ) Для анализа найденных соотношений н упрощения ряда дальнейших выкладок можно поступить следующим образом. В класснческойтеориикосой ударной волны доказывается, что при определенных Ударная значениях угла раствора кли- волна на (или конуса), а именно при углах О,превосходящих некоторое определенное аначение О„которое мы вычислим ниже, ударная волна перестает касаться носика вР П клина (или конуса) и отходит ',Рвс. 21. от него на определенное расстояние (рис.
21), причем на оси симметрии ударная волна становится прямой. На участке 00' происходит дополнительное, уже чисто адиабатическое торможение воздуха. Давление в точке 0', таким образом, может быть найдено из соотношения 270 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН (гл. чз ~и р~и 2 3 рз р* (й + 1) . + ( + 1) (' — ') »"' + '" 1) р, + (й — 1) р, р,и р, ц р, ' Отсюда й — 1+ ",„' ' '"'+ " (31.20) При и, = с„р, = р, имеем (31.21) Прп и,))с, й Ра 7 й 1)й — 1 й — 1 (й — 1)з (й — 1)~(2 — й) — = ~1 — =,~ =1+ — — + — + . +.. ра ~ 2 ) 4 32й вй4й В пределе при й = 1 в первом случае р;~ра = р;(р, = 'т'е, во втором — р,",рз = 1. Таким образом, рост давления в зоне обычного адиабатического сжатия незначителен.
Значение критического угла 0 = О„при котором скачком меняется режим обтекания, определяется из соотношения (31.18), которое мы теперь напишем в виде 1а (р — Е) й — 1 '1 31.22 1й9 й+ 1 (й+ 1) Р~А1в~у — + . ( ) Отсюда для определения (я ~р приходим к кубическому уравнению ййз р~ —,„8+1~ — йй' рейкой!р — 1) + + (д р~ — '+,, ' 8+1~+ сада = 0, (31.23) где р = д,!с, = М, является квадратом числа Маха потока до скачка.
Принимая й = 7!5 я обозначая дополнительно с1я 0 = а, (ц ~р = у, приходим к уравнению уз (р + 5) — бауа (р — 1) + (6)) + 5) у + 5и = О. (31.24] Значения ию рз и р, определяются формулами прямой ударной волны, т. е. из соотношений (31.1), если положить в них Р, = Р, = =- О. Поскольку рзиз = р~ййй!рм а отношение р,!рз определяется соотношением (30.10), то 271 КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА При 0 = О у' = — для любого й (и вообще любого уравнения 0 — т изэнтропы), откуда получаем тривиальный результат, имеющий место для звуковых волн: и з!п ф = — = —. ю м,' (31.25) Значения у всегда должны быть положительны, поскольку реаль- ная область существования угла ф задается как О < ф ( я!2.
В случае сильной волны (р ))1) приходим к квадратному урав- нению 2 А+1 у' — — ау+ — =О, ь — 1 (31.26) откуда у — + (31.27) Решение имеет смысл при а ) у Р— 1, откуда (31.28) Исследуем в общем случае уравнение (31.23). Для фиксированного значения угла поворота потока 0 = О, зависимость между р и у определится соотношением А+т ь+з — У+ з У+ а1 Р 1 — „1, 1, (31.29) где яд = сф Оы у = $д ф. При конечном положительном а ) аю где а, определяется условием (31.28): а, = у'яэ — 1, уравнение (31.29) изобразится некоторой кривой (рис.
22). Реальный смысл имеет часть кривой (изображенная в левом верхнем угле жирной линией), для которой у ) О, р ) О. Если рассматривать всю кривую в этом угле, то при атом каждому значению р ) р, будут соответствовать два значения у, выражаемых верхней ветвью. При р = рэ величина у определится однозначно. Действительному процессу, как правило, соответствует меньшее из двух значений у = Сд ф, т.
е. меньшее значение угла ф. Величина рэ = (д,!са), определяет наименьшее возможное значение (д,!с,)' для заданного значения угла поворота потока 0 =-О, (третье значение у при р ) ()э будет отрицательным и, следовательно, смысла не имеет). Можно сделать вывод, что при р = р, два положительных корня уравнения (31.23) совпадают.
При 272 элементАРнАя теОРНН удАРных ВОлн [ГЛ У1 этом дискриминант этого уравнения или уравнения (31.29) — дэ + рэ — 0 (31.30) где д = Ьэ~27а' — Ьс/ба' + й/2а, р = с)За — ЬЧ9а', причем а = = (й — 1) р/2; Ь = — а (р — 1); с = ((с + 1)Д!2 + 1; с( = сс.
Рис. 22. Значение совпадающих корней уравнения (31.23) при этом определяется соотношением — ь Уа — 1 Ч За (31.31) э: — г или, поскольку 1г — а = у — р, г — Ь у = у Р о= у ва (31.32) Условие (31.30) и выражение (31.32) при переходе к основным параметрам а и р напишутся в виде а'(() — 1)э — 4 (27( —,, р+1) +18( —,, (3+11( —,, 'Р+1) х м (а 1) (й+1З+1)'Р 1).1 — ( — ".~'Р+1) (' — ',,'Р+1) =0; (31.33) , ) З( — „3+4)( + Р+4) сР (З вЂ” 1)~ 2~ — 23+4 ~ (31.34) 274 элвментАРнАя ткОРия удАРных Волн (ГЛ. У7 то при (31.38) О (31.39) Соотношение (31.36), определяющее у, и «рю можно написать так: Уо 1 в)п Чо =, = (+А( ~ 1+У, (31.40) где ) 72 ф — 1] [0,5(й — 1) 5+ 1Р [)/А+ У Аз+  — С+ )/ А+ У Аз+ В) Отсюда с помощью равенств (31.39) и (31.25) имеем ~~ р,) „й — 1~~( 2й (31.41) Далее, поскольку ( ~ ' 7 р' (й+1) рз~в'то 1 711 42) р1 /о ' (й — 1) (1ЭИР(ро+2 й — 1 2 й+1+ (й+1)(1з(в~~ро то (31.43) Давление в прямой волне определяется соотношением (31.39); принимая в нем ~р, = л/2, получим ( )= рз '( 2й й — 1 — = — (1 — — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
