К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Выведем сначала формулу, определяющую разность скоростей и, — и,. Из закона сохранения массы имеем (Р— ид)уд = (Р— и,)уы где уд — — 1!рд, Рз = 1!р„откуда Р = (иу, — изуд) I (уз — уд). Вычитая и, из обеих частей последнего равенства, найдем .Р— — ид — — уд (ид — ид)l(чд — уд). Отсюда можно представить величину 1 в виде )' = (Р— ид)(чд = (и, — ид)l(тд — Уд). Из закона сохранения импульса имеем ) = — ° Рд — Рд ид — ид ' Сравнивая два последних выражения, найдем из — и, = У' (Р, — Рд) (Уд — У ), (30.5) Обратимся теперь к закону сохранения энергии.
Обоаначим через Е полнудо внутреннюю энергию, отнесенную к единице массы среды. Кинетическая энергия среды, отнесенная к единице массы, будет иЧ2. При движении среды в единицу времени затрачивается работа, равная р,и, — р,и,. Отнеся эту работу к единице массы, получим з зо1 261 ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА Из найденных соотношений легко получаем выражение для ско- рости распространения фронта ударной волны Р— и1 = ч, у - Грв — Ю Ч1 — УЗ (30.6) Далее преобразуем уравнение (27.4), представив его в виде Р~ — Р1 что дает Е, — Е, = —,(ч — ч,). Ра+ ю (30.7) откуда иг = (рз — рг) (чг — ч,), (30.9) где индексами 1 и 2 соответственно обозначены параметры падающего и отраженного от стенки потоков газа.
Для параметров отраженного потока при законе рч~ =. о и Йз —— Й, = й, как и в Перейдем к рассмотрению вопроса об отражении газового потока от стенки. Пусть плоский фронт стационарного газового потока движется к неподвижной стенке. Скорость потока перпендикулярна к стенке. Между фронтом и стенкой до удара потока о стенку — вакуум. 1 После удара от стенки пойдет ударная волна, ее фронт— 1 — 1 (рис. 17). Введем снова подвижную систему координат, движущуюся вместе с фронтом ударной Рве.
17. волны. Тогда скорость перед фронтом ударной волны будет и1 — Р, а за фронтом и, — Р (величнпы и, и и, рассматриваем как проекции скорости на ось х). Для определения параметров за фронтом ударной волны мы можем применить формулы, полученные ранее и такгке выведенные для подвижной системы, движущейся вместе с фронтом ударной волны. К этим формулам нужно еще добавить условие и = О, так как среда у стенки после отражения должна быть неподвижна.
Из формулы (30.5), учитывая условие и, = О„ЛАлучаем и, = — )1(р, — р,) (чг — ч,), (30.8) 262 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН формулах (29.3) и (29.4), будем иметь ч, (й — 1) рс + (й + 1) р« ч> (й+1) р>+(й — 1) р>' [ГЛ. Ч1 (ЗОЛО) очевидно, что для падающего потока р, и ч, никак несвяааны ни взаимно, ни с и1. Исключая уз иэ (30.9) и (ЗОЛО), получим 2 (Р> — Р1)' з . р.
(й+ 1) + р (й — 1) отсюда Р =Р > «РФ [1«)«' 1«-( ) — ', ). ЯО.«2) "1 При малых сь/ы1 (а следовательно, и малых р1) формула переходит в й+1 Рз = Р1 + — Р>и1. (ЗО.13) Таким образом, зная параметры и„р„р1 потока, набегающего на стенку, мы легко определяем все необходимые параметры р„р„из = О отраженного потока. В рассматриваемой задаче предполагалось, что как поток, так и отраженная ударная волна являются стационарными. На самом деле подобного рода поток, который распространяется в пустом пространстве, как мы видели выше, не может а>,А>о оо> ао>оеиие Р ««« 'но ес ио и ~Р' / Р Ре $К Р«, Ре ф~ «««й 6) После оо>Ражлеие быть стационарным, и поэтому вычисленные нами' параметры для отраженной ударной волны будут справедливы только для первого момента удара фронта потока о стенку.
Отраженная ударная волна также не будет стационарной. Если между стенкой и движущимся ие ие Ре Р. Ре Ре р Ряс. 18. стационарным потоком находится какая- нибудь среда, например газ, то могут представиться различные случаи отражения этого потока от стенки, поскольку к стенке может приближаться или волна сжатия, или ударная волна.
Рассмотрим отражение от стенки плоской ударной волны с>катия *). Пусть к стенке приближается фронт ударной волны. Состояние невозмущенного газа у стенки характеризуется величинами с) Эта задача была рсшавв в 1935 г. С. В. Измайловым в О. Е. Власовым. 263 о зо1 ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА . ГР— Рг, иг = у(рз — р,)(ч,— чз); з)1=»го.г ив = Р (рз — рг) (чв — ч,); Ов — из =- ч, звг ./)в — р . (ЗОЛ4) Е,— Е,— --, (ч, — чв); Е,— Е,=, (ч,— ч,); ~+ Рг р+рв 1 2 отсюда (р, — р,) (»в — ч,) = (р, — рг) (ч, — «,) = и,' или (1 — — 'Р ) = Р' ~1 — ~') = и,'.
30.15) Поскольку для иззнтропической (политропической) среды на основании формулы (30.10) 1 Р1 2 <р — Р1) р 01+Пр+<А — <)Р Рв 2 <Рз — Рв) Р <А+ ~) р + (~ - <) р (30.16) то мы имеем (ЗОЛ 7) <р — рв)' <рв — р ) <А+Пр,+<к — Пр, <ь — )) р,+<А+<) р, Представим первые два члена равенства в виде Рвов з 2 <ггрв — ггрв) <А)ч)* 2ирг + <Й+ <) гврв+ <lс — <) Ьрв <Й вЂ” 1) гврв+ 2)грг йрз = Рз Рг )грз = Рг Рг< где и,= О, р„р,, состояние газа за фронтом ударной волны характеризуется значениями и„р„р„значения тех же величин за фронтом.отраженной волны обозначим из, р„рз (рис.
18). Если падающая на стенку ударная волна стационарна, то отраженная волна также должна быть стационарна. Это следует и из смысла самой задачи, а также по чисто формальным причинам, так как отраженная стационарная волна удовлетворяет, как мы зто сейчас покажем, всем необходимым условиям, которые имеют место на фронте произвольной волны, а также автоматически основным уравнениям газовой динамики, являясь их тривиальным решением. Поскольку на стенке скорость за фронтом отраженной волны должна быть равна нулю: и, = О, то и везде в отраженной ударной волне скорость должна быть тождественно равна нулю. Основные уравнения рассматриваемой задачи, используя формулы (30.5), (30.6) и (30.7), можно написать в виде 264 злементАРнАя теОРия удАРных ВОлн отсюда найдем, что [гл.
Рз +(а "(+' з 2НР + "+' Р и (30.18) ((г () Ггрг+ 2(грг Приведем теперь выражение (30.18) к виду, определяющему величину давления, образуемого скоростным напором. Поскольку внутреннее давление падающей волны есть р„ то можно написать равенство, аналогичное (30.18), в виде Ф+()(р — р)' Рз=рз+~(рг — Рг)+ (Р ()„,+(А+()~, ~ (3019) где величина, стоящая в скобках, и определяет величину давления, создаваемую потоком при его торможении.
Преобразуя формулу (30.19), напишем ее в виде ,'30.20) (" — () рг + (" + () р~ ' (А — () р + ((г + () р или в виде Л д + рг(срг+ Рг) Рз = Рз :2„ЛРг+ Р, (30.2'1) Поскольку Лрг с помощью основных уравнений можно написать в виде то гзрз = ггрз+ —, ргпз 1+, 1+ 1+ ) ~ ° а+1 з Г (г-( (' Г (Сарг ')1 2 ( (а+() (, 1/ (а 1).„. ) (30.23) В пределе при ргизз )) рз з ЗЬ вЂ” ( З(г — 1 брз=йрг+йрзиз = „1 дрз или просто рз= —,рм (30.24) что следует также из (30.20). В случае слабой ударной волны ЛРз = гАРг + 4 Ргиг У ь ( г з,— — 2гзРз, (30.25) что также следует из (30.20), т.
е. мы приходим к результату, из- вестному в акустике. 265 1 ЗН КОСАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА Из соотношений (30.14) мы получаем формулы, определяющие д/я и рз, где Юя — скорость фронта отраженной ударной волны: 2 Ей+1) + (й — 1) уз рз й — 1 рд — = — = — +— яя рз /я йря (30.26) ПосколькУ Рз — Ря = и,/ (Уя — Уз), то ДлЯ ДавлениЯ в отРаженной ударной волне можно написать такое соотношение: йряо~ Рз = Рд + (30.27) 1 —— Ря Если падающая ударная волна сильная, то мы получаем следую- щие предельные выражения для отраженной волны: Энтропия в отраженной ударной волне определяется соотношением Ря / Р ")» (Зй — 1)Р— (й — 1)Р, /й — 1 Р )» 3 29 оя ря ( ря/ (й — Цря+(й+1)ря '( й йря + .(О.,) Анализ его показывает, что рост энтропии в отраженной волне конечен, так как амплитуда ее относительно падающей волны также всегда конечна (за исключением случая, когда р, — оо).
При рд -~ оо мы придем к следующей предельной формуле для энтропии: оз Зй — 1 /й — 1)» оя й — 1(, й (30.30) Эти формулы показывают, что в случае бесконечно сильной волны величина О,/а, остается конечной. $ Зд. Косая ударная волна Будем рассматривать плоскую косую волну, считая, что ее пересекает плоский поток среды, направление которого указано на рис. »9 под некоторым углом. Этот угол между направлением скорости потока и поверхностью фронта ударной волны мы обозначим через яр. Пусть дд, д, †величи скорости перед фронтом и за фронтом, и„ и, — соответствующие проекции скорости на ось л, перпендикулярную к фронту волны, рд и ря — проекции скорости на ось, 266 элементАРнАя теОРНЯ удАРных ВОлн игл.
Рг параллельную фронту волны. Тогда основные уравнения для этого случая примут вид (плоская задача) г г и и "+ з = " + з ' (31.1) Рс + Рсис Рс + Ргиг Рг = Рг После прохождения через фронт косой ударной волны направление движения потока должно измениться (рис. 19). Это происходит потому, тввввсУ~~Рввсг что величины нормальвввввс ных компонент скорости сменяются: иг ( и„ а величины тангенциальных компонент равны между собой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
