К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Мы здесь будем в основном рассматривать условия, имеющие место на фронте произвольной, не одномерно движущейся ударной волны. Кроме того, мы также ознакомимся со свойствами уже иавестных нам особых (или энтропийных) разрывов и так называемых танген>1иальных разрывов. Движение среды при возникновении ударных волн будем считать адиабатическим. При движении среды в ней могут возникать различного рода разрывы непрерывности ряда параметров, характеризующих состояние и движение этой среды. Разрыв непрерывности этих величин имеет место вдоль некоторой поверхности, которая называется поверхностью разрыва.
При неустановившихся движениях среды поверхности разрыва, вообще говоря, движутся, причем направление движения и скорость движения этих поверхностей могут существенно отличаться от направления и скорости движения самой среды. Так, частицы среды при определенных условиях движения могут пересекать поверхность разрыва. На поверхностях разрыва должны выполняться определенные граничные условия, выражающие основные законы сохранения количества движения, массы и энергии.
При этом необходимо на основании второго закона термодинамики помнить, что энтропия частицы при пересечении поверхности раарыва, если это происходит, никогда не может убывать. Для вывода основных зависимостей, имеющих место на поверхности разрыва, в самом общем случае неустановившихся движений среды рассмотрим какой-либо элемент поверхности разрыва в течение бесконечно малого интервала времени в системе координат, движущейся вместе с рассматриваемым элементом. Рассмотрение проведем в прямоугольной системе координат, 237 ОБЩИК УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ $211 Рис. 14 где 1 = 1, 2, 3 — единичный вектор нормали на рис.
14 направлен по оси х. Поэтому непрерывность х-компоненты потока импульса определится соотношением р, + р,и,' =- р, + р,и,'. (27.3) Непрерывность у-компоненты и 2-компоненты потока импульса даст такие соотношения: р1и1Р1 =- рзизэ„р1и1и11 = рзиьиаз. (27.4) Условие непрерывности потока энергии, выражающее закон сохранения энергии, мы сможем на основании (4.26) написать в виде (27.5) где д 2= и2 + гз+ иФ, ф= и' + гз + и~з есть полная ско- 2 2 1 1 рость среды.
Учитывая условие (27.1), мы можем соотношение причем ось х направим по нормали к изучаемому элементу (рис. 14). Исходя из закона сохранения массы, мы должны сделать вывод, что на поверхности разрыва должен быть непрерывным поток вещества череа рассматриваемый элемент поверхности.
Поток вещества в этом случае, отнесенный к единице площади поверхности разрыва, есть ри; поэтому, обозначая соответственно /1срчааь л лавеааиндексами 1, 2 состояние среды лааа1а,анврыва до пересечения этой поверхно- Р/ сти и после пересечения ее, мы Паверхнаещь напишем уравнение, выража- аг ющее закон сохранения массы г на поверхности разрыва, в виде Ы р,и, = р,и,. (27.1) Далее очевидно, что должен быть непрерывен поток импульса на поверхности разрыва, поскольку должны быть равны силы, с которыми действуют друг на друга элементы среды по обеим сторонам поверхности разрыва. Поток импульса через единицу площади на основании (4.35) выражается соотношением 3 з ,х', Ц и„= ри1 + ~ ра;Рьтьь, (27.2) 1=1 2=1 ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН ~гл, у> (27.5) написать просто в виде в> . чз +>г= +>з 2 2 (27.6) и, = из = 0; (27 7) это будет означать, что через поверхность разрыва нет потока среды.
При этом уравнения (27Л), (27.4) и (27.5) удовлетворяются автоматически. Из уравнения (27.3) следует, что (27.8) р>= Рз т. е. давления одинаковы с обеих сторон поверхности разрыва При этом как плотности, так и касательные компоненты скорости Р„ и>> и Рз,>в,могут быть любыми с обеих сторон поверхности разрыва и, в частности, некоторые из этих параметров могут быть одинаковыми. В том случае, когда они все одинаковы с обеих сторон, разрыва не существует.
Если одинаковы компоненты скорости Р> = Р, и и>, =-'и>„ а плотности различны (27.9) Р> ->- Рю то такой разрыв называется особым. Энтропия и другие термодинамические параметры, кроме давления, в этом случае также различны с разных сторон поверхности разрыва.
Если значения хотя бы одной из касательных компонент скорости Р и и> не равны между собой по обеим сторонам разрыва, то такой разрыв носит нааванне танеенциальнозо. При этом плотности и энтропии могут быть как одинаковыми, так и различными по обеим сторонам поверхности разрыва. Тангенциальный разрыв является своего рода обобщением особого. Если поток вещества через поверхность разрыва существует, то и, и из отличны от нуля. При этом из уравнений (27.4) имеем (27.10) Уравнения (27Л), (27.3), (27.4) и (27.6) полностью определяют условия на поверхности разрыва.
Зная давление и состояние среды с одной стороны поверхности разрыва, мы на основании этих пяти уравнений и уравнения состояния среды, которое предпо- ЛаГаЕтСЯ ИЗВЕСТНЫМ, СМОЖЕМ ОПРЕДЕЛИТЬ ШЕСТЬ ВЕЛИЧИН: им Рз, и>„рю рз, >з, характеризук>щих движение и состояние среды с другой стороны поверхности разрыва. Анализируя полученную систему уравнений, можно сделать вывод, что существует трн вида поверхности разрыва: особые разрывы, тангенциальные разрывы и ударные волны. Рассмотрим случай, когда 271 ОБЩИЕ УСЛОВИЯ НА РАЗРЫВАХ т.
е. тангенциальные компоненты скорости непрерывны на поверхности разрыва. В том случае, когда и, = ио, очевидно, что р, = р„р, = р, и разрыва не существует. Если и, + и, + О, то плотность, давление и другие термодинамические параметры действительно испытывают скачок на поверхности разрыва, как это очевидно из выведенной нами системы уравнений, которая для данного случая принимает вид 2 2 2 и( , И2 Р,и, = р,и„р, + р,и, = ро+ Р,и„— + 21 = —,, + 12.
(27Л1) (27Л2) иго = и1 + Р иоо =- и, + Р. Перейдем от подвижной к неподвижной системе координат. Тогда основные уравнения (27.11) примут вид Р1 (иго Р) = Ро(иоо Р) Р1+Р1(иго Р) =Ро+Ро(иоо Р) з ,+ —,, ( „-Р) =,+ —,, ( „-Р). 1 2 . 1 2 (27.13) В тех случаях, когда Р1 = Ро = О и ю1 = юо = О, поток среды движется по нормали к поверхности разрыва и мы будем иметь так называемую прямую ударную волну.
Если тангенциальные компоненты скорости не равны нулю, мы будем иметь дело с пространственной косой волной; если одна из тангенциальных компонент равна нулю, то такая волна называется просто косой волной. Основные зависимости, которые мы вывели, являются формально общими для поверхности разрыва любой формы. Тангенциальные и особые разрывы мы здесь подробно рассматривать не будем. Для дальнейших исследований достаточно только знать, что давление и нормальные компоненты скорости по обеим сторонам поверхности тангенциального и особого разрывов одинаковы, а плотности энтропии могут быть различными. В тех Разрывы указанного вида называются ударными волнами.
Поверхность разрыва в этом случае будет называться фронтом ударной волны. Поверхность разрыва может, как мы указывали (см. (7.24)), обладать собственной скоростью движения Р, причем всегда можно считать, что эта скорость направлена по нормали к поверхности, так как в любом случае можно выбрать такую подвижную систему координат, чтобы собственное движение поверхности разрыва происходило по нормали к ней. В этом случае в неподвижной системе координат скорости и„ио будут иметь соответственно значения 240 ~ГЛ. Ч1 ЭЛГМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ УДАРНЫХ ВОЛН случаях, когда У1 = ег = ю1 = юг = О, особый разрыв является прямым, в противном случае — косым. При равенстве танген- циальных компонент скорости тангенциальный разрыв вырождает- ся в прямой особый разрыв. $28.
Основные свойства ударных волн Здесь мы исследуем основные свойства ударных волн при различных уравнениях состояния и выясним, как меняются основные параметры, характеризующие состояние среды при изменении интенсивности ударной волны. При этом будем изучать чисто адиабатические процессы. Найдем иэ первых двух уравнений (27.11) величины скоростей и,ии,: рг г Рг — Р1 р1 ч1 — чг 1 р1 г Рг Р1 Рг Ч, — Чг г г Рг — Р1 и,= Рг — Р1 (28 1) г Рг Р1 Рг — Р1 где ч, = 1/р„ч, = 1/рг суть удельные объемы.
Отсюда следует, что и, — и, = р'(рг — р,) (ч, = ч,) = и , (28.2) где и есть скорость среды за фронтом ударной волны относительно фронта. Далее из (28.1) имеем и, — иг = (р, — р1) (ч1 + чг); используя в этом последнем равенстве формулу (27.11), придем к фундаментальному уравнению ~1 11 2 (ч1 + ~г)' Р1 — Р1 (28. 3) Далее, так как на основании (1.2) 1 = К + рч, то отсюда и из (28.3) следует, что Е, — Ь'1 —.
2 (ч Рг+ Р (28.4) Последние два эквивалентных друг другу соотношения называются уравнениями Гюгоиио. В соотношения (28.3) и (28.4) входят только параметры, характеризующие состояние среды, и не входят скорости. Так как Е или гявляются функциями р, ч, то эти соотношения связывают р„ ч, с р,, ч„, т. е.
связывают давления и удельные объемы за фронтом ударной волны с давлением и удельным объемом среды перед фронтом ударной волны. Поскольку мы рассматривали чисто адиабатический процесс, то со- 241 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА УДАРНЫХ ВОЛН 2 281 отношения (28.3) или (28.4), описывая именно адиабатический ударнай процесс, являются уравнениями так называемой ударной адиабаты.
Ударную адиабату часто в литературе называют адиабатой Гюгонио. Эта адиабата, выражая закон сохранения энергии, является аналогом обычной изэнтропы и справедлива для любой ударной волны. Будем считать теперь термодинамические параметры перед фронтом ударной волны постоянными и продифференцируем уравнение (28.4); принимая во внимание, что 8Е = ТИЯ вЂ” рду, придем к выражению 1 8Е2 7 2882 Р2 йч2 — — 2 МР2 (У2 — У2) — 8У2 (Р2 + Рг)) или 2Т, ЫЯ2 == г)р2 (у, — чэ) + ((у2(р, — р,). (28.5) Поскольку, далее, дифференциал давления можно выразить в форме ,1Р ~й) бч+ ( ~ ),1о придем к выражению ЫХя Г др~ 1 др~ — [2Т, — — (и, — Ч2) = — (У, — У2) + (Ра — Р,), или отсюда, переходя к плотностям, имеем г2Т2 " Р' Р'1 + ~ "' Р' Р' .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
