К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Отсюда следует, что поскольку скорость газа на поршне равна скорости поршня, то г (и) =- х„— (и — с)1„и — и — с. (24.3) и Характеристики с(х/М =- и — с = (х — х„) / (8 — с„) будут начинаться на линии х =- х„(г). (24.4) Поскольку скорость звука в пределе не может быть меньше нуля, то, как это видно из второго уравнения (24.1), скорость движения газа не может быть больше чем 2с„ / (й — 1); поэтому при достижении поршнем этой скорости и дальнейшем увеличении ее поршень оторвется от расширяющегося газа и между ним и фронтом газа возникнет область вакуума.
Для того чтобы мы были уверены в отсутствии волн сжатия при произвольном движении поршня, нам необходимо положить, что величина ускорения поршня не может уменьшаться в процессе его движения, пока его скорость меньше чем 2с„/(/с — 1), а затем скорость поршня нигде не становится меньше этой скорости. Если эти предположения выполняются, то критическая скорость и„= с„= 2с„/(/с + 1) достигается там, где х = хс (ии) ха (и„) = хь — — сопэ$, т. е. в постоянном сечении х = хд по прошествии определенного времени, когда до этого сечения дойдет поршень, и затем там до прихода отраженной от стенки волны сохраняется.
Волна разрежения, отраженная от стенки, будет отличаться от найденных выше, поскольку простая волна в данной задаче также отличается от волн, которые мы рассматривали выше. Если поршень набирает скорость достаточно быстро, то отраженная волна может не догнать поршень, и весь процесс расширения газа опишется двумя волнами: простой и первой отраженной. случАи неустАновившегося истечения гАЭА 211 1 з41 н и хп— Аа ' ан х ив 2 и Ф а (24.5) поэтому из уравнений (24.1) имеем , и ~ иа ие иа *-( — )( — — )~- — =( — ) -~ — — —. ) а~ за а Еа' А — 1 с =-- с„—, и.
2 (24.6) Критическое течение ин =- сп =- 2с /(/4 + 1) достигается при иа еа (24.7) 2 Предельная скорость и,„„, = сн достигается при хп = и' „/ А — 1 /2а = 2сн/а(/4 — 1)'. Отраженную от стенки волну мы здесь не будем рассматривать, хотя ее нахождение не представляет особых трудностей.
Перейдем к рассмотрению случая, когда поршень начинает выдвигаться внезапно с постоянной скоростью ипа. При этом, если ип, ( и ,„, возникают, как сейчас убедимся, две волны, иэ которых одна, примыкающая к поршню, является стационарной волной, как бы отраженной от поршня. Вторая волна, идущая по невоамущенному, покоящемуся газу, является простой волной (рис. 10). Простая волна описывается уравнениями Ж 2 — =и — с, и= — (сн — с) = А — 1 (24.8) и определяется до момента отражения от стенки на интервале снг я х ~ ~(хпо спа)1 при А — 1 с = спа = сн — ипо> 2 (24.9) и= ипа таким образом, при х = (ипп — с,а)1: и = и„, и с = сп„точно так же при х = икай и = инп, с = спа.
Отсюда следует, что на Если поршень набирает скорость медленно, то волна, отраженная от стенки, догонит поршень и снова отразится от него, причем, как увидим дальше, она может дойти или не дойти до стенки; в случае весьма медленного движения поршня (по сравнению с начальной скоростью звука) может воаникнуть система многих отраженных волн. Рассмотрим конкретный случай, когда ускорение поршня постоянно. В этом случае интервале (24.10) (иоо — с о) г ( х ( и~ос существует стационарная волна (24Л1) и = иоо, с = с о. Не вводя эту стационарную волну, как бы отраженную от поршня, мы не могли бы удовлетворить всем граничным условиям задачи.
Ряс. 10. При и,о = и „, область существования стационарной волны становится равной нулю, так как с, = 0 и интервал (24.10) равен нулю. При и,о ) и оо между поршнем и фронтом расширяющегося газа образуется область вакуума. В момент времени г = 1/с простая волна дойдет до стенки, и возникнет уже известная нам отраженная волна [(у з+ и)' — эн)" ф= — = эг! де"-' 1га где в= в. = ( —,',.)'= 1= — =В— дт дв дО дз шо, В = 2(2г+1), дф (24ЛЗ) х=и1 — —. ди Фронт этой волны будет на основании формулы (21.7) распространяться слева направо по закону о — м (24Л4) Фронт раздела между простой волной и стационарной будет также двигаться слева направо по закону х = (иэ, — соо)1.
Так как из (24.9) имеем иоо = — (с„— с„о), то этот закон можно выразить 2 212 ОднОмеРные изэнтРОпичвские дйижениЯ сРеды [гл. ч $2ы случАи неустАновившеГося истечения ГАЗА 213 в форме е=(их — сх)~ = ~ 1 сн~ ~1 — 2 — ) . (24Л5) 2 Г х+1 оно т н При и1н ( ин1ох фронт отраженной волны настигнет этот фронт в точке 1+1 ф = ~1 — + — '1 ( — ") (24Л6) в момент времени ~„определяемый из соотношения о+1 (24.17) При этом опять возникнет новая волна, которая будет простой, поскольку с одной стороны (справа) она будет сопрягаться со стационарной волной.
Эта волна опишется соотношениями е =(и+ с)1 + 7(и), 2 и= „(со+с). (24Л8) Отсюда, используя выражение для их, из формулы (24.9) получим 2 2 2 и — — с = их — — с = — (сн — 2сно) х Г х а 4 х а 1 ( Так как 15(1/ди =- (с(о)/дс) (Йс/ди) = (их1У/Ыс) (й — 1)/2 = (ЫФ/1(с)2/А, где Л = 4/(/о — 1) = 2 (2г+ 1), отсюда следует, что 111(1 2 г" (с) = — — —. 1 Ио Л 2 При и = — с — (1 и любой функции г" имеем Р (и1+ и) = ь — т 2 = г'(2и1 — Р). ЗДесь (о= (2сно — сн) = 2и1но — юн; Далее (24.20) Произвольная функция Р (и) определяется из условия сопряжения этой новой волны с волной (24.12) вдоль характеристики (/с — 1)и = 2 (с + сн — 2с,о). Поскольку для волны, описываемой общим решением (24.12), х = иг — дф/ди, то, как мы знаем (см.
соотношения (15.38) и (15.39)), вдоль этой характеристики р(,) (24.19) 214 одномвгнык изэнтвопичкские движения сгкды (гл. у используем соотношение (15.42), ( д )г г"'(гг+ и) 1 дг гт (2гс — ()) (24.21) Поскольку в рассматриваемом случае функция Р равна мы имеем дг-' ((уй+ )г — Е,) д'-' (( — ° )г+ ( — и )Р— 4 дмг ~ г дог-1 Отсюда следует, что 2! дг-' (( — ",.)'+ .( -и„))" г! д,гг-1 Н вЂ” „,)'+ ъ„( — „,))" НЕ Ыгь 2! дг — Р (с) — — — — — —— г(и Ым г! дагг и ((г — г„)'+ св (с — с„,))" дг (24.
22) г! дсг Таким образом, ((с — с„)г + с„ (с — с )]г х = (и+ с)1 дгг с (24.23) и = 1 (с + с„ — 2с„), 2 (24.24) с = сз = 2спо — сн' так как с ) О, этот фронт дойдет до стенки при условии, что 2саэ ) с, в противном случае он или просто не дойдет до стенки, двигаясь все же налево, или будет двигаться направо. Очевидно, эта волна является волной сжатия.
Правый фронт этой волны будет распространяться по аакону с(х(г)1 = ива + с„„ и будет прямолинеен. Когда этот фронт достигнет поршня и от него отразится, возникнет новая волна, описываемая общими решениями. Мы ее рассматривать не будем. Левый фронт волны будет распространяться ко закону ох/с(1 = и — с; поскольку при этом во всей области этой волны (й — 1) и = 2 (с + с„— 2с„е), то у стенки, где и = О, будем иметь л за) случАи неустАковившеГося истечекия ГАЭА 215 Давление иа стенке я момент прихода фронта второй простой волны выразится формулой лл лн — = ( — ") = (2 — "' — 1) .
(24.25) Время прихода фронта н стенке определится из выражения 7 лн+л 'н' 'н'~ ( С~ 2 (г — «)! (2н)) ( Рн 1 л (24 ) Зл" „, ((г — н))(Л)))" а (ч l (см. (21.30)). Возникающая при этом отраженная волна обязательно должна быть стационарной, поскольку'с ией сопрягается простая волна. Поскольку у стенки и аи О, то и вез- С' де в волне будет и = О, с = сл, (24.27) т.
е. у стенки будет существовать область покоя до тех пор, пока волна, отраженная от поршня, ие придет к стенке. Повторим в иаглядиой геометрической форме все проведенные рассуждения. Для этого обратимся к рис. 11. х На рис. 11 показана л схема областей, соответствующих различиым Рис. 11. волнам, и характеристик, являющихся границами этих областей в плоскости (х, г) для некоторых начальных стадий процесса распространения и отражения волн. На этом рисунке мы видим: 1) Область простой волны ОАВ, ограниченную прямолинейными характеристиками ОА и ОВ и криволинейной характеристикой АВ. Характеристика ОА, уравнение которой х = — с 8, является фроктолл волны разрежения. Уравнение характеристики ОВ: х = (инн — сна)(; эта характеристика есть граница между областями простой и стационарной волны.
Когда в момент г = а/сн фронт волны разрежения, распространяющийся по характеристике ОА, дойдет до неподвижной стенки, возникнет отраженная волна. Фронт отраженной волны будет распространяться по криволииейиой характеристике АВ, уравнение которой алх)йс = и+ с. 216 одномкгныв изэнтгопнчнскин двнжвния сеиды игл. ч 2) Область стационарной волны; эта область ограничена прямолинейными характеристиками ОВ и ОР; уравнение прямой ОВ мы уже внаем, уравнение прямой ОР х = иаэ1 выражает аакон движения поршня.
3) Область отраженной от стенки волны ограничена стенкой, уже иавестной нам криволинейной характеристикой АВ и криволинейной характеристикой ВС. Определим уравнение этой характеристики. Отраженная волна, фронт которой распространяется по характеристике АВ, в некоторый момент 1в догонит стационарную волну. В момент ~ = ~в координата х = хв (~в н хв — координаты точки В в плоскости (х, ~)). От точки В пойдет новая волна. Правый фронт этой волны будет распространяться по прямолинейной характеристике ВР: дх/й = (и„+ с,э); эта характеристика является границей новой волны со стационарной волной.
Левый фронт новой волны есть криволинейная характеристика ВС, уравнение которой Ых/М = и — с. Таким образом, границы области отраженной волны суть АВ, ВС н АС (стенка). 4) Область новой волны, возникшей в точке В, т. е. в момент, когда фронт отраженной волны нагнал стационарную волну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
