К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Двустороннее истечение гааа из цилиндрического сосуда в трубу е) и = )(Π— Г' О, х = (и — с) 1, (22.1) для волны, идущей слева направо: и = Г'Π— ~0„, х = (и + с) (1 — т) — Х, (22.2) Поскольку в месте встречи О = О„, и = О, с = с, то встреча произойдет при т ! т И 1= — + — = — += 2 2с 2 4 уз у снт Е ~Рис х (22. 3) 2 2 2 Н ') Задача была решена автором а 1948 г. Рассмотрим теперь задачу, являющуюся обобщением предыдущей задачи.
Пусть гаа начинает в момент 1 = О истекать из правого конца цилиндрического сосуда длины 1; через некоторый промежуток времени т: О ы.. т ( 1/с„, т. е. прежде чем волна разрежения, идущая налево от правого конца, достигнет левого конца, начинается истечение иа левого конца. Как и прежде, начало координат выбираем на правом конце, ось х направляем вправо.
В течение промежутка времени О ( г ( т решение описывается простой волной, идущей влево от правого конца. В момент т от левого конца вправо начинает распространяться вторая встречная волна разрежения. Пусть т, — момент встречи атих волн. Очевидно, с <' т, ( Рс„. В течение промежутка времени т ( г ( т, между фронтами встречных волн имеется невозмущенная среда и решение описывается этими простыми волнами. В момент встречи т, возникнет новая волна, которая должна выражаться обидим решением, поскольку она распространяется в возмущенной среде.
Найдем функцию ф описывающую эту волну. Особые решения имеют вид: для волны разрежения, идущей справа налево: 1 З21 ДВУСТОРОННЕЕ ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА В ТРУБУ 197 Как и прежде, на линии сопряжения падающей и отраженной первой волны (идущей налево) имеем ~р =— О. Из этого условия, как и ранее, следует, что одна из произвольных функций г', и г'з, через которые выражается функция ф, равна нулю: Р, = — О.
Таким образом, ~р зависит только от одной функции Рт и эта зависимость имеет вид е"-1 Р, (УЖ+ и) а~"-' )гр Функция г', определяется из условия сопряжения отражения второй волны (идущей направо) с падающей волной. Будем искать г', в такой форме, чтобы функция ф имела вид И Š— ( ГЕ+ У В, + и)" ( ГŠ— )~Е„+ и)' ( Г Е + Ч, )/Ен+ и) 4,~ 7/в, ев"-' Ме (22.4) где Ч, и т)з надлежит определить из граничных условий. Поскольку Й~Я8 = 1/2У'0 спели вДоль линии и = У'0 — )/ен, то пРи 1 = 0 х = — (и + с) т — р; далее, из соотношения х = и/ — дф/ди при г = 0 имеем х = — дф/ди; отсюда получаем с1Е 1 лв = — = (с + т (и+ с) ) = = 2 )гй ==[(+ — [4(г+1) ~0 — В ~Од~~; (22.5) непосредственное вычисление сер/ое из выражения (22.4) дает ни 0 (2(г+1) ~г8 — (2г+ (1 — Ч,) )/8„)).
(22.8) 2 )'ВЕ„ Сравнивая оба выражения для Иф/ое, найдем, что 8Я~ен = 2т//Я; Ч, (2г + 1 — ц,) = т'~ ен/1 — 1; отсюда 2т у'0 тс„1В Ч1 = — — — ", ц, = — = — = (22.7) 2т У Вн Ч1 тсн Таким образом, окончательно имеем е. ( Уй+ у вн+ и)" (Уй — )/ен ив и) ~(Уй+и) й+(2г+1)~ 2Ы В Вес-1 уй (22.8) 198 ОднОмеРные изэнтРОпичРские движения сРеды 1гл.
ч Поскольку д1р/д1 = 1, то легко проверить, что найденная функция 1р правильно определяет момент встречи двух волн разрежения х 1 т Ж с= — + — = — + 2 2» 2 4Уе Рассмотрим теперь отдельно случай, когда истечение начинается одновременно иа обоих концов (т = О). Очевидно, что при этом 1) = О, т)11)1 = 1; О1р/де = 1/2 у' 0 и решение (22.4) будет иметь вид а- (Уе+ Уе„+ )" (Уе — Уе„— «)" 4г~ аЕ"-' Уе ~ д- [(~Ге„+«)' — е]" 4г! аег-1 Уе — — (22.9) Легко убедиться, что эта функция действительно удовлетворяет равенству дф/110 = 1/2)/0 при и = у'0 — у'0„. Эта задача аналогична задаче отраженной волны разрежения от стенки, поставленной при х = — 1/2. Займемся теперь изучением распределения параметров правого и левого истекающих потоков газа в общем случае.
Очевидно, что при этом 0(т(1/с«; при ~-». Оо мы имеем 0-» О. Потоки массы, импульса и энергии, идущие направо, определяются интегралом 1 »«1 1 — 1 ри" дх; о при а = О, 1, 2 этот интеграл выражает соответственно потони массы, импульса и энергии. Значение константы р„определяется из балансов массы, импульсов и энергии. Вычисление р, будет дано ниже. Обозначим величину 2с„/ (й — 1) через А. При 1-»- со можно получить асимптотические формулы, аналогичные формулам (21.23) и (21.24): х=и1, -(-+А)'Ж-А)'(-+'"'."')' эти формулы могут быть получены теми же методами, чтоифор- мулы (21.23), (21.24). Вставляя значение р в выражение для г„, будем иметь ж ~ ~х+А)"~х )г (х +(2г+1)~~~х)»» » и для левого потока р ~ (х + ~~" (А х~" ((2г+ 1) ! х) ~(х)«1 х о Введем обозначение Аг = х/1, тогда (2г+ 1) ! ' г„=)),~ (1 — з')" (г+ " ~г"с(г (для правого потока), о — 1 (2г+ 1) ! г, = !1, ~ (1 — з")"!з — !з" с!г (для левого потока).
о Вычисляя интегралы, найдем, что Ген М, = Р, ~Л + — ) = —, (1+ Х), М,= Р, ~Ь вЂ” — ) = —, (1 — Х), ! 21" (г!)о !! Ент 2г! где Х,= рге т (2г)! 2ог+1г! (г+1)! (22 10) здесь М, — масса, истекающая направо, М, — масса, щая налево. (Значение ро определяется иа условия М, = Мн = )рн.) Очевидно, что при т = О М, = М, Ю При т = — = получим сн 2уон истекаю+ Мо = = М /2. Мн) + (2г+1)! г! (г + 1)! 2ого1 ! ~~н )" (2г+1)! М,= —, (1— г((г + 1)! 21"+1 ~ (22 11) Предельные случаи для й дают й= З(г= О)М, = —, 1+ —, М, =- —, 1 —— Мн )с = 1 (г — Оо) М, = М, = —." .
2 Для импульсов имеем 2о" (г!)о (2г+1) ! (2г+1)((2г+3) )/Е Т2(г ! 1) (22.12) 21" (г!)г (2г + 1) ! (2г+1)! (2г+ 3) ргенх2(г -(-1) 1 зг! ДВУСТОРОННЕЕ ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОСУДА В ТРУБУ 199 200 одномкэнык изэнтгопичкскик двнжкния сеиды [гл. ч Очевидно, что Рнвнт А +1в=р т —— а й Мн с~р М„(й — 1) 1нт ь 1 и Мне. (2г + 1) (2г + 3) отсюда М,В„г (2,)) Р т ()2" (22.13) (22.14) При т = 0 имеем Х,= — 1в— (2г+1)(2~)) н н (2т+1) (2~)~ 22 13 — ( . ) 2 2(г+1) (гОттв" 2 2в™г) (г+1)) при т = 1/сн = А/2)/Вн Мн У Вн Г 1 (2г+1)(2г)! 2 (2г+3 2(г+1) (г))в2в~~ (22 16) Предельные случаи для /г дают (29 17) 7 н3 н ~~ н'~ ~ (2213) Эаменим )ГВн чеРез энеРгию; так как 1 = /гв = (2г + 3)/ /(2г+ 1)в, то 9н = 2 (2г+ 3)е, что при г — г со (/г = 1) дает 9н = 4гвн; таким образом, мы будем иметь — ~Ф'в: 11 Ума =УМ Е н ~ 21г Ьтя ~ д...ц,.......
= гг(г — ст. г~;,. *. г —,,!2~- и мы приходим к следующим окончательным формулам для импульсов: Мн Ф Вн ( )тгВнт 1 (2г+ 1) (2г)! 2 ( 1 (2г+1)(2г+3) 2(т+1) (г))вгвг~ Мн )т Вн ~ )тент 1 (2г + 1) (2г)! 2 С 1 (2г+1) (2т+3) 2(г (-1) (г))вгв"~ = у'зн(/2(с = ')/г/2! отсюда окончательно получаем . / М„'Ю„ )Г н н — — 2 — )Г (22.19) Таким образом, в случае й = 1 количества движения истекающего газа одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку. При « = 0 также н (2>'+1)" (2г)! ~2(2 + 9)/ц Е (2г+1)! 2н'> г! (г+1) 2«г и г! (г + 1) ! (22.20) Как видим, мы получили результат, аналогичный тому, к которому мы пришли, рассматривая отражение волны разре>кения от стенки, где 2 = 2ХН поскольку истечение происходило в одну сторону.
Для вычисления энергий имеем формулу Г(2г+1) ! 22'(г!)«1 н т О «(2г + 1) ! (2г + 3) — 2 (г + 1) (г + 2) ~ ' н где знак плюс — для правого и знак минус — для левого пото- ков. Так как Ег + Е, = М з„= Ен = М„О„/2 (2и + 3), то м„)/е, (), = —."Он— 2 ! 2«г+> ( !)2 ' (22.21) Отсюда Мнон 1 )/Он«(2г)! 2 ! 2 (2г+3) — ! 22!г+П г! (г ! 2)! ) или, заменяя Он через сн, получим 22"+> Ы (. + 2) ! Очевидно, что при « = 0 Е, = Е, = Ен/Х. При « =- !/сн получим 2 ! ь2«гг>г((„! 2)! 2г+3/ ' Предельные случаи для й дают (22.25) 1 22! дВустОРОннее истечение из сОсудА В тРуБу 201 202 одномкгнык изэнтгопичкскик движкния сгкды [гл. ч $23.
Истечение газа из трубы конечной длины в йустоту Рассмотрим закономерности истечения газа из трубы конечных размеров, причем сначала рассмотрим истечение газа в пустоту. Начальные условия возьмем прежние, т. е. положим, что истечение начинается при с=О, х=О, но будем счи=-г х=о х=а тать, что труба обрывается при Рис. 8.
х,= [е (рис. 8). Первая особая (римановская) волна, как мы знаем, характеризуется уравнениями х и — с=— В и = — (с„— с) г (23.1) г в сечении х = О, и„= с„= — с„, при х ) О и ) с, следователь— и= к— но, при х = [с) О от открытого конца никакие возмущения не могут пойти в глубь трубы. Отгороженная от стенки волна характеризуется функцией [см. (21.9)), через которую выражаются г и х: с а"-' НМ'8+ р — д„р Ф— Уй гы дзс-т (23.2) аф ар дФ = — =В— де дз х = и1 —— ди где О = Вг =- 2 (2г + 1) 1 = [2с/ (Ус — 1)е). Заменяя с„через е„= Ее(Ме получим М„е„Е„ г =+г (22.26) отсюда действительно получаем Е, + Е, = Е„, что является контролем наших вычислений. Решение задачи для произвольного показателя изэнтропы, не определяемого соотношением [с = (2г+ 3)/(2г + 1), также возможно, однако, как мы уже указывали, это решение может быть выражено в виде гипергеометрических функций и поэтому должно иметь еще более сложный вид, чем решение, найденное нами для частных значений показателей изэнтропы.
Однако, поскольку величина импульса и характер распределения массы и энергии, истекающих в противоположные стороны, мало зависят от величины, показателя изэнтропы, то нет никакой необходимости отыскивать сложные решения. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ ТРУБЫ В ПУСТОТУ 203 % 231 Линия сопряжения этой волны и первой рнмановской описывается (см. (21.7)1 уравнением з-к 2 о+1 / сзс ~ з+з х= — с,1 — — 1( — ") Ь вЂ” 1 з а — 1 (, 1 ) (23.3) на линии сопряжения на основании (21.15) имеем (23.4) )/Π— и = 'РгΠ— ию (23.5) где О, и ио — значения О и и при 1 = то в сечении х = 1,; очевидно, и = )/Оо/ (2г + 1) = с,; таким образом, условие (23.5) примет вид 'Р'Π— и= 1/О .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
