К.П. Станюкович - Неустановившиеся движения сплошной среды (1161651), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Условию «вр>Ычг = 0 отвечает аакон изэнтропы Чаплыгина р= — Ач, (17.9) или уравнение обобщенной изэнтропы при показателе степени и = — 1. Вернемся снова к уравнению х = (и + с) 1 + Р (и + с). Определим производную дх/ди, считая, что с = с (и): д (1+ «)(1+Р'), где Р'= « Отсюда находим ди 1 (17.10) (1+ — «„" )(в+Р) В тех случаях, когда св-р)«чв ) 0 или «гч)«рг ) О, имеем сг (и + с) ! Ыр ) О, что и выражает ббльшую скорость передвижения областей большего давления, а следовательно, и плотности.
Типичные среды (газы, жидкости и твердые тела) обладают как раз такими свойствами, что с(гч>г(рг ) 0 или «гр)«чг ) О. Эти проиаводные берутся при постоянной энтропии (дгч>дрг)з и (дгр!дчв)з. В случае закона обобщенной изэнтропы 162 Решкник уравнкний для одномкрных движкний [гл. гг В тех случаях, когда г" ) О, величина ди(дх с увеличением вре- мени стремится к нулю.
Волна поэтому будет растягиваться. Поскольку в ней и = — ~сд1п р, то Ии Ыи Ыр И1а р — = — — = — (О Ыс Ыр Ыс Ы1вс (17.И) (при сРр(М' ) О) и данная волна будет волной разрежения. В тех случаях, когда с"' ( О, выбирая начало движения при г =-. О, всегда можно найти такой момент времени 1 = г = — г", когда величина производной ди!дх = оо. В интервале времени О ( 1 ( гг профиль этой волны становитг'=сг ся с течением времени все круче и круче. Стремление производной ди!дх при =г 1 = 1г к бесконечно большим значениям соответствует предельно возможной х крутизне профиля волны и = и (х) в данком месте, Рис.
3. когда фронт волны становится вертикальным (рис. 3). Это явление указывает на момент начала образования и формирования так называемой ударной волны. (Аналогичные выводы можно сделать и для волны и — с.) После возникновения ударной волны энтропия каждой частицы среды изменится, и далее движение этих частиц уже нельая описывать уравнениями, пригодными для иаэнтропических движений среды.
С точки зрения теории характеристик простые волны сжатия и разрежения интересны тем, что поскольку в волне сн<атия частицы, имеющие большее давление, а следовательно, и скорость перемещения, догоняют частицы с меньшим давлением, то и характеристики в плоскости (х, 1): Ых/Й = и + с (или дхЮ = и — с), вдоль которых движутся состояния с большими давлениями, а также скоростями, пересекают (догоняют) с течением времени характеристики, переносящие меныпие значения давления (а также и и с).
Точки пересечения и будут обозначать места и моменты возникновения элементарных ударных волн. Области за местами пересечения характеристик [в плоскости (х, Г)) не имеют физического смысла, поскольку там значения и и с могут быть многозначными (обычно треханачными), что означает несколько различных состояний в одном и том же сечении среды. 1ОЗ $1Т) ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ * — хо = и (/+ Юо) + д„* дф (17Л 2) где х, и со — совершенно произвольные константы, можно на ос- новании соотношения /о — 1 дф ) дф х = хо+ и ( — + /о! —— 2с до ! ди (17ЛЗ) прийти к выводу, что с течением времени пронаводные дф/дс и дф/ди, во-первых, станут одного порядка малости, а во-вторых, скорость и будет иметь такой же порядок малости, поскольку размеры трубы, заполненной средой, ограничены. Константа со для каждой новой волны, возникающей при отражении от стенок прежних волн, будет становиться все больше и больше по мере того, как движение среды успокаивается и и -+.О.
В пределе — — О, — О и и О, ~ /о, х и/о+хо, (12Л4) дф дф где хо всегда будет иметь ограниченную величину, характерную для данного объема, занятого средой. Пока еще среда не успокоилась, можно считать, что дф/дс = = т дф/ди, где т = сопзо, и искать решения для затухающих В волнах разрежения, напротив, характеристики в плоскости (х, /) по мере возрастания времени будут расходиться все дальше друг от друга, что и означает растягивание волны разрежения (рис.
4). В случае среды, для которой сРрИР1 = О, в волнах сжатия характеристики будут расходиться, а в волнах разрежения сходиться, поскольку с увеличением давления величина и + с (или и — с) для волны первоначального направления будет па- и* дать. и' Из этих полохсений следует, что Р' = ссг'И (и+ с) не меняет знака во всей области существования простой волны, а следова- л тельно, наши вычисления величины ди/дх были вполне справед- с=ф ливы.
Для волн, описываемых общими решениями, возможны принципиально два основных вида дви- Рис. 4. жений: когда среда находится в замкнутом объеме (в закрытой с обоих концов трубе) и когда среда может, хотя бы в одном направлении, достаточно расширяться. В первом случае, если написать 164 Решение УРАВнений Для ОДномеРных Движений 1гл. 1ч волн вида ф = Ф (и + тс). (17.15) Таким образом, затухающие волны можно рассматривать как звуковые волны одного направления в плоскости характеристики (и, с), а среду, в которой они распространяются,— как бы находящейся уже в покое.
Перейдем к описанию второго случая, когда среда при своем движении может достаточно расширяться. Прежде всего отметим, что величины производных дфдии дс(с/дс и в данном случае будут стремиться стать одного порядка малости, поскольку область, занятая волной, может непрерывно увеличиваться, а величины и и с ограничены.
Далее, очевидно, что при этом если 1 -с-оо, то р — ~ 0 и в случае газа р — г. О, с — ~ О, а величина и остается конечной. (В случае твердой или жидкой среды, когда р = А (р" — рс), при р = 0 р = ра и дальнейшее неограниченное расширение среды может иногда привести к ее диспергированию (кавитации). Этим вопросом мы займемся в специальном разделе достаточно подробно.) Поэтому отношение — ! — = 2с((п — 1) и стремится к де ~ дс ди / дс п — 1 и дф нулю и х — э — — — — эиг. Отсюда также очевидно, что ведс личины аде и с становятся одного порядка малости.
Таким образом, в пределе (при 1 — ~ оо) х = и1, откуда и= —, (17 Л6) что показывает на инерциальность движения. В самом деле, для каждой частицы и = сгх!й = хй, 'откуда х = ис1, где ис = сопз1— постоянная скорость данной частицы. Это и понятно, так как упругие силы внутри среды (газа) при р — ~ 0 (р — ~ О, с — ~ 0) перестают действовать. К соотношению (17.16) можно прийти непосредственно из основных уравнений, полагая р = О, тогда ди~дг + + и ди!дх = О, откуда и = х/В при этом уравнение неразрывности принимает вид —,(1пр) + — — (1пр) + — = О, откуда р =, (17.17) х д 1 Ф (хд) где Ф (х(1) = Ф (и) — произвольная функция хй = и.
В частном случае эта функция может быть положена равной некоторой константе и соотношение (17.17), определяющее р, примет вид (17.18) Константа А определяется иа интегрального закона сохранения массы. Принимая площадь сечения трубы Ю = 1, находим, что Физические злкономегности 165 масса газа т = '1 рйх = Аи, где и — максимальная скорость О движения газа; отсюда А = т/и, что определяет р = т/и / = = т/х, где х — координата фронта расширяющейся среды.
Когда волна, описываемая общим решением, будет являться волной сжатия, то характеристики в плоскости (х, г) одного семейства будут обязательно сходиться. Поведение второго семейства характеристик в этом смысле может быть произвольным. В том случае, когда характеристики обоих семейств расходятся, мы будем иметь дело с волной разрежения. Заметим, что в случае расширения среды в одном направлении даже при сравнительно небольших интервалах времени, прошедшего с начала расширений, давление р, а следовательно, и плотность р, ограничивающие объем с одной стороны стенки, должны сравнительно незначительно зависеть от координаты и сравнительно сильно меняться со временем; зто объясняется тем, что движение среды происходит от стенки и всякие значительные градиенты давлений у стенки должны быстро падать.
Отсюда следует, что у стенки скорость должна приблизительно линейно зависеть от х, возрастая от нуля по мере удаления от стенки. На этом мы закончим формальное исследование основных свойств неустановившихся изэнтропических одномерных движений среды. Прежде чем перейти к решению ряда конкретных задач, которые будут рассмотрены в следующей главе, необходимо предварительно сделать несколько замечаний о начальных и граничных условиях, которыми мы будем при этом польаоваться. В случае нахождения особых решений, описывающих простые волны, нам необходимо знать или начальное распределение и (или с) в заданный момент времени / по х, или распределение и (с) при заданном х по /, а также начальные параметры среды, которая возмущается этой волной. При отыскании какого-либо общего решения нам необходимо знать условия на характеристиках, вдоль которых это решение сопрягается с соседними волнами двух направлений,или на одной из характеристик с простой волной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
